高中数学 1.1.2 简单多面体基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.1.2简单多面体基础巩固北师大版必修2一、选择题1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10[答案]D[解析]由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱对角线的条数共有2×5＝10条．2．下图中是四棱台的侧面展开图的是()[答案]D[解析]A，C都是四棱柱的侧面展开图，B是四棱锥的侧面展开图，D是四棱台的侧面展开图．3．给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①显然是正确的；对于②，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故③是正确的．4．一个棱柱是正四棱柱的条件是()A．底面是正方形有两个侧面是矩形B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面C．底面是菱形且有一个顶点处的两条棱互相垂直D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形的四棱柱[答案]D[解析]对于A，满足了底面是正方形，但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形(相对的两个面)；对于B，垂直于底面的侧面不是面内所有直线都垂直于底面，因此，不能保证侧棱垂直于底面；对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.5．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥[答案]D[解析]因为棱锥的各条棱都相等，所以侧面都是正三角形，又因为顶点处的各个面上顶角之和小于360°，从而侧面数小于6，故选D.6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．2C．快 D．乐[答案]B[解析]由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.二、填空题7．如图所示，三棱台A′B′C′－ABC截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是________．[答案]四棱锥[解析]剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.8．下列命题中正确的是________．①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；④底面是正多边形，并且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥．[答案]④[解析]①不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心；②不能保证底面为正多边形，只能说明多边形共圆；③这个命题更具迷惑性，最关键的原因是不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确，只有④正确．三、解答题9．正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台侧棱的长和斜高．[解析]如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1和O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2eq\r(2)cm，OB∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2.∴B1B＝19cm，E1E＝5eq\即棱台的侧棱长为19cm，斜高为5eq\一、选择题1．已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()A．2eq\r(3) B．eq\r(14)C．5 D．6[答案]C[解析]设长方体的三条棱长分别为a、b、c，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ab＋bc＋ca＝11，,4a＋b＋c＝24，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ab＋bc＋ca＝11，①,a＋b＋c＝6，②))由②平方，得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝36，∴a2＋b2＋c2＝25，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝5.2．如图所示几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个为四边形，另外8个为三角形[答案]D[解析]围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，故四边形ABCD不是该多面体的面．二、填空题3．下列三种叙述，其中正确的个数为________．①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台[答案]0[解析]①中的平面不一定平行于底面，故①错误．②③可用反例去检验如图所示，故②③不对．4．正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为________cm2.[答案]16[解析]正四棱台的中截面是正方形，其边长为eq\f(1,2)(3＋5)＝4(cm)．由此S截＝42＝16(cm2)．三、解答题5．正四棱锥的高为eq\r(3)，侧棱长为eq\r(7)，则侧面上的等腰三角形底边上的高为多少？[解析]如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝eq\r(3)，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7).解Rt△SOA得OA＝2，则AC＝4，所以AB＝BC＝CD＝DA＝2eq\r(2).作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，故OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2).连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，因为OE＝eq\r(2)，SO＝eq\r(3)，所在SE＝eq\r(5)，即侧面上的等腰三角形底边上的高为eq\r(5).6．一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．[解析]如图所示，正三棱柱ABC－A′B′C′，符合题意的截面为△A′BC.在Rt△A′B′B中，A′B′＝4，BB′＝6，∴A′B＝eq\r(A′B′2＋BB′2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13).同理A′C＝2eq\r(13)，在等腰三角形A′BC中，O为BC的中点，BO＝eq\f(1,2)×4＝2，∵A′O⊥BC，∴A′O＝eq\r(A′B2－BO2)＝eq\r(2\r(13)2－22)＝4eq\r(3).∴S△A′BC＝eq\f(1,2)BC·A′O＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3).∴此截面的面积为8eq\r(3).7．如图所示，在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？[解析](1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；水的形