数学八年级湘教版上册第四章一元一次不等式电子教案

不等式本课内容本节内容4.1

现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.

对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？

例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm；

则我们可以用不等号“>”或“<”来表示它们的高度之间的关系；如156>155或155<156.155cm156cm动脑筋（1）如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？

我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x>50.（2）一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程

s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？

根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且s≤100x.

像156>155，155<156，x>50，s≥60x，s≤100x

这样，我们把用不等号（>，<，≥，≤，≠）连接而成的式子叫作不等式.例1用不等式表示下列数量关系：举例（1）x的5倍大于-7；（2）a与b的和的一半小于-1；（3）长、宽分别为xcm，ycm的长方形的面积小于边长为acm的正方形的面积.解5x>-7（1）x的5倍大于-7；（2）a与b的和的一半小于-1；（3）长、宽分别为xcm，ycm的长方形的面积小于边长为acm的正方形的面积.解xy

＜a2

．

已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元.

做一做

小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？练习1.用不等式表示下列数量关系：（1）a是非负数；（2）x比-3小；（3）两数m与n的差大于5.解a≥0.解x<-3.解m-n>5.2.奥运射箭比赛，每一箭满分为10分.某选手在参加比赛时，前十箭中最低得分为7分，求该选手前十箭总得分x的范围.解100＞x＞

70.

不等式的基本性质本课内容本节内容4.2

我们在七年级上册已经学过等式的基本性质，那么不等式具有哪些性质呢？探究1.用不等号填空：（1）5

3；5+2

3+2；5-2

3-2.（2）2

4；2+1

4+1；2-3

4-3.>

>

>

<

<

<

2.水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和

84kg苹果.在卖出akg梨和akg苹果后，又分别各购进了bkg的梨和苹果.

100-a

84-a>请用“>”或“<”填空：

100–a+b

84–a+b>3.自己任意写一个不等式，在它的两边同时加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化.

15+1

30+1，15-1

30-1<<

不等式两边同加或减，不等式关系不变.与同桌互相交流，你们发现了什么规律？

不等式基本性质1

不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或（式），不等号的方向不变.结论

即，如果a>b，那么a+c>b+c,且a-c>b-c.一般地，不等式具有如下性质：例1

用“>”或“<”填空：举例（1）已知a>b，则a+3

b+3；（2）已知a<b，则a-5

b-5.

因为a>b，两边都加上3，

因为a<b，两边都减去5，解

由不等式基本性质1，得a+3>b+3；根据不等式基本性质1

由不等式基本性质1，得a-5<b-5.根据不等式基本性质1（1）已知a>b，则a+3

b+3（2）已知a<b，则a-5

b-5><例2

把下列不等式化为x>a或x<a的形式：举例（1）x+6>5；（2）3x<2x-2.（1）x+6>5，解不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得x+6-6>5-6；根据不等式基本性质1即：

x>-1（2）3x<2x-2，不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得

3x-2x<2x-2-2x；根据不等式基本性质1即：

x<-2

由（2）可以看出，运用不等式基本性质1

对3x<2x-2进行化简的过程，就是对不等式3x<2x-2

作了如下变形：（2）3x<2x-2.3x<2x-23x<2x-2-

从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项.动脑筋

我们知道三角形任意两边之和大于第三边，即如图所示，在△ABC中，有

AB+BC>AC，

BC+AC>AB，

AC+AB>BC.

那么，三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？

根据不等式基本性质1，我们可以把不等式AB+BC>AC中的BC移到右边，于是得到AB>AC-BC，即AC-BC<AB.同理，AB-AC<BC，BC-AB<AC.由此可得，三角形任意两边之差小于第三边.练习

1.已知a<b，用“>”或“<”填空：

（1）a+12

b+12；

（2）b-10

a-10.<>答：x>2答：x<62.把下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）1+x＞3；（2）2x＜x+6.探究1.用不等号填空：

（1）6

4；

6×2

4×2；

6÷(-2)

4÷(-2).（2）-2

-4；

-2×2

-4×2；

-2÷(-2)

(-4)÷(-2).>><>><2.（1）已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是

b元/kg，且a>b.

