数学八年级苏科版（上册）第一章全等三角形电子课件

1.1全等图形平移观察下面的图形：你有什么发现？能完全重合的图形叫做全等图形.两个图形全等，它们的形状、大小相同.请举例，生活中还有哪些属于全等图形？ABCDEF(1)观察下图，从中找出全等图形，与同学交流.(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)全等图形有：（1）和（9）、（2）和（8）、（3）和（6）.(4)(7)(5)(10)议一议：上图中，（4）和（7）、（5）和（10）为什么不是全等图形？两个图形形状相同，但大小不同.两个图形面积相同，但形状不同；它们不能重合，不是全等图形全等图形的特征是：能够完全重合.形状与大小全都相同

练一练：请判断下列哪些属于全等图形_________（1）两个面积相等的等腰三角形（2）两个周长相等的等腰三角形（3）两个面积相等的等边三角形（4）两个周长相等的等边三角形（5）两个周长相等的长方形（矩形）（6）两个面积相等的长方形（矩形）（7）两个周长相等的圆（8）两个面积相等的圆(3)图（1）、（2）、（3）中的两个全等图形，怎样改变其中一个图形的位置可以得到另一个图形？BADC1.8FEHG2.71.如图，四边形ABCD与四边形EFGH全等，根据图中的数据，则CD=____EH=___,∠E=_____.90°小试牛刀练一练2.用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等图形.

练一练我们看看下面的几种划分方法，与你的划分方法对比一下，看看自己是如何划分的.找“茬”新篇大家一起来

观察图中三组全等图形，在各组图形中，第②个三角形是怎么由第①个三角形改变位置得到的？

请你仿造同样的方法在图中分别画出第③和第④个三角形

如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”全等的图案.模仿设计飞鸟图我感悟了：1.能够完全重合的图形是全等图形，全等图形的形状和大小都相同；2.只要我们用心去观察，定会发现数学之美,生活之美.1.2

全等三角形下列各组图形的形状与大小有什么特点？能够完全重合的图形叫做全等图形.（1）（2）（3）（4）

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.小试身手判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)边长相等的正方形都是全等图形.

(2)同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形.(3)面积相等的两个三角形是全等三角形.(4)两个全等三角形的面积相等.（√）.（×）（√）(5)半径相等的两个圆是全等图形.（√）（√）你还能说出生活中的其它一些全等图形吗？

它们会全等吗？

试一试,摆一摆任意剪两个全等的三角形，摆一摆它们的位置，使其符合下列图形CABDOOACDABCDBABCDEF

如果△ABC与△DEF会互相重合，顶点A与顶点___重合，顶点B与顶点___重合，顶点C与顶点___重合.

AB边与_____边重合，BC边与_____边重合，AC边与_____边重合.∠A与_____重合，∠B与_____重合，∠C与___重合.看一看DEFDEEFDF∠D∠E∠F两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.“全等”用符号“≌”表示记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.比如△ABC≌△DFE，

ADBFCE读做“三角形ABC全等于三角形DEF”

试一试,摆一摆用符号来表示两个全等三角形,并指出它们的对应顶点、对应边、对应角.

全等三角形对应角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角.CABDOOACDB两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？观察与思考全等三角形的对应边相等，对应角相等.∵△ABC≌

△DFE，

∴AB=DF,BC=FE,AC=DE，

（）∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E.

（）全等三角形的性质应用全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等应用新知,体验成功

例如图,AD平分∠BAC，AB=AC，△ABD与△ACD全等吗？BD与CD相等吗？∠B与∠C呢？请说明理由.ABCD12(C)(全等三角形的对应角相等)∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2,因此将图形沿AD对折时,射线AC与射线AB重合∵AB=AC∴点C与点B重合,也就是△ABD与△ACD重合∴△ABD≌△ACD.∴BD=CD(全等三角形的对应边相等）∠B=∠C解：一、选择题

△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应点，如果

AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC的长是

（）A.6cmB.5cmC.4cm

D.无法确定在上题中，∠CAB的对应角是（）

A.∠DAB

B.∠DBA

C.∠DBCD.∠CADAOCDBAB变式练习,扩展新知二.如图，BD是长方形ABCD的一条对角线.

