考研数学二分类模拟209

考研数学二分类模拟209一、选择题1.

微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为______A.xy2=4B.xy=4C.x2y=4D.-xy=4正确答案：C[解析]（江南博哥）原微分方程分离变量得两端积分得

ln|y|=-2ln|x|+lnC，x2y=C，

将y|x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。故选C。

2.

设曲线y=y(x)满足xdy+(x-2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]原方程可化为其通解为

曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为

故是唯一的极值点，则为最小值点，所以故选C。

3.

已知y1(x)和y2(x)是方程y'+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为______A.y=Cy1(x)B.y=Cy2(x)C.y=C1y1(x)+C2y2(x)D.y=C[y1(x)-y2(x)]正确答案：D[解析]由于y1(x)和y2(x)是方程y'+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)-y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C[y1(x)-y2(x)]为该方程的解。故选D。

4.

设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由已知条件可得

由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy'1+μy'2)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1。由λy1-μy2是所对应齐次方程的解，得(λy'1-μy'2)+p(x)(λy1-μy2)=(λ-μ)q(x)，则λ-μ=0。

综上所述故选A。

如果y1和y2是二阶非齐次线性微分方程的解，则y1+y2也是该二阶非齐次线性微分方程的解，且y1-y2是该微分方程所对应的齐次线性微分方程的解，一般经常用这个原理求待定未知数满足的关系式。

5.

设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是______A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3正确答案：D[解析]因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的线性无关的解，所以(y1-y3)，(y2-y3)都是齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的解，且(y1-y3)与(y2-y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D。

6.

已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为______A.y=C1x+C2x2+exB.y=C1x2+C2ex+xC.y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+xD.y=C1(x-x2)+C2(x2-ex)正确答案：C[解析]方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)是一个二阶非齐次线性方程，则(x-x2)和(x-ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+x。故选C。

二、填空题1.

微分方程的通解是______。正确答案：y=Cxe-x(x≠0)[解析]原方程等价为

两边积分得

ln|y|=ln|x|-x+C。

取C=eC1，整理得

y=Cxe-x(x≠0)。

可分离变量方程的基本特点是可分离，即方程中的x，y(包含dx和dy)是能够完全被分开的。求解的基本方法是先分离变量，将方程凑成f(x)dx=g(y)dy，再两边同时积分求出微分方程的解。

2.

微分方程的通解为______。正确答案：y=xeCx+1[解析]令y=xu，代入原方程，则有xu'+u=ulnu，即

两边求积分，即得

ln|lnu-1|=ln|x|+C，

去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1。

3.

微分方程y'=1+x+y2+xy2的通解为______。正确答案：[解析]将已知微分方程变形整理得，

则有

两边积分可得

因此

4.

微分方程xy'+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______。正确答案：[解析]原方程可化为(xy)'=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即

5.

微分方程3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0的通解是______。正确答案：tany=C(ex-1)3[解析]方程两边同乘以分离变量为

即得

积分得

ln|tany|=3ln|ex-1|+C。

所以方程有通解为

tany=C(ex-1)3。

6.

微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=______。正确答案：xe1-x[解析]此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有所以原方程可化为

解此微分方程得

ln|lnu-1|=ln|C1x|，

去绝对值可得

lnu=C1x+1，u=eC1x+1，

将u|x=1=1代入，得C1=-1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x。

7.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解y=______。正确答案：(x+C)cosx[解析]直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知

8.

微分方程满足y|x=1=1的特解为______。正确答案：[解析]令则原方程变为分离变量得

两边积分得

即将y|x=1=1代入上式得C=e。

故满足条件的方程的特解为

9.

微分方程xy'+2y=sinx满足条件的特解为______。正确答案：[解析]将已知方程变形整理得

根据通解公式得

10.

微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的特解为______。正确答案：y=e-xsinx[解析]原方程的通解为

由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e-xsinx。

11.

微分方程xy'+2y=xlnx满足的特解为______。正确答案：[解析]原方程可等价为

于是通解为

由y(1)=解得C=0。

故所求特解为

12.

微分方程(y+x2e-x)dx-xdy=0的通解是y=______。正确答案：x(-e-x+C)[解析]微分方程

(y+x2e-x)dx-xdy=0，

可变形为

所以其通解为

13.

微分方程(y+x3)dx-2xdy=0满足的特解为______。正确答案：[解析]方法一：常数变易法。原方程变形为

先求齐次方程的通解，则两端积分得

设为非齐次方程的通解，代入方程得

从而积分得

于是非齐次方程的通解为

由得C=1，故所求通解为

方法二：公式法。原方程变形为由一阶线性微分方程通解公式得

由得C=1，因此所求的解为

一阶线性微分方程的通解公式其实也是由常数变易法推导出来的，因此能用常数变易法求解的一阶微分方程一般都可以用通解公式求解，因此考生需要牢记通解公式，以便于快速解题。

三、解答题1.

求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0满足y(0)=1的解。正确答案：解：整理微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0，得

先解对应的齐次方程解得ln|y|=-ln|x2-1|+C，即有

将上式代入原微分方程得到故

C(x)=sinx+C，

则原微分方程的解为

又因为y(0)=1，代入上式得到C=-1，则原微分方程的解为

2.

求微分方程y"=3y'+2y=2xex的通解。正确答案：解：齐次方程y"-3y'+2y=0的特征方程为λ2-3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。

即对应齐次方程的通解为

Y=C1e2x+C2ex。

设非齐次方程的特解为

y*=(ax+b)xex，

则有

(y*)'=[ax2+(2a+b)x+b]ex，

(y*)"=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，

代入原方程得a=-1，b=-2，因此所求通解为y=C1e2x+C2e-x(x+2)ex。

3.

