2021届新高考高考考前数学冲刺卷试题一解析版

2021届（新高考）高考考前数学冲刺卷试题（一）一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，，故选：B.2．在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，，则（）A．-5 B．5 C．1-4i D．-1+4i【答案】B【分析】根据对称得，再由复数的乘法计算即可.【详解】复数对应的点关于实轴对称，，所以，所以.故选：B.3．设是两个不同平面，直线，直线，则下列结论正确的是（）A．是的充分条件 B．是的必要条件C．是的必要条件 D．是的必要条件【答案】A【分析】根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断可得选项．【详解】解：∵，，∴，故是充分条件，故A正确，由，得或异面，故不是必要条件，故B错误，由推不出，也可能与平行，故不是的必要条件，故C错误，由推不出，也可能平行，不是的必要条件，故D错误，故选：A．4．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（）A．13 B．12 C．24 D．25【答案】D【分析】先由，转化为，再应用等差数列的性质，将等差数列求和问题转化为中间项求解即可.【详解】，．，则，．故选：D.【点睛】等差数列常用结论：若等差数列的项数为偶数，则；若等差数列的项数为奇数，则.5．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]【答案】D【分析】根据向量数量积的定义，等于乘以在向量上的投影，因为不变，故求的取值范围等价于求向量在向量上的投影的长度取值范围即可.【详解】解：由题可知，当点P在点C处时，最小，此时过圆心O作OPAB交圆弧于点P，连接AP，此时最大，过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，则=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，所以的取值范围为[2，5].故选：D.【点睛】方法点睛：利用数量积几何意义，将问题转化为投影长度的变化，从而求得取值范围.6．设是双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于两点．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．5【答案】C【分析】首先设出一条过点垂直于渐近线的垂线方程，并分别与两条渐近线方程联立，利用，转化为坐标间的关系，得到关于的方程，求离心率.【详解】不妨设，过作双曲线一条渐近线的垂线方程为，与联立可得；与联立可得，∵，∴，整理得，，即，∵，∴．故选：C．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.7．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且，则长度的最大值为（）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】设，用正弦定理把用表示，然后求得，结合两㸖和与差的正弦公式可求得最大值．【详解】设，则，，，中，由正弦定理，得，，同理，＝，其中，，且为锐角，所以当时，．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查用正弦定理解三角形．解题关键是引入角，把表示为的函数，从而把用的三角函数表示，再利用三角函数知识求得最值．8．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】先判断函数单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得，解不等式即得解.【详解】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．由可得，即，所以，即，即，又因为，所以，此时原不等式解集为．故选：A【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.二、多选题9．某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位：)，其频率分布直方图如图.超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费(同一组数据用该区间的中点值代替)，则下列说法正确的是（）A．免收停车费的顾客约占总数的20%B．免收停车费的顾客约占总数的25%C．顾客的平均停车时间约为58D．停车时间达到或超过60的顾客约占总数的50%【答案】BCD【分析】根据频率分布直方图，根据频率，频数，以及平均数公式，分别判断选项.【详解】由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的(0.0025+0.01)×20=0.25，故免收停车费的顾客约占总数的25%，故选项A错误，选项B正确；由频率分布直方图可知，a=0.05﹣0.015﹣0.01×2﹣0.0025=0.0125，则顾客的平均停车时间约为(10×0.0025+30×0.01+50×0.0125+70×0.015+90×0.01)×20=58min，故选项C正确；停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的(0.015+0.01)×20=0.5，故停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的50%，故选项D正确.故选：BCD.10．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期为π，最大值为2 B．f(x)的图象关于点中心对称C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)在区间上单调递减【答案】ACD【分析】利用图象求出、、，可得，再根据图象变换可得，根据正弦函数的对称中心、对称轴、周期、最值、单调性可知ACD；B不正确.【详解】由图可知，A＝2，T＝4×＝，所以ω＝＝3．又由g＝2可得，，得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，所以φ＝－．所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin．所以f(x)的最小正周期为π，最大值为2，选项A正确．对于选项B，令2x＋＝k′π(k′∈Z)，得x＝－(k′∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为(k′∈Z)，由，得k′＝，不符合k′∈Z，B错误．对于选项C，令2x＋＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确．当x∈时，2x＋，所以f(x)在区间上单调递减，所以选项D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：熟练掌握五点法求函数解析式、图象变换规律以及正弦函数的性质是解题关键.11．如图，正方体的棱长为1，分别为的中点.则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面的距离相等【答案】BC【分析】对于A：由,而直线与直线不垂直即可判断；对于B：取的中点N，连结GN,A1N,可以证明面，面，利用面面平行的判定定理证明面面即可得到直线与平面平行.对于C：连结,先判断出平面截正方体所得的截面为面，是一个为等腰梯形，求出各边长，求出高，即可计算出面积；对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,得到矛盾，则假设不成立,即可判断.【详解】对于A：在正方体中，,因为直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直.故A错误；对于B：取的中点N，连结GN,A1N,因为，N分别为,的中点,所以由三角形中位线定理得：所以因为面，EF面，所以面.同理可证：面.又面，面，，所以面面,所以直线与平面平行.故B正确；对于C：连结,由上面证明过程可知,所以平面截正方体所得的截面为面.因为，,所以为等腰梯形，如图示：过E、F分别作EP、FQ垂直AD1于P、Q，则,所以,所以等腰梯形的面积为.故C正确.对于D：假设C与G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于H,而H不是CG中点,则假设不成立,故D错误.故选：BC【点睛】（1）立体几何中几何关系的证明，用判定定理；（2）作多面体的截面方法（交线法）：关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面；12．已知函数，则（）．A． B．若有两个不相等的实根、，则C． D．若，，均为正数，则【答案】AD【分析】A：代入直接计算比较大小；B：求的导函数，分析单调性，可得当有两个不相等实根时、的范围，不妨设，则有，比较的大小关系，因为，可构造，求导求单调性，计算可得成立，可证；C：用在上单调递增，构造可证明；D：令，解出，，做差可证明.【详解】解：对于A：，又，，，所以，则有，A正确；对于B：若有两个不相等的实根、，则，故B不正确；证明如下：函数，定义域为，则，当时，；当时，；，所以在上单调递增，在上单调递减，则且时，有，所以若有两个不相等的实根、，有，不妨设，有，要证，只需证，且，又，所以只需证，令则有当时，，，所以有，即在上单调递增，且，所以恒成立，即，即，即.对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，则有，故C不正确；对于D：令，，均为正数，则，解得：，，，由B可知，在上单调递增，则有，即，即，所以，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查利用导函数比较大小以及极值点偏移证明不等式，属于难题.知识点点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.三、填空题13．已知的二项展开式中，所有二项式系数的和等于64，则该展开式中常数项的值等于_________．【答案】60【分析】首先根据条件求出，然后写出展开式的通项，然后可得答案.【详解】因为所有二项式系数的和等于64，所以，所以，所以展开式的通项为，令得，所以该展开式中常数项的值等于.故答案为：60.14．与直线关于对称的直线的方程为__________.【答案】【分析】求出直线与直线的交点，在直线上取点，求出它关于直线的对称点，再由两点式可求出结果.【详解】联立，解得，所以直线与直线的交点为，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：，即.故答案为：15．已知甲、乙两人的投篮命中率都为，丙的投篮命中率为，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为______．【答案】【分析】利用对立事件概率公式可求得，利用导数可求得的最小值.【详解】设事件为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则，，设，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用相互独立事件求复杂事件概率的求解思路为：（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；（2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件；（3）代入概率的积、和公式求解．四、双空题16．已知抛物线y2=4x的焦点F，过点F作直线l交抛物线于A,B两点，则=_________.的最大值为________【答案】14【分析】由题意设直线AB的方程以及A、B点的坐标，

