考研数学二模拟396

考研数学二模拟396一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

若f(x)为定义在(0，+∞)上的正函数，在区间(0，+∞)上单调递减，则有______A.f(a+b)＞f(a)+f(b)．B.f(a+b)＜f(a)+f(b)．C.f(x)在(0，+∞)单调递减．D.f(x)在(0，+∞)单调递增．正确答案：B[解析]在(0，+∞)上单调递减，又f(x)，a，b均为正数，则

2.

若f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-∞，0)内f'(x)＞0，且f"(x)＜0，则在(0，+∞)内必有______A.f'(x)＞0，f"(x)＞0．B.f'(x)＞0，f"(x)＜0．C.f'(x)＜0，f"(x)＞0．D.f'(x)＜0，f"(x)＞0．正确答案：A[解析]f(x)是奇函数，则f(0)=0，f'(x)是偶函数，f"(x)是奇函数．

所以，由在(-∞，0)内f'(x)＞0，f"(x)＜0，得出在(0，+∞)内

f'(x)=f'(-x)＞0，f"(x)=-f"(-x)＞0．

3.

函数f(x)在[0，+∞)上连续，并满足条件则______

A．

B．

C．A为正数．

D．可能存在，也可能不存在．正确答案：B[解析]由已知得

其中0＜ξ1，ξ2＜x．

类似地推导下去，可得

0≤f(x)≤xnf(ξn)，0＜ξ1，ξ2，…，ξn＜x，n=1，2，…．

由此可知，当x∈[0，1)时，f(x)≡0．由连续性可得

类似可推出，当x∈[1，2)时，f(x)≡0，如此类推，可知当x∈[0，+∞)时，f(x)≡0．

因此有

4.

设f(x)是奇函数，则f(x)在x=0处______A.不连续B.连续，左、右两侧导数都不存在．C.连续，右导数存在，但左导数不存在．D.可导．正确答案：D[解析]令t=e1-cosx-1，当x→0时，t→0+，f(0)=0．

因为所以

由于所以f(x)在x=0处右连续．

由于f(x)是奇函数，也有因此f(x)在x=0处连续．

又

所以f'(0)=2，f(x)在x=0处可导．

5.

f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，f"(x)＜0，则f(x)在(-∞，0)内______A.单调增加且大于零．B.单调增加且小于零．C.单调减少且大于零．D.单调减少且小于零．正确答案：B[解析]由得f(0)=0，f'(0)=1．

因为f"(x)＜0，所以f'(x)单调减少，在(-∞，0)内f'(x)＞f'(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)内为单调增函数．

又f(0)=0，在(-∞，0)内f(x)＜f(0)=0，故f(x)在(-∞，0)内单调增加且小于零．

6.

设f(x)为连续函数，f(2)=2，则F'(2)等于______A.1．B.2．C.3．D.4．正确答案：C[解析]

7.

已知三阶实矩阵A=(aij)3×3满足条件：①|A|=1，②a33=-1，③aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则方程组的解是______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]思路一：|A|按第3行展开，利用a33=-1=A33，且|A|=1，得

则

因为|A|=1，由得

其中

所以

思路二：因为aij=Aij，i，j=1，2，3，所以A*=AT，又|A|=1，可得

A-1=AT，AAT=E，

即A为三阶正交矩阵，则方程的解为A-1的第三列，即A的第三行，即

因A为正交矩阵，则x是单位向量，已知a33=-1，则有a31=a32=0，故

8.

向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，且可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表出，则下列说法正确的是

______A.若向量组(Ⅱ)线性无关，则r=s．B.若向量组(Ⅱ)线性相关，则r≤s．C.不论怎样，都有r＜s．D.不论怎样，都有r≤s．正确答案：D[解析]向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则

r(α1，α2，…，αr)≤r(β1，β2，…，βs)≤s

因为向量组(Ⅰ)线性无关，所以有r(α1，α2，…，αr)=r．故r≤s，与(Ⅱ)是否线性相关无关，故C不正确．

若向量组(Ⅱ)线性无关，则有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)=s，但不能推出r=s，所以A不对．

若向量组(Ⅱ)线性相关，则有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)＜s，从而r＜s，所以B不准确．

综上，正确答案为D．

二、填空题1.

若函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=f'(0)=1，则正确答案：-5[解析]

2.

设函数z=z(x，y)由方程2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z确定，则正确答案：1[解析]令F(x，y，z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z)=0，则

3.

设函数y=f(x)由参数方程确定，则y"|t=1=______．正确答案：[解析]由参数方程，得

4.

若y1=sinx，y2=1+sinx，y3=e2x+sinx是y"+α1(x)y'+α2(x)y=f(x)的三个解，则f(x)=______．正确答案：f(x)=-sinx-2cosx[解析]依题可知，齐次方程y"+α1(x)y'+α2(x)y=0的两个线性无关解为

因此，该方程是二阶线性常系数齐次方程，其特征值为λ1=0，λ2=2，具体方程为y"-2y'=0．

而y1=sinx是方程y"-2y'=f(x)的解．所以

f(x)=y"1-2y'1=-sinx-2cosx．

5.

