考研数学二分类模拟208

考研数学二分类模拟208一、选择题1.

累次积分可以写成______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由累次积分可知，积分区域D为

由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图所示。该圆的直角坐标方程为。故用直角坐标表示区域D为

或者

可见选项A、B、C均不正确，故选D。

2.

则积分区域为______A.x2+y2≤a2B.x2+y2≤a2(x≥0)C.x2+y2≤axD.x2+y2≤ax(y≥0)正确答案：C[解析]由r=acosθ知r2=a2cos2θ，即x2+y2=ax(a＞0)。故选C。

3.

设函数f(t)连续，则二重积分

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得

故选B。

4.

设有平面闭区域，D={(x，y)|-a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则

A．

B．

C．

D．0正确答案：A[解析]将闭区间D={(x，y)|-a≤x≤a，x≤y≤a}用直线y=-x将其分成两部分D2和D3，如图所示，其中D2关于x轴对称，D3关于y轴对称，xy关于x和y均为奇函数，所以在D2和D3上，均有

而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D3积分值不为零，在D2积分值为零，因此

其中D1是D3在第一象限的部分，所以

故选A。

5.

设区域D由曲线y=sinx，围成，则A.πB.2C.-2D.-π正确答案：D[解析]区域D如图中阴影部分所示，引入曲线y=-sinx将区域分为D1，D2，D3，D4四部分。

由于D1∪D2关于y轴对称，可知在D1∪D2上关于x的奇函数积分为零，故

又由于D3∪D4关于x轴对称，可知在D3∪D4上关于y的奇函数为零，故

因此

故选D。

6.

设f(x，y)连续，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)=______

A．xy

B．2xy

C．

D．xy+1正确答案：C[解析]等式两端积分得

则有

故选C。

7.

设f(x，y)连续，且其中D表示区域0≤x≤1，0≤y≤1，则

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]令有

f(x，y)=ex2+y2+Axy，xyf(x，y)=xyex2+y2+Ax2y2，

于是

即有

可见

故有

故选C。

8.

设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}、f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则

A．abπ

B．

C．(a+b)π

D．正确答案：D[解析]根据轮换对称性可得

故选D。

二、填空题1.

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=______。正确答案：[解析]方法一：本题可以利用极坐标变换，0≤r≤2sinθ。因此

方法二：通过直角坐标变换求解，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为

因此直角坐标区域为

所以可得

2.

设D={(x，y)|x2+y2≤1}，则正确答案：[解析]利用函数奇偶性及轮换对称性

3.

D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则=______。正确答案：[解析]积分区域可以表示为D={(x，y)|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，则

利用换元法，令1+x=t，x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则

4.

设f(x，y)连续，且其中D是由，x=1，y=2所围成的区域，则f(x，y)=______。正确答案：[解析]首先令则A为常数，此时f(x，y)=x+Ay。

即因此可得

5.

D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则正确答案：[解析]圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为

因此

6.

设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=______。正确答案：[解析]由题干可知

7.

其中D由y轴，，y=arctanx围成。正确答案：[解析]

三、解答题1.

设D={(x，y)|x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分正确答案：解：设有

D1={(x，y)|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。

则有

2.

设二元函数

计算二重积分其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}。正确答案：解：因为被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x，y轴均对称，所以，其中D1为D在第一象限内的部分。

所以可得

3.

计算二重积分其中D由曲线与直线及围成。正确答案：解：积分区域如图所示，D=D1∪D2，其中

且区域D关于x轴是对称的，被积函数3x2y+y3是y的奇函数，所以

因此

4.

求其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图)。

正确答案：解：令D1={(x，y)|x2+y2≤4}，D2={(x，y)|(x+1)2+y2≤1}(如图所示)。

根据图形的对称性，

因此

5.

设平面区域D由曲线与x轴围成，计算二重积分正确答案：解：积分区域如图所示，则原积分可化为

令x=t-sint，y=1-cost，换元可得，

[考点]本题考查二重积分的计算。[解析]由曲线方程可以得到积分区域的图形，图形的边界曲线为参数方程。考生在解答过程中可以先将二重积分化为累次积分，从而计算出内层积分，然后计算外层积分时将参数方程代入，从而可以得到一个关于变量t的定积分。

6.

正确答案：解：设二重积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得

7.

设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分正确答案：解：积分区域D如图所示。因为区域D关于x轴对称，函数是变量y的偶函数，函数是变量y的奇函数。

取D1=D∩{y≥0}，则有

[解析]只要积分区域关于某一个坐标轴是对称的，计算积分时就可以先利用奇偶性简化计算。

8.

设平面区域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，计算正确答案：解：D关于y=x对称，满足轮换对称性，则

所以有

9.

正确答案：解：

10.

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=正确答案：解：将二重积分转化为累次积分可得

首先考虑注意这里把变量y看作常数，故有

由f(1，y)=f(x，1)=0易知，f'