用空间向量研究直线、平面的位置关系+高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4空间向量的应用研究平面向量推广到空间向量向量渐渐成为重要工具立体几何问题（研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形）1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系①空间中点的向量表示思考：如何确定一个点在空间的位置?

OP1.空间中点、直线、平面的向量表示②空间中直线的向量表示思考：在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?用向量表示直线l，就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点.ABP

l

ABP

lO

取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

即①式和②式都称为空间直线的向量表示式。①②结论：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。思考1：给一个定点和两个定方向,能确定一个平面在空间的位置吗?空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定,αO

P

③空间中平面的向量表示αA

P

O取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使③式称为空间平面ABC的向量表示式。③结论：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。CB思考2：给一个定点和一个定方向能确定一个平面在空间的位置吗?给定空间一点A和一个直线l,则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.α

A

lP

一个平面有多少个法向量？它们是什么关系？如何求平面的一个法向量？α

两个方程三个未知数非零向量oxyzABCO1A1B1C1练习:

如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)

练习1:在空间直角坐标系中,已知A(3,0,0)

,B(0,4,0),C(0,0,2)

,

试求平面ABC的一个法向量.

2、空间中直线、平面的平行(1)线线平行

l1l2(2)线面平行

αl

(3)面面平行

αβ例题:

证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.αβPba

ACDBC1D1B1A1P

3、空间中直线、平面的垂直(1)线线垂直

αl1l2说明：①两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.②基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.(2)线面垂直

αl1.基底法：用基向量表示直线所在的向量，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零；2.法向量法：建系，求直线方向向量及平面法向量的坐标，证直线方向向量与平面法向量共线（坐标法思路1）；总结:证明线面垂直方法3.判定定理法：建系，求直线方向向量的坐标，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零（坐标法思路2）.(3)面面垂直

αβ1.判定定理法：利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；2.法向量法：直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法：总结:证明面面垂直方法

ACDBC1D1B1A1

例题:证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这