2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-10.1.4-概率的基本性质-作业

四十一概率的根本性质【根底全面练】(25分钟50分)一、选择题(每题5分，共20分)1．小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习〞为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习〞为事件B，那么P(A＋B)＝()A．eq\f(3,25)B．eq\f(5,8)C．eq\f(9,16)D．eq\f(1,4)【解析】选B.P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(14,32)＋eq\f(6,32)＝eq\f(5,8).2．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教〞，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90，120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为()A．0.2B．0.3C【解析】选B.该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90，120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝1－(0.2＋0.5)＝0.3.3．以下说法正确的选项是()A．当A，B不互斥时，可由公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)计算A∪B的概率B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小C．假设P(A)＋P(B)＝1，那么事件A与B是对立事件D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大【解析】选A.根据概率的性质，可知选项A正确，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故B错误，当A，B是对立事件时，P(A)＋P(B)＝1，但由P(A)＋P(B)＝1不能得到事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生且事件B不发生，事件A不发生且事件B发生，事件A，B同时发生；A，B中恰有一个发生包括事件A发生且事件B不发生，事件A不发生且事件B发生．当事件A，B互斥时，事件A，B发生的概率为0，所以事件A，B中至少有一个发生的概率等于事件A，B中恰有一个发生的概率，故D错误．4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，那么所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A．eq\f(1,10)B．eq\f(3,10)C．eq\f(3,5)D．eq\f(9,10)【解析】选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，那么所包含的根本领件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个根本领件发生的时机均等，因此这些根本领件的发生是等可能的．用A表示“所取的3个球中至少有1个白球〞，那么其对立事件eq\x\to(A)表示“所取的3个球中没有白球〞，那么事件eq\x\to(A)包含的根本领件有1个：(a1，a2，a3)，所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).二、填空题(每题5分，共10分)5．如下图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，那么不命中靶的概率是________．【解析】“射手命中圆面Ⅰ〞为事件A，“命中圆环Ⅱ〞为事件B，“命中圆环Ⅲ〞为事件C，“不中靶〞为事件D，那么A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.6．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，那么P(A)＝________．【解析】因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)三、解答题(每题10分，共20分)7．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？【解析】记“无人排队等候〞为事件A，“1人排队等候〞为事件B，“2人排队等候〞为事件C，“3人排队等候〞为事件D，“4人排队等候〞为事件E，“5人及5人以上排队等候〞为事件F，那么事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候〞为事件G，那么G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一：记“至少3人排队等候〞为事件H，那么H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二：记“至少3人排队等候〞为事件H，那么其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.8．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾〞箱“可回收物〞箱“其他垃圾〞箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．【解析】(1)设“厨余垃圾〞箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，那么m＝400，n＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为eq\f(m,n)＝eq\f(400,600)＝eq\f(2,3).(2)设“生活垃圾投放错误〞为事件A，那么事件eq\x\to(A)表示“生活垃圾投放正确〞，从而P(eq\x\to(A))＝eq\f(400＋240＋60,1000)＝0.7，所以P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－0.7＝0.3.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每题5分，共10分)1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现〞，事件B表示“小于5的点数出现〞，那么一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(5,6)【解析】选C.抛掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意，得P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因为eq\x\to(B)表示“出现5点或6点〞的事件，所以事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).2．(多项选择题)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．假设该员工3杯都选对，那么评为优秀；假设3杯选对2杯，那么评为良好；否那么评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．那么以下结论正确的选项是()eq\f(1,10)eq\f(2,5)C.此人被评为不合格的概率为eq\f(3,10)eq\f(7,10)【解析】选ACD.将5杯饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，那么从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为不合格事件，G表示此人被评为良好及以上的事件．那么：事件D含(123)，只有1个样本点，事件E含(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)，共6个样本点，故P(D)＝eq\f(1,10)，P(E)＝eq\f(3,5)，P(F)＝1－P(D)－P(E)＝eq\f(3,10)，P(G)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10).二、填空题(每题5分，共10分)3．P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．【解析】(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.P(AB)＝P(∅)＝0.答案：(1)0.40.2(2)0.604．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，假设发现存货少于2件，那么当天进货补充至3件，否那么不进货，将频率视为概率．那么当天商店不进货的概率为________．【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件〞与“日销售量为0件〞不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件〞为事件A，“当天商品销售量为1件〞为事件B，“当天商店不进货〞为事件C，那么P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)三、解答题(每题10分，共20分)5．某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生373xy男生377370z在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率为0.19.(1)求x的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在高三年级中抽取多少名？(3)y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生少的概率．【解析】(1)因为eq\f(x,2000)＝0.19，所以x＝380.(2)高三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为eq\f(500,2000)×48＝12.(3)设高三年级女生比男生少为事件A，那么eq\x\to(A)为高三年级女生比男生多或高三年级男生和女生同样多．高三年级女生数、男生数记为(y，z)，由(2)知y＋z＝500，y，z∈N.满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件eq\x\to(A)包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个．所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,11).因此，P(A)＝1－eq\f(6,11)＝eq\f(5,11).6．袋中有12个大小质地完全相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq\f(5,12)，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球〞“得到黑球〞“得到黄球〞“得到绿球〞分