小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花钱较多？用不等号填空：3a

3b.>（2）在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分别为a，b，其中a>b.已知每队人员均为3

名，则哪队的平均得分高？>用不等号填空：a÷3

b÷3.3.自己写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个正数或负数，看看有怎样的结果.

5×(-3)

8×(-3)>与同桌互相交流，你们发现了什么规律？

不等式基本性质2

不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.结论

即，如果a>b,c>0，那么ac>

bc,

>

.一般地，不等式还有如下性质：

不等式基本性质3

不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.结论

即，如果a>b，c<0，那么ac<

bc,

<

.例3

用“>”或“<”填空：举例（1）已知a>b，则3a

3b

；（2）已知a>b，则-a

-b.（3）已知a<b，则

.

因为a>b，两边都乘3，

因为a>b，两边都乘-1，解

由不等式基本性质2，得

3a>3b判断用不等式基本性质2

由不等式基本性质3，得

-a<-b

判断用不等式基本性质3（1）已知a>b，则3a

3b

；（2）已知a>b，则-a

-b.><

因为a<b，两边都除以-3，

由不等式基本性质3，得

由不等式基本性质1，得（3）已知a<b，则

.>

因为

，两边都加上2，说一说

下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：在不等式-4x+5>9的两边都减去5，得

-4x>4在不等式-4x>4的两边都除以-4，得

x>-1

请问他做对了吗？如果不对，请改正.不对x<-1议一议

不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？练习

1.已知a>b，用“>”或“<”填空：

（1）2a

2b；

（2）-3a

-3b；><<

（3）

.2.用“>”或“<”

填空：（1）如果1-x>3，那么-x

3-1，即x

-2；><（2）如果x+2<3x+8，那么x-3x

8-2，即-2x

6，即x

-3.<<>中考试题例1

由数轴知c<b<0<a，所以ab<bc，ac<bc，ac<ab，ab>ac，因此A、B、C均错误.故，应选择D.解D

实数a，b，c在数轴上的位置如图，则下列不等关系正确的是（）.A.ab>bc

B.ac>bcC.ac>ab

D.

ab>ac.a0bc中考试题例2

因为t>0，所以a+t>a.故，应选择A.解

如果t>0，那么a+t与a的大小关系是（）.A.a+t>a

B.a+t<aC.a+t≥a

D.

不能确定.A中考试题例3

若已知关于x的不等式(1-a)x

>2变形后得到成立，则a应满足的条件是（）.A.a>0

B.a>1C.a<0

D.

a<1.B解

由(1-a)x>2得知，在不等式两边同除以1-a时，不等式的方向改变了.

根据不等式性质，得1-a<0.解得a>1.故，应选择B.一元一次不等式的解法本课内容本节内容4.3动脑筋

已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在一名重75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25kg重的货物？本问题中涉及的数量关系是：

设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200kg，所以有

75＋25x≤1200.①工人重+货物重≤最大载重量.结论

含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.像75+25x≤1200这样，

为了求出升降机能装载货物的件数，需要求出满足不等式75＋25x≤1200的x的值.如何求呢？

与解一元一次方程类似，我们将根据不等式的基本性质，进行如下步骤：将①式移项，得25x≤1200-75，将②式两边都除以25（即将x的系数化为1），75+25x≤1200.①即25x≤1125.②得x≤45.因此，升降机最多装载45件25kg重的货物.

我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.结论例如，5.4，6，都是3x>15的解.这样的解有无数个.结论

我们把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.例如我们用x>5表示3x>15的解集.结论

求一个不等式的解集的过程称为解不等式.

今后我们在解一元一次不等式时，将利用前面讲述的不等式的基本性质，将原不等式化成形如x≤a(或x<a，x>a，x≥a）的不等式，就可得到原不等式的解集.小提示例1

解下列一元一次不等式：举例（1）2-5x<8-6x；（2）.解（1）原不等式为2-5x<8-6x

将同类项放在一起即，得x<6

移项，得-5x+6x<8-2计算结果解首先将分母去掉去括号，得2x-10+6≤

9x

去分母，得2(x-5)+1×6

≤9x移项，得2x-9x≤

10-6去括号将同类项放在一起（2）原不等式为合并同类项，得：

-7x≤

4两边都除以-7，得

x≥

计算结果根据不等式性质3议一议

解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？

它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.

