高中数学 1.2.3 第2课时平面与平面垂直基础巩固试题 新人教B版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.2.3第2课时平面与平面垂直基础巩固试题新人教B版必修2一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β ④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③[答案]D[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,α∥β))⇒l⊥β)),,,m⊂β))⇒l⊥m，故①对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊥α))⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m⊂β))⇒l∥β或l⊂β)),,,l⊥α))⇒α⊥β，∴③对；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊥m))⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D.2．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案]D[解析]由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案]D[解析]如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.4．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[答案]C[解析]α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C.二、填空题5．Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6eq\r(10)，那么点P到平面α的距离等于__________．[答案]12[解析]作PO⊥平面α，作OE⊥AC，OF⊥AB，则AC⊥平面POE，AB⊥平面POF，∴PE＝PF＝6eq\r(10)，从而OE＝OF，∴∠EAO＝∠FAO＝45°，在Rt△PAE中，PA＝24，PE＝6eq\r(10)，∴AE2＝PA2－PE2＝216，又在Rt△OEA中，OE＝AE，∴在Rt△POE中，PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(PE2－AE2)＝eq\r(6\r(10)2－216)＝12.6．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB[答案]MN⊥AB[解析]如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.三、解答题7．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥[解析]如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂∴B1C⊥AN又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC一、选择题1．(·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α[答案]C[解析]该题考查立体几何中线线、线面、面面的平行与垂直，考查推理论证能力与空间想象能力．A选项可以m⊂α，B可以m⊂α或m∥α，C选项证明m⊥β，n⊥β，∴m∥n，又n⊥α，∴m⊥α，D可以m⊂α.举反例说明命题错误，正确的命题要有充分的说理根据(证明)．2．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]如图，PH⊥平面ABC于H，PA⊥BC，PB⊥AC，AH⊥BC，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；对于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，同①，所以H是△ABC的垂心；对于③，∠ABC＝90°，H是AC的中点，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；对于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HC＝HB，即H是△ABC的外心．①②③④都正确，故选D.二、填空题3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)[答案]BM⊥PC(其它合理即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.∴面PCD⊥面BDM.4．(·河南南阳一中高一月考)下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．[答案]①④⑤[解析]①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.三、解答题5.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.[解析](1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝eq\f(1,2)CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又∵DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.6．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1[解析](1)解法一：取A1B1的中点F1，连接FF1、C1F1∵FF1∥BB1∥CC1，∴F1∈平面FCC1，∴平面FCC1即为平面C1CFF1，连接A1D、F1C，∴A1F1綊D1C1∴四边形A1DCF1为平行四边形，∴A1D∥F1C又∵EE1∥A1D，∴EE1∥F1C∵EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1∴EE1∥平面FCC1.解法二：∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1(2)证明：连接AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，∴AF＝FC＝FB，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面故平面D1AC⊥平面BB17．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1(2)设D是A1C1上的点，且A1B