(1)△ABD与△CDB全等吗？你是怎样知道的？(2)如果你认为△ABD与△CDB全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角.ABDC归纳小结通过这节课的学习，你有什么收获？1.3探索三角形全等的条件（1）复习什么样的两个三角形叫做全等三角形？用什么表示？答：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.我们知道：如果两个三角形全等，那么他们的对应边相等，对应角相等.反过来，两个三角形具备什么条件，即它们有多少组边或角分别相等时就全等？议一议1.当两个三角形只有1组边或角相等时，它们全等吗？2.当两个三角形只有2组边或角相等时，它们全等吗？3.当两个三角形有3组边或角相等时，它们全等吗？做一做如图，用一张长方形纸减一个直角三角形，怎么才能使全班同学剪下的直角三角形全等？⑴任意剪一个直角三角形，同学们剪得的三角形全等吗？⑵重新剪一个直角三角形，使全班同学剪下的都全等，说说你的方法.

⑶剪下直角三角形，小组同学之间验证一下.

观察课本图1-6中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？为什么△ABC不与△EDF全等？为什么△ABC与△PNM全等？

按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：1．作∠MAN

＝∠α．2．在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b

．3．连接BC，△ABC就是所求作的三角形．图形：ab探索活动：请画出一个△A′B′C′与△ABC全等？（精确到mm)B′C′A′1.作B′C′=70mm；ABC507030°2.作∠B′=30°；3.作B′A′边上截取B′A′=50mm；4.连结A′C′.特点：若两个三角形有两条边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等.新授三角形全等判定定理（一）如果一个三角形的两条边与其夹角与另一个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等.例：如图，AB=AD,∠BAC=∠DAC，△ABC与△ADC全等吗？为什么？ABDC审结论：△ABC≌△DCBSAS分析：审题：AB=DC，∠ABC=∠DCB.

新授例1如图：AB=DC，∠ABC=∠DCB，求证：△ABC≌△DCBABCDO审图：BC是△ABC与△DCB的公共边.证明：在△ABC和△DCB中，

AB=DC（已知）∠ABC=∠DCB（已知）

BC=CB（公共边）∴△ABC≌

△DCB（SAS）.注意：1.在那两个三角形中？2.条件按边、角、边给出.3.对应.新授例2已知：AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=AF.求证：△ABF≌△ACE.ABCFE审题：，.

AB=ACAE=AF审图：

.∠A是△ABF与△ACE的公共角

审结论：△ABF≌△ACESAS证明：在△ABF和△ACE中，

AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）

AE=AF（已知）∴△ABF≌△ACE（SAS）.？ABCD

练习已知:AD=CD，BD平分∠ADC。求证：∠A=∠C.要证明两个三角形中的边或角相等，可以先证明两个三角形全等.问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？ABCED

在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D使CD=CA连接BC并延长至E使CE=CB连接ED，那么量出ED的长，就是A、B的距离.为什么？12两直线平行，内错角相等FABDCE例2点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.求证:（1）△AFD≌△CEB.

分析：证三角形全等的三个条件∠A=∠C边角边AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）证明：∵AD//BC∴∠A=∠C又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE∴△AFD≌△CEB（SAS）.∴AE+EF=CF+EF即AF=CE摆齐根据写出结论指范围准备条件(已知）(已证）(已证）FABDCE（两直线平行，内错角相等）ABCDO补充题：例1如图，AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由.例2如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由.ABCD归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到.课堂小结:2.求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明这两个三角形全等.1.三角形全等的判定：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

(边角边或SAS)证明三角形全等的过程1.准备条件2.指明范围3.摆齐根据4.写出结论1.3探索三角形全等的条件（2）1.什么样的图形是全等三角形？2.判定两个三角形全等要具备什么条件?

有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.边角边公理

一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？确定原三角形具备什么已知条件？这三个条件有什么联系？

CBEAD观察课本图1-10中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪两个三角形是全等三角形？哪些条件决定了△ABC与△FDE全等？△ABC与△PQR有哪几个相等的条件？为什么它们不全等？

已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．

把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？都全等45°60°4cm换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．

两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．

简记为“角边角”或“ASA”.符号语言≌做一做如图，画线段AB=2.6cm，再画∠BAP=45°，∠ABQ=60°，AP与BQ相交与点C.剪下所画⊿ABC，与同学所画的三角形能重合吗？60°45°ABCQP2.6cm

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.角边角公理已知：如图，AB=A′C，∠A=∠A′，∠B=∠C

求证：△ABE≌△A′CD.________（）________（）________（）

证明：在______和_______中，∴△____≌△____（）练习1已知：如图，AB=A′C，∠A=∠A′，∠B=∠C，

求证：△ABE≌△A′CD.∠A=∠A′

（已知）AB=A′C（已知）∠B=∠C（已知）证明：在△ABE和△A′CD中,∴△ABE≌△A′CD（ASA）.练习1OCABD例题讲解已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE例1E例题讲解例1已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：BD=CE.证明：在△ADC和△AEB中，∠A=∠A（公共角）AC=AB（已知）∠C=∠B（已知）∴△ACD≌△ABE（ASA）.∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）.又∵AB=AC（已知），∴BD=CE.例2如图,∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗?