它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数.

这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.练习

1.解下列不等式：

（1）

-5x≤10；

（2）4x-3<

10x+7.解（1）原不等式为-5x≤10

方程两边同除以-5，

x

≥

-2（2）原不等式为4x-3<

10x+7

移项，得4x-10x<3+7

化简，得-6x<10

方程两边同除以-6，

x>

2.解下列不等式：（1）

3x-1

>

2(2-5x)

；（2）.解（1）原不等式为3x-1

>2(2-5x)

去括号，得3x-1>4-10x移项，得3x+10x>1+4化简，得13x>5两边同除以13，x

>

（2）原不等式为

去分母，得2(x+2)≥

3(2x-3)去括号，得2x+4≥

6x-9移项，得2x-6x≥

-4-9化简，得-4x≥

-13两边同除以-4，

x

≤

一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来.先在数轴上标出表示2的点A则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2因此可以像图那样表示3x>6的解集x>2.动脑筋如何在数轴上表示出不等式3x＞6的解集呢？容易解得不等式3x＞6的解集是x＞2.0123456-1A

把表示2的点Ａ画成空心圆圈，表示解集不包括2.例2

解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴上表示出来：举例解首先将括号去掉去括号，得12

-6x

≥

2-4x移项，得-6x+4x≥2-12将同类项放在一起合并同类项，得：

-2x

≥

-10两边都除以-2，得x≤5根据不等式基本性质2原不等式的解集在数轴上表示如图所示.-10123456解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.举例解解这个不等式，得x

≤6x≤6在数轴上表示如图所示：-10123456根据题意，得x+2≥

0所以，当x≤6时，代数式x+2的值大于或等于0.由图可知，满足条件的正整数有1，2，3，4，5，6.例3

当x取什么值时，代数式x+2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.练习1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）

4x-3

<2x+7；

（2）.解（1）原不等式为4x-3

<2x+7

移项，得4x-2x<3+7化简，得2x<10两边同除以2，x

<

5原不等式的解集在数轴上表示为：-10123456（2）原不等式为

去分母，得2(x-3)≥

(3x+5)去括号，得2x-6≥

3x+5移项，得2x-3x≥6+5化简，得-x≥11两边同除以-1，

x

≤-11原不等式的解集在数轴上表示为：0-112.先用不等式表示下列数量关系，然后求出它们的解集，并在数轴上表示出来：

（1）

x的大于或等于2；-1012345x≥

2

解得x≥

4解

（2）x与2的和不小于1；解x+2

≥

1

解得x≥

-1-1012345

（3）y与1的差不大于0；y-1

≤

0

解得y≤1解-1012345

（4）y与5的差大于-2；y-5

>

-2

解得y>

3解-1012345中考试题例1

去分母，得6+3x≥4x+2.

移项，合并同类项，得x≤4.

正整数解为1，2，3，4.解

求不等式的正整数解.首先求出不等式的解集.然后求出正整数解.分析中考试题例2

已知且x>y，则k的取值范围是

.解

①×3-②×2，得x=7k+5.③

将③代入①

，得

3(7k+5)-2y=3k+1.

化简，整理，得y=9k+7.∵

x>y，∴

7k+5>9k+7.解之，得k<-1.

∵①②k<-1中考试题例3

解不等式，并把解集在数轴上表示出来.-2-101234

去分母，得6(2x-1)≥10x+1.

去括号，移项，合并同类项得2x≥7.

解得

这个不等式的解集在数轴上表示如下图：解一元一次不等式的应用本课内容本节内容4.4动脑筋

小华打算在星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2h，下午4点以前必须回到出发点.如果他们去时的平均速度是3km/h，回来时的平均速度是4km/h，他们最远能登上哪座山顶？（图中数字表示出发点到山顶的路程.）问题中涉及的数量关系是：去时所花时间+休息时间+回来所花时间≤总时间.设从出发点到山顶的距离为xkm,则他们去时所花时间为h回来所花时间为h.他们在山顶休息了2h，又上午7点到下午4点之间总共相隔9h，即所用时间应少于或等于9h.所以有+2+≤9.解这个不等式，得x≤12.因此要满足下午4点以前必须返回出发点，小华他们最远能登上D山顶.例1

某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%.如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？举例

设每套童装的售价是x元.解则40·x-90×40-40·x·10％≥900.

