考研数学二模拟405

考研数学二模拟405一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且f(x)的反函数为g(x)．记

INCLUDEPICTUR（江南博哥）E\d":8089/YFB12/tu/1710/yjs/ky/s2405.1F2256.jpg"INET

则A.x=0必是F(x)的可去间断点．B.x=0必是F(x)的跳跃间断点．C.x=0必是F(x)的连续点．D.x=0必是F(x)的第二类间断点．正确答案：C[解析]题中说f(x)的反函数是g(x)，根据反函数的性质有f[g(x)]=x，所以有所以x=0必是F(x)的连续点．

2.

函数y=C1ex+C2e-x+C3xex(C1，C2，C3为任意常数)满足的一个微分方程是A.y'''-y"-y'+y=0．B.y'''-y"+y'+y=0．C.y'''+y"-y'+y=0．D.y'''-y"-y'-y=0．正确答案：A[解析]由题意，(C1+C3x)ex是特征方程的二重根1对应的项，C2e-x是特征方程的单根-1对应的项，因此，特征方程为(r-1)2(r+1)=0，即r3-r2-r+1=0．从而可知所求方程为y'''-y"-y'+y=0．

3.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内存在一阶导数，则下列命题正确的是A.若f(x)只有一个零点，则f'(x)无零点．B.若f'(x)至少有一个零点，则f(x)至少有两个零点．C.若f(x)无零点，则f'(x)至多有一个零点．D.若f'(x)无零点，则f(x)至多有一个零点．正确答案：D[解析]本题需用到如下结论：

若题中先说低阶，那就是：至少，越来越少；

若题中先说高阶，那就是：至多，越来越多．

由以上结论直接可知本题应选择选项D.

4.

设函数已知f'(x)连续，则A.b为任意常数，a=0．B.b为任意常数，a=e．C.a为任意常数，b=0．D.a为任意常数，b=e．正确答案：D[解析]首先求出函数f'(x)．对于分段点来说，要用导数的定义式来求；对于其他点来说，直接用导数公式来求即可，

先用导数的定义式求f(x)在x=0处的导数：

然后，要分和来做．因为如果不分，就不知道要将f(Δx)显化成什么．

本题说函数f'(x)连续，就暗示函数f'(x)存在，既然函数f'(x)存在，所以f'(0)存在．由于f'(0)存在，所以肯定有，所以b=e，a为任意常数．

5.

设函数f(x，y)在点(0，0)处连续，且，则A.fx(0，0)存在且不为零．B.fx(0，0)不存在．C.f(x，y)在点(0，0)处取得极小值．D.f(x，y)在点(0，0)处取得极大值．正确答案：C[解析]由存在可知．根据极限的局部保号性，

由于，在(0，0)的某一去心邻域内有，即

f(x，y)＞f(0，0)．

根据极值定义，f(x，y)在(0，0)处取得极小值，故选C.

由于，故排除A、B.

还可由存在得到f(x，y)在点(0，0)处可微，这是由于

6.

设区域D是由y=x2(0≤x≤1)，y=-x2(-1≤x≤0)，y=1及x=-1所围成的平面区域，则A.0．B.1．C.2．D.4．正确答案：C[解析]用y=x2(-1≤x≤0)把D分割成D1和D2(如下图所示)，其中

D1={(x，y)|-1≤x≤1，x2≤y≤1},

D2={(z，y)|-1≤x≤0，-x2≤y≤x2}．

记，根据二重积分的可加性，有

因为f(x)(-x，y)=-f(x，y)，且D1关于y轴对称，故；因为f(x，-y)=-f(x，y)，且D2关于x轴对称，故

由于D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，故D的面积就等于下图中阴影部分面积的2倍．于是

7.

设a，b，c，d，e，f均为常数，则下列向量组线性无关的为A.α1=(1，-1，0，2)T，α2=(0，1，-1，1)T，α3=(0，0，0，0)T．B.α1=(a，b，c)T，α2=(b，c，d)T，α3=(c，d，a)T，α4=(d，a，b)T．C.α1=(a，1，b，0，0)T，α2=(c，0，d，1，0)T，α3=(e，0，f，0，1)T．D.α1=(1，2，1，5)T，α2=(1，2，3，6)T，α3=(1，2，5，7)T，α4=(0，0，0，1)T．正确答案：C[解析]单位向量组(1，0，0)T，(0，1，0)T，(1，0，0)T是线性无关的，而如果某个向量组线性无关，则增加维数后(相应的位置)仍线性无关，

选择题中判断线性相(无)关时很少使用定义，大多是用性质，因此请大家务必掌握线性相(无)关的性质．

8.

下列矩阵中与矩阵

合同的矩阵是

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]两个对称矩阵合同的充分必要条件是：将这两个矩阵写为二次型，再化为标准形，则两个标准形的正负惯性指数相同．

将对应的二次型写为，用配方法(用正交变换法也可)将其化为标准形，正惯性指数为2，负惯性指数为1．

四个选项中所给的矩阵写为二次型后直接就是标准形(不用再化了)，只有选项B的正惯性指数为2，负惯性指数为1．

二、填空题1.