证明:∵∠1＝∠2

（已知），∴∠1＋∠BEC＝∠2＋∠BEC，∴

∠AEC＝∠BED，在△EAC和△EBD中，∠A＝∠B（已知），

EA＝EB（已知），

∠AEC＝∠BED（已证），∴△EAC≌△EBD（ASA），∴AC＝BD．巩固练习1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD证明：∵∠____=180－∠3，

∠____=180－∠4，而∠3=∠4（已知），∴∠ABD=∠ABC.在△____和△____中

____（）

____（公共边）

____

（）∴△____≌△____（）∴________

（全等三角形对应边相等）.

1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD证明：∵∠ABD=180－∠3，

∠ABC=180－∠4，而∠3=∠4（已知），∴∠ABD=∠ABC.在△ABD和△ABC中

∠1=∠2（已知）

AB=AB

（公共边）

∠ABD=∠ABC

（已知）∴△ABD≌△ABC（ASA）∴AC=AD

（全等三角形对应边相等）

巩固练习想一想如图，在△ABC和△MNP中，∠B=∠M，∠B=∠N，BC=NP，△ABC和△MNP全等吗？为什么？ABCMNP

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.角角边公理：1．如图,点C、F在AD上,且AF＝DC,∠B＝∠E,∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗?

证明:∵AF＝DC

(已知)，∴AF

－FC＝DC－FC，

∴

AC＝DF，

在△ABC和△DEF中，

∠B＝∠E(已知)，∠A＝∠D

(已知)，

AC＝DF(已证)，∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB＝DE．分析与讨论2.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB.求证：AB＝CD．

证明：∵EA∥FB，EC∥FD(已知)∴∠A＝∠FBD，

∠ECA＝∠D，

在△EAC和△FBD中，∠A＝∠FBD(已证)，∠ECA＝∠D(已证)，

EA＝FB(已知)，∴△EAC≌△FBD(AAS)．

∴AC＝BD，

即

AB＋BC＝CD＋BC，∴AB＝CD．上面的推理过程可以用符号“

”简明地表述如下：证明：EA∥FB

∠A＝∠FBDEC∥FD

∠ECA＝∠D

△EAC≌△FBD

EA＝FB

AC＝BD

AB＋BC＝CD＋BC

AB＝CD巩固与练习

已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，∠B＝∠C.求证：DB＝EC

.变式一已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC.

求证：AD＝AE

，∠D＝∠E.12变式二已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB

＝AC，

D,A,E在一条直线上.

求证：AD

＝AE，∠D

＝∠E.121．如图，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE

＝DE.

求证：AC＋BD＝AB.拓展与提高2．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F.

求证：EF＋AE＝CF.拓展与提高如图，OP是∠MON的平分线，C是OP上的一点，CA⊥OM，OB⊥ON，垂足分别是A、B.△AOC和△BOC全等吗？为什么？ABOCNMP在上图中，如果改变点C在OP上的位置，那么△AOC和△BOC仍然全等吗？小结通过今天的学习，同学们有什么收获呢？1.3探索三角形全等的条件（3）

这是东方航空公司双机库的钢屋盖，是目前国内跨度最大的超大型钢屋盖，面积有近两个足球场那么大，重量达3200吨.安装时，先在现场完成地面总体拼装，再整体提升到25米高的柱顶.

引入1

观察图片中出现最多的几何图形是三角形，工人师傅在拼装这些三角形时，是用高强螺栓把三根钢材构件加以固定的.

演示图纸钢架△ABCABCBC=3mAC=2.5mAB=2.8m3m2.5m2.8m图纸钢架△ABCABCBC=3mAC=2.5mAB=2.8m再来一遍思考：你能根据已知三角形的三边长画一个三角形与已知三角形全等吗？动手操作3m2.8m2.5mABC′′′动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.ABC动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.ABCB′C′动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.B′C′ABC动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.B′C′ABC动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.ABCB′C′动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.ABCB′C′动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BCABCB′C′动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC.ABCB′C′动手操作：已知任意△ABC，画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC画法：1.画线段B'C'＝BC.