解这个不等式，得x≥125.

答：每套童装的售价至少是125元.分析

本题涉及的数量关系是： 销售额-成本-税费≥纯利润(900元).例2

当一个人坐下时，不宜提举超过4.5kg的重物，以免受伤.小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2kg的画册和一批每本重0.4kg的记事本.如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本.问他最多只应搬动多少本记事本？

设小明最多只应搬动x本记事本，则解解这个不等式，得x≤5.25.1.2×2+0.4x≤4.5.答：小明最多只应搬动5本记事本.由于记事本的数目必须是整数，所以x的最大值为5.分析本题涉及的数量关系是：画册的总重+记事本的总重≤4.5kg.应用一元一次不等式解决实际问题的步骤有哪些？议一议实际问题解不等式列不等式结合实际确定答案找出不等关系

设未知数练习1.小明家的客厅长5m，宽4m．现在想购买边长为60cm的正方形地板砖把地面铺满，至少需要购买多少块这样的地板砖？解

设需要购买x块地板砖，则有

5×4≤x·0.6×0.6

解这个不等式，得x

≥55.6

由于地板砖的数目必须是整数，所以x的最小值为56.

答：小明至少要购买56块地板砖.练习

2.某市打市内电话的收费标准是：每次3min以内（含3min）0.22元，以后每分钟0.11元（不足1min部分按1min计）．小琴一天在家里给同学打了一次市内电话，所用电话费没超过0.5元．她最多打了几分钟的电话？解

设小琴最多打了x分钟的电话，则有

0.22+(x-3)×0.11＜0.5

解这个不等式，得x

＜5.5

由于电话计时按照分钟计时，x应是整数，所以x的最大值为5.

答：小琴最多打了5分钟的电话.中考试题

某学校要印刷一批宣传材料，甲印务公司提出收制版费900元，另外每份材料收印刷费0.5元；乙印务公司提出不收制版费，每份材料收印刷费0.8元.（1）分别写出两家印务公司的收费y(元)与印刷材料的份数x(份)之间的函数关系式.（2）若学校预计要印刷5000份以内的宣传材料，请问学校应选择哪一家印务公司更合算？解（1）y甲=900+0.5x，y乙=0.8x.（2）令y甲>y乙，则900+0.5x>0.8x.解之，得x<3000.

所以，当印刷3000份以内的宣传材料时选乙公司合算；当印刷3000份以上5000份以内时，应选甲公司更合算.例一元一次不等式组本课内容本节内容4.5动脑筋

一个长方形足球场的宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7630m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛.(注：用于国际比赛的足球场的长在100至110m之间，宽在64至75m之间.)

如果设足球场的长为x

m，那么它的周长就是2(x+70)m，面积为70x

m2.

根据已知条件，我们知道x的取值范围要使2(x+70)>350和70x<7630这两个不等式同时成立.

为此，我们用大括号把上述两个不等式联立起来，得2(x+70)>350和70x<7630结论

像这样这样，把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.怎样确定上面的不等式组中x的取值范围呢？

类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组中的未知数的取值范围.

我们把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集.

求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.

下面我们来解不等式组解不等式①，得解不等式②，得①②x＞105.x＜109.不等式组

的解集就是x＞105与x＜109的公共部分.

我们在同一数轴上把x＞105与x<109表示出来，如图所示0105109由图容易发现它们的公共部分是105＜x＜109,这就是由不等式①、②组成的不等式组的解集.

由此可知，这个足球场的长度在105至109m之间，从场地的大小方面来说，可以进行国际足球比赛.例1

解不等式组：举例

解不等式①，得解

x≤

3.

解不等式②，得x＜-3.①②

把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图：0-33

由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x＜-3,所以这个不等式组的解集是x＜-3.例2