数学八年级湘教版上册第五章二次根式电子课件

二次根式本课内容本节内容5.1说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，5的平方根是，0的平方根是0，正实数a的平方根是．

因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.注意结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此举例例2计算：

解填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：举例例3计算：

解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a<0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习答案：x≤1答案：x≥2.计算：

答案：3答案：3.计算：

答案：7答案：3答案：0.01动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．例4化简下列二次根式．举例解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.举例例5化简下列二次根式．解

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.解

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.结论练习

化简下列二次根式．解解

化简下列二次根式．解二次根式的乘法和除法本课内容本节内容5.2说一说积的算术平方根的性质是什么？利用上述公式，可以进行二次根式的乘法运算．

我们把从右至左看，就可得举例例1计算：

举例例2计算：举例例3

已知一张长方形图片的长和宽分别是cm和cm，求这张长方形图片的面积.解答：这张长方形图片的面积为211.计算：

练习2.计算：3.已知三角形的一条边为cm，这条边上的高为cm，求该三角形的面积.解答：该三角形的面积为探究

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

一般地，如果a＞0，则，因此，，则如果设a＞0，与互为倒数.因此得到，结论

上述公式从左至右看，是商的算术平方根性质.利用这一性质，可以化简二次根式.例4化简下列二次根式．举例解

从变形到是为了去掉分母中的根号.

化简二次根式时，最后结果一般要求分母中不含有二次根式.把公式（*）从右至左看就可得：利用上述公式，可以进行二次根式的除法运算.

结论举例例3计算：

例6举例

电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h（km）与电视节目信号的传播半径r（km）之间满足（其中R是地球半径）.现有两座高分别为h1=400m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？

因为解设两座电视塔的传播半径分别为所以1.化简下列二次根式：

练习2.计算：

3.已知长方形的面积是，宽为m，求长方形的长.解二次根式的加法和减法本课内容本节内容5.3做一做计算：

动脑筋

下图是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成.求BE的长.

因为正方形ABCD

和CEGH的边长分别为和，

所以BE的长度为（化成最简二次根式）（分配律）

在进行二次根式的加减运算时，通常应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，但被开方数不变.

举例例1计算：

解

二次根式的加减与合并同类项类似.例2

下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m，求圆环的宽度d（π取3.14）.举例d解设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为，，由，可知则答：圆环的宽度为1.计算：

练习2.计算：动脑筋

甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽，高的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方为多少立方米呢（路基的土石方即等于路基的体积）？

路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：

即这段路基的土石方为

从上面的解答过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.举例例3计算：

从例3可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.举例例4计算：举例例5计算：解1.计算：

练习2.计算：3.计算：小结与复习

1.二次根式在实数范围内有意义的条件是什么？

2.二次根式有哪些性质？

4.如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？

举例说明什么叫最简二次根式，试写出一个二次根式并将它化简.加、减、乘、除运算二次根式性质最简二次根式积的算术平方根的性质：商的算术平方根的