正确答案：2-2ln|1-ex|+C[解析]

2.

微分方程ydx-tanxdy=0的通解为______．正确答案：y=Csinx[解析]原方程可化为

分离变量得

两端积分

即

得ln|y|=ln|sinx|+ln|C|，

从而原方程的通解为

y=Csinx．

3.

已知函数z=f(x，y)的全微分为dx=(x+y)dx+(x-y)dy，且f(0，0)=1，则f(x，y)=______．正确答案：[解析]由dz=(x+y)dx+(x-y)dy可知

等式两边分别对x、y积分得

比较两式得

由f(0，0)=1得C=1，故

4.

设函数，则f(2016)(0)=______．正确答案：0[解析]是奇函数，所以f'(x)是偶函数，f"(x)是奇函数，…，f(2016)(x)是奇函数，而奇函数在x=0处的函数值是0，所以f(2016)(x)=0．

5.

已知，则正确答案：2[解析]因为，由题意得．

由于存在，，故当x→0时，

于是

6.

设矩阵，则An=______．正确答案：[解析]设

则因此，只要计算出Bn和Cn即可，求Bn．

由于αTα=2，所以

求Cn．

将矩阵C写为，由二项式定理可求得

所以

三、解答题共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

求极限正确答案：[解]

2.

设函数u=f(x，y，z)具有二阶连续偏导数，且z=z(x，y)由方程eyz-xy=1所确定，求du与正确答案：[解]令F(x，y，z)=eyz-xy-1，则Fx=-y，Fy=zeyz-x，Fz=yeyz．

于是

从而

故

3.

设常数a＞0，求函数在(-∞，+∞)内的最值．正确答案：[解]

显然，f(x)的不可导点为x=0和x=a，驻点为

可能极值点有三个，通过验证可知只有极大值点x=0，对应的极大值为．

接下来求区间端点处的极限值：

所以，是f(x)在区间(-∞，+∞)内的最大值，f(x)在区间(-∞，+∞)内无最小值．

4.

计算二重积分，其中D={(x，y)|x2+y2≤1，y≥|x|}．正确答案：[解]记

因为f(-x，y)=-f(x，y)，且D关于y轴对称，故

因为g(-x，y)=g(x，y)，且D关于y轴对称，故，其中D1={(x，y)|x2+y2≤1，y≥x≥0}．

于是

5.

设函数f(x)在[0，1]上可导，且．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=2ξf(ξ)．正确答案：[证]设辅助函数为F(x)=e-x2f(x)．

根据积分中值定理，在区间上存在一点η，使得f(1)=e1-η2f(η)．

又由于F(1)=e-1f(1)，F(η)=e-η2f(η)，故F(η)=F(1)．

由于函数F(x)在闭区间[η，1]上连续．在开区间(η，1)内可导，且F(η)=F(1)，所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(η，1)(0，1)，使得F'(ξ)=2ξf(ξ)，即f'(ξ)=2ξf(ξ)．

积分中值定理只在闭区间上成立，在开区间内成立的结论不能称为积分中值定理，若要使用，须写出用拉格朗日中值定理证明的过程．

6.

已知函数

在区间(-∞，+∞)内存在原函数，求常数A，并求f(x)在区间(-∞，+∞)内的所有原函数．正确答案：[解]由于f(x)在区间(-∞，+∞)内存在原函数，所以f(x)在区间(-∞，+∞)内连续，或f(x)在区间(-∞，+∞)内只有第二类间断点而没有第一类间断点，

由于

说明x=0不可能是f(x)的第二类间断点，故f(x)在x=0处一定连续．

根据连续的定义，有f(0)=A=0．

当x＜0时，

当x＞0时，

由于∫f(x)dx在x=0处可导，故在x=0处连续，于是1+C1=C2．

令C1=C，则f(x)在区间(-∞，+∞)内的所有原函数为

7.

已知曲线y=f(x)在[0，a](当x≥0时，f(x)＞0)上与x轴围成的面积值比f(a)大bea(其中常数a＞0，b≠0)，且f(x)在x=b处取极小值，试求f(x)的表达式．正确答案：[解]由题意，

即

两边对x求导，得f(x)-f'(x)=bex，即有一阶线性微分方程

，且满足y|x=0=-b．

其通解为

由y|x=0=-b得C=-b，故y=-bex(x+1)．

因为f(x)在x=b处取极小值，由f'(b)=-beb(b+2)=0可知b=-2．

所以，f(x)=2ex(x+1)．

设矩阵8.

计算A2；正确答案：[解]

9.

证明矩阵E+A可逆，并求(E+A)-1．正确答案：[解]由

所以A+E可逆，且

10.

设矩阵，且B=A3-2A+5E，其中E为4阶单位矩阵．

判断B是否能相似对角化；若能，求可逆矩阵P，使得P-1BP=A．正确答案：[解]矩阵A是4阶实对称方阵，肯定有4个实特征值，现求这4个特征值．

令|A-λE|=0，即

，

解得λ1=-2，λ2=λ3=λ4=2．

当λ1=-2时，特征向量为，其中k≠0．

当λ1=λ3=λ4=2时，特征向量为，