求微分方程y"-a(y')2=0(a＞0)满足初始条件y|x=0=0，y'|x=0=-1的特解。正确答案：解：令y'=p，则代入原方程得

分离变量并积分由x=0，y=0，y'=p=-1，得C1=1，即

故有

由x=0，y=0，得C2=0，所以

[解析]可降阶的二阶微分方程有两类：y"=f(x，y')型及y"=f(y，y')型，即方程中只要缺少变量x或y中的任何一个都属于可降阶的二阶微分方程。两类方程求解的基本方法都是作变量代换p=y'，前一种方程中，直接将y"写成p'，则可以将微分方程化为p'=f(x，p)；在后一种方程中，由于方程中没有变量x，只有变量y，此时应该将y"写成，将方程化为

4.

已知函数f(x)满足方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。

(Ⅰ)求f(x)的表达式；

(Ⅱ)求曲线的拐点。正确答案：解：(Ⅰ)齐次微分方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0的特征方程为λ2+λ-2=0，特征根为λ1=1，λ2=-2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x。

再由

f"(x)+f(x)=2ex

得

2C1ex-3C2e-2x=2ex，

因此

C1=1，C2=0。

所以f(x)的表达式为f(x)=ex。

(Ⅱ)曲线方程为则

令y"=0，得x=0。

下面证明x=0是y"=0唯一的解，当x＞0时，

可知y"＞0；

当x＜0时，

可知y"＜0。因此x=0是y"=0唯一的解。

同时，由上述讨论可知曲线

在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线唯一的拐点。

5.

求初值问题的解。正确答案：解：将原方程化简

令代入上式，得

化简并移项，得

由积分公式得其中C是常数，因为x＞0，所以C＞0，去掉对数，得即

把y|x=1=0代入并化简，得

[解析]齐次方程的标准形式为，求解的基本思路是作变量代换，借助导数的运算法则可得，这样就将原方程化为了可分离变量的微分方程。上述公式不必记忆，掌握处理方式即可。

6.

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式

(Ⅰ)求导数f'(x)；

(Ⅱ)证明当x≥0时，不等式e-x≤f(x)≤1成立。正确答案：解：(Ⅰ)由题设知

上式两边对x求导，得

(x+1)f"(x)=-(x+2)f'(x)，

即有

两边积分，得

ln|f'(x)|=-x-ln(x+1)+C1，

所以

在题设等式中令x=0，得f'(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f'(0)=-1，代入f'(x)的表达式，得C=-1，故有

(Ⅱ)方法一：由(Ⅰ)中结果知，当x≥0时，f'(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。

设φ(x)=f(x)-e-x，则

当x≥0时，φ'(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有

f(x)≥e-x。

综上所述，当x≥0时，不等式e-x≤f(x)≤1成立。

方法二：因为

将f'(x)代入，得

当x≥0时，所以e-x≤f(x)≤1。

7.

设f(t)连续并满足求f(t)。正确答案：解：已知f(t)连续，因此可导，从而f(t)可导，于是

所以

利用公式

由f(0)=1得C=e。因此，

f(t)=e1-cost+4(cost-1)。

8.

用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1-x2)y"-xy'+y=0，并求其满足y|x=0=1，y'|x=0=2的特解。正确答案：解：

代入原方程，得

解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+将y|x=0=1，y'|x=0=2代入，得C1=2，C2=1。

故满足条件的特解为

9.

利用代换将方程y"cosx-2y'sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。正确答案：解：方法一：由得

y'=u'secx+usecxtanx，

y"=u"secx+2u'secxtanx+u(secxtan2x+sec3x)，

代入原方程y"cosx-2y'sinx+3ycosx=ex，得

u"+4u=ex。

(*)

先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2为任意常数)。

再求非齐次方程的特解。设其特解为u*(x)=Aex，代入(*)式，得

(Aex)"+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，

解得

故(*)的通解为

所以，原微分方程的通解为

方法二：由得u=ycosx，于是

u'=y'cosx-ysinx，

u"=y"cosx-2y'sinx-ycosx，

原方程化为u"+4u=ex(以下与方法一相同)。

10.

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。

(Ⅰ)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；

(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的特解。正确答案：解：(Ⅰ)由反函数的求导公式知于是有

代入原微分方程得

y"-y=sinx。

(*)

(Ⅱ)方程(*)所对应的齐次方程y"-y=0的通解为

Y=C1ex+C2e-x。

设方程(*)的特解为

y*=Acosx+Bsinx，

代入方程(*)，求得A=0，因此y"-y=sinx的通解是

由y(0)=0，得C1=1，C2=-1。故所求初值问题的特解为

11.

设f(u，v)具有连续偏导数，且f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。正确答案：解：由y(x)=e-2xf(x，x)，有

y'(x)=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]，

由f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v可得

f'1(x，x)+f'2(x，x)=(sin2x)e2x。

于是y(x)满足一阶线性微分方程

y'(x)+2y(x)=sin2x，

通解为

由分部积分公式，可得

所以

12.

设f(u，v)具有连续偏导数，且满足f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。正确答案：解：方法一：由y(x)=e-2xf(x，x)，两边对x求导有

y'=-2e-2xf(x，x)+e-2xf'1(x，x)+e-2xf'2(x，x)

=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]

=-2y+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]。

已知f'u(u，v)+f'v(u，