河北省保定市曲阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

2024－2025学年高二上学期九月第一次月考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据坐标平面的对称性求解．【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，故选：B．2.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C.3.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】运用空间向量平行坐标结论，结合坐标运算即可解.【详解】向量，则，因，于是得，解得，所以.故选：B.4.两条平行直线和间的距离为，则的值分别为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知列出关系式，求出的值.然后根据两条平行线之间的距离公式，即可求出的值.【详解】由已知可得，，解得.代入化简可得，.根据两条平行线之间的距离公式可得，.故选：B.5.如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.【详解】.故选：B.6.过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，，，，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，所以.故选：B.7.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】A【解析】【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可.【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然，对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底；对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底；对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底；对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底.故选：A8.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）A.； B.；C.； D.；【答案】A【解析】【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.【详解】将直线变形得，由，解得，因此直线过定点，当时，点到直线的距离最大，最大值为，又直线的斜率，所以直线的方程为，即.故选：A二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列说法正确的是（）A.是平面的一个法向量 B.四点共面C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D.【详解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；，所以与不平行，故C错误；，故D正确；故选：AD.10.已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A.在轴上的截距为 B.过定点C.若，则或 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据直线截距的定义可判定A，由直线方程可求定点判定B，利用两直线的位置关系可判定C、D.【详解】由易知，故A正确；由，故B正确；若两直线平行，则有且，解得，故C错误；若两直线垂直，则有，故D正确.故选：ABD11.如图，在棱长为2正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.存在点P，使得与所成的角为C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D.若，则P的轨迹的长度为【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D.【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，是定值，A正确；以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则对于B，，使得与所成的角满足：，因为，故，故，而，B错误；对于C，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，因为，故故，而，，故即的取值范围为，C正确；对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则与夹角的余弦值为______________________.【答案】##【解析】【分析】由空间向量的数量积公式求解即可．【详解】，.故答案为：13.已知点在圆上，点，当最小时，__________.【答案】【解析】【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果.【详解】设圆的圆心为，半径为4，如图所示：当最小时，与圆M相切，连接，则，，而，由勾股定理得，所以当最小时，.故答案为：.14.直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为__________【答案】4【解析】【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.【详解】直线化，当，得，即直线恒过点，即点，直线化为，当，得，即直线恒过点，即点，且两条直线满足,,即，,,当且仅当时，等号成立，的最大值为4.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，，，设，，．（1）若实数使与垂直，求值．（2）求在上的投影向量．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.（2）利用投影向量的定义求解即得.【小问1详解】依题意，，，由与垂直，得，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，，所以在上的投影向量为.16.已知的三个顶点为.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两点的坐标求出直线的斜率，利用垂直关系求出高线的斜率，利用点斜式写出直线的方程；（2）根据两点的坐标求出中点，再由两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线的方程.【小问1详解】因为的三个顶点为，所以直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以直线的方程为，化为一般式方程为；【小问2详解】因为，所以的中点为，又因为，所以直线的斜率为，所以直线点斜式方程为，化为一般式为.17.已知平行六面体，底面是正方形，，，设．（1）试用表示；（2）求长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系；（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.【小问1详解】.【小问2详解】，，所以.所以.18.已知直线：，：，且满足，垂足为C.（1）求m的值及点C的坐标.（2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程.【答案】（1），（2）．【解析】【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.（2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.【小问1详解】解：显然，可得，，由，可得，即，解得，所以直线：，直线：，联立方程组，解得，所以点．【小问2详解】解：由直线：，直线：，可得，，所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，所以的外接圆方程是．19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）.（3）.【解析】【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；（3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，