考研数学二模拟404

考研数学二模拟404一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设f(x)=ln(1+x2)-x2，则当x→0时f(x)是g(x)的______A.低阶无穷小量．B.高阶无穷小量．C.同阶但不等价的无穷小量．D.等价无穷小量．正确答案：D[解析]

则

所以，当x→0时，f(x)是g(x)的等价无穷小量．

2.

已知f(x)在x=a，x=b两点处可导，且f(a)=f(b)，则A.f'(a)-f'(b)．B.f'(a)-2f'(b)．C.f'(a)+2f'(b)．D.f'(a)+f'(b)．正确答案：C[解析]

3.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内除x=0点外二阶可导，其一阶导数的图形如图所示，则f(x)有______

A.两个极大值点，两个极小值点，一个拐点．B.两个极大值点，两个极小值点，两个拐点．C.三个极大值点，两个极小值点，两个拐点．D.两个极大值点，三个极小值点，两个拐点．正确答案：C[解析]由图可知，当x＜x1时，f'(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大值点；当x∈(x2，0)时，f'(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小值点；当x∈(0，x3)时，f'(x)＜0，则x=0为f(x)的极大值点；当x∈(x3，x4)时，f'(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小值点；当x＞x4时，f'(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大值点．

综上，f(x)有三个极大值点，两个极小值点．

又f"(x)有两个零点，且一阶导数在两个零点两侧增减性有变化，所以f(x)有两个拐点．

4.

微分方程y"-y'-6y=(2x+3)e-2x的特解为______A.(ax+b)e-2x．B.ax2e-2x．C.(ax2+bx)e-2x．D.x2(ax+b)e-2x．正确答案：C[解析]y"-y'-6y=0的特征方程有单特征根3，-2，于是y"-y'-6y=(2x+3)e-2x的特解可设为x(ax+b)e-2x．

5.

下列反常积分

A.①②．B.①③．C.②④．D.③④．正确答案：B[解析]直接计算

6.

A.N＜P＜M．B.M＜P＜N．C.M＜N＜P．D.P＜M＜N．正确答案：C[解析]

因cos4x≤cos2x，所以0＜N＜P，从而有M＜N＜P．

7.

已知其中A可逆，那么B-1=______A.P2A-1P1．B.P3A-1P1．C.P1A-1P2．D.P1P3A-1．正确答案：A[解析]把矩阵A的1、2两行对调，再把第1列的-1倍加至第3列，即可得到矩阵B，即B=P1AP3，则

8.

已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r2，且BY=β无解，设A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，且r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)=r，则______A.r=r1+r2．B.r＞r1+r2．C.r=r1+r2+1．D.r≤r1+r2+1．正确答案：D[解析]由题设

r(α1，α2，…，αn，α)=r1，

r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，

故r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r(α1，α2，…，αn，α)+r(β1，β2，…，βn，β)

=r1+r2+1．

二、填空题1.

正确答案：[解析]

其中

所以

2.

设y"-2y'+ay=3e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为______．正确答案：[解析]因为方程有特解Axe-x，所以-1为特征方程r2-2r+a=0的一个特征根，即

(-1)2-2×(-1)+a=0a=-3，

所以特征方程为

λ2-2λ-3=0，得λ1=-1，λ2=3．

齐次方程y"-2y'+ay=0的通解为

y=C1e-x+C2e3x(C1，C2为任意常数)．

再把Axe-x代入原方程，得

所以原方程的通解为

3.

正确答案：[解析]

4.

设有一半椭球形水池，池口是半径为a的圆，若以每秒v单位的速度向池内注水，则水深增加的速度与水深h的关系是______．正确答案：[解析]如图，建立坐标系，设水深为h的水面圆的半径为x，则椭圆方程为

此时，池中水量增量微元为

从而

由于故有

5.

设区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则正确答案：[解析]D关于直线y=x对称，所以

则

所以

6.

已知二次型的秩为2，(2，1，2)T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准形是______．正确答案：[解析]求二次型XTAX在正交交换下的标准形，也就是求二次型矩阵A的特征值．

设α1=(2，1，2)T，根据特征值定义Aα=λα得

即

解出a=b=2，λ1=3．

又r(XTAX)=2，知|A|=0，于是λ2=0是A的特征值．

再由∑aii=∑λi，有1+(-5)+1=3+0+λ3，于是λ3=-6是A的特征值．

因此，正交变换下二次型的标准形为

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

已知函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，且满足

求f(x)．正确答案：

由导数定义，有

由已知得

即

积分得

又

则

2.