由直线与抛物线方程联立消去y整理得关于x的二次方程，

利用抛物线的定义可求的值，利用三元均值不等式求出最大值．【详解】由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），设设为A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x=my+1,联立直线与抛物线方程可得，有抛物线的限制可得故（）由（）可得故当且仅当时取等号，故的最大值为4.．即答案为1,4【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质，考查基本不等式，属中档题.五、解答题17．已知函数，.（1）求函数的递增区间；（2）在中，内角满足，且，，求的周长.【答案】（1）；（2）12.【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的增区间可求出结果；（2）由求出，由余弦定理求出，由求出，联立这两个方程解出后，可得三角形的周长.【详解】（1），令，，得，，因为，令，得，由.所以，当时，单调递增，即的递增区间为.（2）因为，所以，又因为，所以，即，由余弦定理可知，①又因为，所以，②联立①②得，所以的周长为12.【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式、正弦函数的单调性以及余弦定理是解题关键.18．已知是数列的前项和，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由可得，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得，即，再利用累加法求出，然后利用分组求法求出【详解】（1）证明：因为，所以，即．因为，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列．（2）解：由（1）知．因为，所以．所以，故．【点睛】关键点点睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出，属于中档题19．某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试，要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试，试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀．考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩服从正态分布．（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量5G，否则获赠手机流量1G．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少G？参考数据：若，则【答案】（1）万人；（2）（万G）．【分析】（1）根据题意，得到，由此考试成绩优秀者得分，即，结合正态分布的对称性和参考数据，即可求解（2）设每位抽奖者获赠的手机流量为的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望，即可得到答案.【详解】（1）由题意，随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64，即，所以考试成绩优秀者得分，即．又由，得．所以估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达万人．（2）设每位抽奖者获赠的手机流量为G，则的值为1，2，5，6，10．可得，，，，．所以随机变量的分布列为：125610所以（G）．因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为（万G）．【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)由直角梯形ABCD中已知量求出AC，CD值而证得，再由平面可得，从而得出线面垂直，命题即可得证；(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABM和平面ACM的法向量，再利用向量夹角公式求解而得.【详解】（1）直角梯形中，，，，，∴，，∴，∴，又∵平面，∴，又∵，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）∵为的中点，，∴，以射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：得，，设平面的法向量为，则，即，令，则x=0，z=2，，由(1)知平面，则平面的法向量，，所以二面角的余弦值为.【点睛】向量法求二面角注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．21．已知函数(其中常数).（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，且，求证：.【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．；（2）证明见解析．【分析】（1）求导得，记，，分两种情况讨论①当，②当，的正负，即的正负，进