2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学知识竞赛数学试题解析版

2021-2022学年湖南省部分校高二下学期基础学知识竞赛数学试题一、单选题1．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】，，，故选：C.2．若为纯虚数，则a的值为（

）A． B． C．2 D．0【答案】D【分析】根据复数的除法运算及复数的概念即可求解.【详解】解：为纯虚数，则.故选：D.3．在的展开式中，含项的系数为（

）A． B．2048 C． D．【答案】A【分析】根据二项式定理展开通项赋值求解即可.【详解】二项式的展开式的通项，令，得，故含项的系数为.故选：A.4．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解.【详解】解：若，又，则，故充分性成立，反之，若，又，则，故必要性成立.故“”是“”的充要条件.故选：C.5．已知平面向量，，若与共线，则（

）A．6 B．-6 C． D．【答案】B【分析】由向量共线的坐标表示即可得出答案.【详解】若与共线，则，解得.故选：B.6．已知函数，若曲线在点处的切线经过点（3，5），则a的值为（

）A． B．e C．1 D．2【答案】A【分析】根据导数的几何意义求在处的切线方程，再由点在直线上求参数a即可.【详解】由题意，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，因为切线经过(3,5)，得，解得.故选：A.7．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用偶函数的性质得到在上单调递增，.把原不等式转化为或即可解得.【详解】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范围是.故选：D.8．某工厂专业生产水稻收割机，它有三个等级：一级品､二级品和三级品.现A车间中有4个一级品，4个二级品和2个三级品，B车间中有5个一级品，3个二级品和2个三级品，先从B车间中随机取出两个水稻收割机放入A车间，再从A车间中随机取出一个水稻收割机，则从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用排列组合的方法结合古典概型的概率公式来求古典概型的概率.【详解】记事件M为“从A车间中取出的水稻收割机为三级品”，记表示从B车间中随机取出两个一级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出两个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个二级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个一级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品，记表示从B车间中随机取出1个二级品1个三级品，从A车间中取出的水稻收割机为三级品.从B车间中随机取出两个一级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出两个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出两个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个一级品1个二级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个一级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以；从B车间中随机取出1个二级品1个三级品的概率为，从A车间中取出的水稻收割机为三级品的概率为，所以.所以.故选：C.二、多选题9．若抛物线C：上一点P到准线的距离等于它到点的距离，则点P的坐标可能为（