2.分别以B'，C'为圆心，BA、CA为半径画弧，两弧相交于点A'.

3.连接A'B'、A'C'，得△A'B'C'.剪下△A′B′C′，放在△ABC上，可以看到△A′B′C′

≌△ABC，由此可得判定两个三角形全等的又一个定理.ABCA′B′C′全等三角形判定定理（三）

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.简称“边边边”定理，简记为SSS.全等三角形判定定理（三）

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.简称“边边边”定理，简记为SSS.例1已知：如图,在△ABC

中，AB＝AC，

求证：∠B＝∠C.

ACBD在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．AB＝AC（已知），BD＝CD（辅助线作法），AD＝AD（公共边），证明：作△ABC

的中线AD．∴

∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．例题讲解例2已知：AB=AD，CB=CD求证：AC平分

BAD.ABCD证明：在△ABC和△ADC中，

AB=AD（已知），

CB=CD（已知），

AC=AC（公共边），

△ABC≌△ADC（SSS）.

BAC=DAC（全等三角形的对应角相等），即AC平分

BAD.分析：如果连接BD，那么AC与BD有什么特殊关系吗？为什么？例题讲解例3已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点.求证：ADBC.ABCD分析：D是BC的中点BD=CDAB=ACAD=AD△ADB≌△ADC

ADB=

ADCADB与

ADC是邻补角

ADB=

ADC=90°ADBCABCD证明：∵D是BC的中点（已知），

BD=CD（线段中点的定义）.在△ADB和△ADC中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，

△ADB≌△ADC（SSS）.∵

ADB=

ADC（全等三角形对应角相等），又∵

ADB与

ADC是邻补角，

ADB=

ADC=90°.

ADBC（垂直的定义）.巩固练习1.判断（1）判断两个三角形全等的条件中，至少要有一个角对应相等.（）（2）有一组边对应相等的两个等边三角形全等.（）（3）两腰对应相等的两个三角形全等.（）（4）底边和腰对应相等的两个等腰三角形全等.（）2.已知：点C、F在AD上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.求证：

A=D.ABCDEF巩固练习小结（1）应用边边边公理证明三角形全等时，需找准对应的两个三角形中的三组边对应相等；

（2）许多抽象的数学问题都有其具体、生动的现实原型，我们应多注意观察生活中的事物，做到理论联系实际.

1.3探索三角形全等的条件（4）判断（1）判断两个三角形全等的条件中，至少要有一个角对应相等.（）（2）有一组边对应相等的两个等边三角形全等.（）（3）两腰对应相等的两个三角形全等.（）（4）底边和腰对应相等的两个等腰三角形全等.（）巩固练习小时候，我们都折过纸飞机，它的翼面如图形状，你能说出它的特征吗？这样做有什么好处？情境1情境2工人师傅常常利用角尺平分一个任意角，如图，在

COD的两边OC,OD上分别任取OA=OB,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点A,B重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是COD的平分线.OABMDC

你能说明射线OC是∠AOB的平分线的道理吗？已知：点C，F在AD上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.求证：

A=D.ABCDEF例题1.如图，AD=BE，OD=OE，∠1=130º，∠2=25º.根据上面的条件，你能得到哪些结论呢?说出你的理由.变化:在题中，如果删去“∠1=130º，∠2=25º”的条件，要使△DOA≌EOB，你认为还可以添加一个什么条件？练一练2.小明在学习上非常爱动脑筋，一次，他想出了另一种用尺规平分一个任意角的方法．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，分别以1cm和3cm长为半径画弧，两弧分别与角的两边OA、OB交于点D1、E1和D2、E2，连接D1E2和D2E1，交点为C，作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线．你能说出他这样做的理由吗？ABE1E2OD1CD2练一练3.已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点.求证：ADBC.ABCD练一练证明：∵D是BC的中点（已知），

BD=CD（线段中点的定义）.在△ADB和△ADC中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，

△ADB≌△ADC（SSS）.∵

ADB=

ADC（全等三角形对应角相等），又∵

ADB与

ADC互补，

ADB=

ADC=90°.

ADBC（垂直的定义）.小结1.会用直尺和圆规作角平分线.2.能有条理地说理和表达.1.3探索三角形全等的条件（5）温故知新1.判定两个三角形全等方法，

，

，

，

.SASASAAASSSS2.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？理由是？3.有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等吗？理由是？展示·探究