正确答案：[解析]

6.

A，B均为3阶矩阵，E是3阶单位矩阵，已知2AB+A+4B=0，且求(A+2E)-1=______．正确答案：[解析]由2AB+A+4B=0，得

A(2B+E)+2(2B+E)=2E(A+2E)(2B+E)=2E，

则

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

正确答案：

2.

求微分方程xy"+y'=x2+1满足条件的在(-∞，+∞)内可微的解．正确答案：思路一：当x≠0时，原方程化为由通解公式得

由题设知，其有可微解，必有C=0，所以

由于根据得

所以

思路二：

因解在(-∞，+∞)内可微，上式令x=0，得则

3.

设函数f(x)=x4+x3-1．求f(x)全部零点的个数，并估计每个零点所在区间，使估计区间的长度不超过0.5．正确答案：首先，因为f(0)=-1＜0，所以在(-∞，0)和(0，+∞)内至少各有一个零点．又f'(x)=4x3+3x2=x2(4x+3)，只有两个驻点x1=0，且

x0(0，+∞)→+∞f'(x)负0正0正

f(x)↘↗f(0)＜0↗+∞

在内有一个零点；在(0，+∞)内有一个零点，共有两个零点．

因为f(-2)=7＞0，f(-1)=-1＜0，所以在区间中有一个根．又由f(1)=1＞0，f(0)=-1＜0，所以在区间中有另一个根．

4.

设函数z=z(x，y)由方程x+y=z+ez确定，且求函数g(1，e)的值．正确答案：

由于x与y对称，则有

所以

当x=1，y=e时，由1+e=z+ez，确定z(1，e)=1．从而g(1，e)=-e．

5.

已知f(x)，g(x)在闭区间[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)满足

正确答案：[证明]记则

F(a)=0，F'(x)=f(x)；G(b)=0，G'(x)=-g(x)．

作辅助函数：和Ψ(x)=F(x)·G(x)．则有

且Ψ(a)=Ψ(b)=0．

将罗尔定理用于函数Ψ(x)=F(x)·G(x)，从而Ψ'(ξ)=0．即

Φ(ξ)=F'(ξ)G(ξ)+G'(ξ)F(ξ)=0，

由此推出证毕．

6.

设f(t)，g(t)，y(t)均为区间[a，b]上的连续函数，f(t)＞0，并且满足

证明：在[a，b]上成立不等式正确答案：[证明]记则R(a)=0，只需证明

由已知条件可知R(t)为[a，b]上的连续函数，且R'(t)=f(t)y(t)．

由不等式得

即有微分不等式R'(t)-f(t)R(t)≤f(t)g(t)．

将上述不等式两端同乘以得

因为a＜t，对上述不等式两端分别取[a，t]上的积分，注意到R(a)=0，则

将上述不等式两端同除以得

因此

7.

设有直角三角形的闸板，两直角边和为l，将其竖直放入水中，使一条直角边与水面重合，另一直角边垂直向下，问两直角边成何比例时，三角形闸板承受水压力最大?设水的密度为1，求出此最大压力．正确答案：以垂直向下直角边顶点为坐标原点，垂直向上方向为y轴，xOy平面与三角板所在平面相平行建立坐标系，如图所示．

设水平直角边与垂直向下直角边的边长分别为a与ka，

则a+ka=l，斜边所在直线方程为y=kx．

记P(k)为闸板承受的水压力，横向分割三角形域，

则有xdy表示面积微元，ka-y为水深，如此有微分关系

dP(k)=g(ka-y)xdy=gk2(ax-x2)dx，

于是

解得驻点k=2，且P'(k)在驻点两侧变号(先正后负)，因此最大压力为

8.

设线性非齐次方程组

问a，b为何值时，无解，唯一解，无穷多解，有解时求其全部解．正确答案：对增广矩阵作初等行变换

当a≠1，r(A)=r(Ab)=4，(*)有唯一解，其解为

x4=0，

故其解为

当a=1、b≠-1时，r(A)=2≠r(Ab)=3，无解；

当a=1、b=-1时，r(A)=2=r(Ab)，有无穷多解，

对应齐次方程组的基础解系：

取自由未知量x3=1，x4=0，代入方程得ξ1=(1，-2，1，0)T；

取x3=0，x4=1，代入方程得ξ2=(1，-2，0，1)T；

非齐次方程的特解：取x3=0，x4=0，解得x2=1，x1=-1，η=(-1，1，0，0)．

故通解为k1ξ1+k2ξ2+η．(k1，k2为任意常数)

9.

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维向量，且α1≠0，Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3，