）A．（4，4） B． C． D．（4，-4）【答案】BC【分析】设焦点为F，.由条件及抛物线的定义知，，代入即可求出，又因为在抛物线上，代入即可求出点P的坐标.【详解】设焦点为F，.由条件及抛物线的定义知，，又，所以，所以，所以.故点P的坐标可能为或.故选：BC.10．要得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度B．每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】BC【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】解：对于A，将函数的图象每一点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得函数，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数，故A不正确；对于B，将函数的图象每一点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得函数，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数，故B正确；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，再将所得图象每一点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得函数，，故C正确；对于D，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，再将所得图象每一点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得函数，，故D不正确；故选：BC.11．任意抛掷一次骰子，把它在地面最上方的面上的数字记为X，则，定义事件：，事件：，事件：，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．，，两两相互独立【答案】AB【分析】根据古典概型求解概率即可.【详解】由题意，，，，所以，同理，，由，则，故A正确；由，则，故B正确；由，则，而，故C错误；因为，，，所以事件，，不两两相互独立，故D错误.故选：AB.12．下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用函数在上的单调性可判断AB选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；利用函数在上的单调性可判断D选项.【详解】对于AB选项，构造函数，其中，，所以，函数在上为增函数，因为，则，即，即，故，A对，因为，则，即，即，故，B对；对于C选项，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，则，故，C对；构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，则，即，所以，，D错.故选：ABC.三、填空题13．已知等差数列满足，则___________.【答案】【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】由等差中项的性质可得：.故答案为：.14．已知双曲线C的离心率为，写出双曲线C的一个标准方程：_______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据离心率确定，每取一个大于零的a值，就得到一个满足题意的答案.【详解】由题意双曲线的离心率为，即，可令，则，则可写答案为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.15．已知，，则___________.【答案】【分析】根据题意得，两边平方得，再分析求出，再分别求出和即可求解.【详解】由，得①，将①式等号两边同时平方，得，所以，而，所以，，所以，又，所以②.由①②得，，所以.故答案为：.16．如图，三棱锥中，，，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为___________.【答案】【分析】取BD的中点O，连接，说明O是三棱锥外接球的球心，再根据的面积可得，再根据勾股定理结合基本不等式求出的最小值，从而可求得三棱锥外接球半径的最小值，即可得解.【详解】解：取BD的中点O，连接，因为，，则，则O是三棱锥外接球的球心，因为的面积为8，所以，则，则，当且仅当时取等号，所以，则，即，所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.故答案为：.四、解答题17．已知的内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆半径为，且.(1)求及；(2)若，求，.【答案】(1)，(2)，或，【分析】（1）根据题意得，所以，再由求解即可；（2）根据余弦定理公式求解即可.【详解】(1)由及正弦定理，得，又在中，，则，可得，即得，又，则.又的外接圆的半径，由正弦定理，则.(2)由（1）知，，又，则由余弦定理得，解得，由，解得，或，.18．已知等比数列的前n项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）通过数列和的关系，结合等比数列的公式计算即可；（2）利用（1）的结论求，再分组求和和公式法进行求和即可.【详解】(1)由，可得，则，因为为等比数列，所以其公比为；又，所以.(2)由（1）可得，，所以.19．道德与法律的联系：法律､道德都是行为规范，都是为规范人们的行为而规定的行动准则.1.法律需要道德的奠基和撑持；2.道德的实施需要法律的强制保障.某校进行了一次道德与法律的相关测试（满分：100分），并随机抽取了50个统计其分数，得到的结果如下表所示：成绩/分人数/个44102210(1)若同一组数据用该区间中点值作代表，试估计这次测试的平均分和中位数（所得结果四舍五入保留整数）；(2)假设处于的4个人的成绩分别为20，26，35，38，求表中成绩的10%分位数；(3)以频率估计概率，若在这个学校中，随机挑选3人，记3人的成绩在间的数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)，(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）利用平均数公式与中位数计算方法求解；（2）根据百分位数的定义求解；（3）利用二项分布计算概率，列分布列并求解期望.【详解】(1)估计这次测试的平均分为（分）；设这次测试的中位数为，显然，则，解得（分）.即估计这次测试的中位数为.(2)由于，所以表中成绩的10%分位数为.(3)X所有可能取值为0，1，2，3.由表中数据可知，任意挑选一人，成绩在间的概率为.所以，，，，故X的分布列为X0123P故X的数学期望.20．如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为.(1)求到平面的距离；(2)设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且.求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由为的中点可得，而，利用等体积法即可求解点面距离；（2）以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用空间向量求解线面角即可.【详解】(1)解：因为为的中点，，所以，设到平面的距离为h，则到平面的距离为，因为，即，即，得，即到平面的距离.(2)因为是以为直角的等腰直角三角形，由（1）知，所以，如图，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则点，，，，.则，，.设平面的法向量为，则由解得.令，则，于是平面的一个法向量为.所以直线与平面所成角的正弦值为.故直线与平面所成角的正弦值为.21．已知椭圆C：的上顶点与右焦点分别为M，F，O为坐标原点，是底边长为2的等腰三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，，若，求k的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）又是底边长为2的等腰三角形，可得，，即可求解的值，进而得到椭圆C的方程；（2）联立直线方程与椭圆C的方程，消去，利用韦达定理得的值，由，得到，利用平面向量数量积的坐标表示得到关于的方程，代入的值，求解方程即可.【详解】(1)解：设椭圆C的半焦距为c.因为是底边长为2的等腰三角形，所以且，又，所以由勾股定理得，所以.所以，，所以椭圆C的方程为.(2)解：联立，消去得，则，解得或.设，，则则，，由，得，即，得，得，整理得，代入得，化简得，所以，解得，都满足或.综上，k的值为或.22．已知.(1)判断函数的单调性；(2)当时，求与的图象在上的交点个数.【答案】(1)见解析(2)交点个数为2【分析】（1）由导数与单调性的关系求解（2）转化为与的交点个数，由导数判断的