设f(x)在(a，+∞)内可导，且求证：

若A＞0，则若A＜0，则正确答案：联系f(x)与f'(x)的是拉格朗日中值定理，取x0∈(a，+∞)，x＞x0有

f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0)(x0＜ξ＜x)．

①

因若A＞0，由极限的不等式性质可得，当x＞X时，

现取定x0＞X，当x＞x0时，由于ξ＞x0＞x，有于是由①得

又因为所以

若A＜0，考察h(x)=-f(x)，则h'(x)=-f'(x)，从而

由已证结论知

于是

3.

设g(x)在[a，+∞)上连续，且收敛，又求证l=0．正确答案：记则f(x)在[a，+∞)内可导且f'(x)=g(x)，

若l≠0，则l＞0或l＜0，由(Ⅰ)中结论得(或-∞)，与收敛矛盾．因此l=0．

4.

设函数z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且φ(x)=f[x，xf(x，x)]，求正确答案：φ(1)=f(1，1)=1，

归结为求φ'(1)．

根据复合函数求导法得

φ'(x)=f'1[x，xf(x，x)]+f'2[x，xf(x，x)]·[xf(x，x)]

=f'1[x，xf(x，x)]+f'2[x，xf(x，x)]·{f(x，x)+x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]}，

φ'(1)=f'1(1，1)+f'2(1，1)[1+f'1(1，1)+f'2(1，1)]，

又

所以

φ'(1)=1+3×(1+1+3)=16，

5.

设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点(1，1)，求L的方程．正确答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y-y=y'(X-x)，令X=0，则Y=y-y'x，故点A的坐标为(0，y-y'x)．

由|MA|=|OA|得

即

这是一阶线性非齐次方程，得解

因为曲线经过点(1，1)，所以C=2．

再由曲线在第一象限内，得曲线方程为

6.

设f(x)在[a，a]上有一阶连续导数，证明：至少存在一点ξ∈[0，a]，使得

正确答案：所给问题为f(x)的定积分与f'(ξ)之间的关系，可以考虑成其原函数与F"(ξ)之间的关系，从而利用二阶泰勒公式来证明．

如果认定为考查f(x)与f'(ξ)之间的关系，也可以利用拉格朗日中值定理(一阶泰勒公式)来证明．

也可以利用积分中值定理来证明．

思路一：利用f(x)=f(0)+f'(ξ1)(x-0)=f(0)+f'(ξ1)x可得

因f'(x)在[0，a]上连续，由闭区间上连续函数的最大值、最小值定理可知，存在m和M，使m≤f'(x)≤M，于是在[0，a]上有mx≤xf'(1)≤Mx，故

即

由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得

即

于是

思路二：

因为f'(x)连续，x-a≤0(x∈[0，a)，故由积分中值定理知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得

于是

思路三：令则F(x)可用麦克劳林公式表示为

即

今x=a，得

有一半径为4m的半球形水池里有2m深的水，现需将水全部抽到距地面6m高的水箱内．7.

求水池中原来水的体积；正确答案：如图，建立直角坐标系，以球心为坐标原点，向上作为y轴正向．取区间[y，y+dy]，在此区间上，体积微元

dV=πx2dy，

其中

x2=42-y2，

所以

dV=π(16-y2)dy，

水的体积

8.

求抽水至少需要做多少功．正确答案：提升体积微元的水所需的功为

dW=(6-y)ρgπ(16-y2)dy，

所以，将水全部提升至地面上方6m处，需做功

9.

计算其中D是由直线x=-2，y=2，x轴及曲线所围成．正确答案：积分区域如图所示．

选择先x后y的积分次序，得

令t=y-1，得

利用对称区间上奇偶函数积分性质及定积分几何意义可得

所以

令t=sinθ，得

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组且α1，α2与β1，β2都线性无关．10.

证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；正确答案：因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得

k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．

令

γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，

因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0．

11.

设求出可由两组向量同时线性表示的向量．正确答案：令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，用初等变换法解此齐次方程组

则

所以

γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2(其中k为非零数)．

已知二次型的秩为2.12.

求a的值；正确答案：二次型对应矩阵为

由二次型的秩为2，知得a=0．

13.

求正交变换x=Qy，把f(x1，