考研数学二分类模拟258

考研数学二分类模拟258解答题1.

设ε1=(1，0，…，0)T，ε2=(0，1，…，0)T，…，εn=(0，0，…，1)T均为n维向量，证明：任一向量α=(a1，a2，…，an)T能够由向量组ε1，ε2（江南博哥），…，εn线性表出，并且表出方式唯一，写出这种表出方式．正确答案：证明：线性方程组x1ε1+x2ε2+…+xnεn=α的系数行列式为

因此，这个线性方程组有唯一解，从而任一向量α都能由ε1，ε2，…，εn线性表出(且表出方式唯一)，显然α=a1ε1+a2ε2+…+anεn．[考点]向量

2.

设A是三阶矩阵，其三个特征值为，求|4A*+3E|．正确答案：解：，A*的特征值为，4A*+3E的特征值为5，1，2，于是|4A*+3E|=10．[考点]特征值与特征向量

3.

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，证明：F(x)=f(x)+x在(-∞，+∞)上单调递增．正确答案：证明：对任意x1，x2∈(-∞，+∞)，设x1＜x2，则

f(x1)-f(x2)≤|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|=x2-x1

故f(x1)+x1＜f(x2)+x2，所以F(x1)＜F(x2)，即F(x)在(-∞，+∞)上单调递增．[考点]函数、极限

4.

计算n阶行列式

正确答案：解1：逐行相加法．第1行的倍加到第2行，得

再把第2行的倍加到第3行，得

继续把第3行的倍加到第4行，……，依次进行下去，可得

显然Dn=n+1．

解2：递推公式法．当n=1时，D1=2．下面设n＞1，把第2，3，…，n列都加到第1列上，然后按第1列展开，得

显然，D1，D2，…，Dn是首项为2，公差为1的等差数列．因此

Dn=2+(n-1)·1=n+1

解3：用第一数学归纳法计算．

当n=1时，D1=2=1+1；当n=2时，D2=3=2+1．

假设对k-1阶行列式有Dk-1=(k-1)+1=k．将Dk按解2的过程处理，得Dk=Dk-1+1，则由归纳假设，Dk=k+1．由数学归纳法知，Dn=n+1，对一切n≥1成立．[考点]行列式

5.

讨论的连续性．正确答案：解：由于

而

因此

即f(x，y)在R2上处处连续．[考点]多元函数微分学

6.

求绕Ox轴旋转一周所成的曲面的面积．正确答案：解：．设所求的表面积为Px，则

[考点]定积分的应用

7.

试求不定积分，进而求出不定积分．正确答案：解：因为

所以

其中C为非零常数．

②+①可得

②-①可得

[考点]不定积分、定积分、反常积分

8.

证明：椭球面与平面Ax+By+Cz=0相交所成椭圆的面积为

正确答案：解：由于平面Ax+By+Cz=0过原点，此椭圆的长、短半轴分别是椭圆上任意点(x，y，z)到原点的距离的最大值d1与最小值d2，而S=πd1d2．

为此设

并令

①②③分别乘以x，y，z后相加，并利用④⑤，得到

d2=x2+y2+z2=λ

于是问题转化为求λ的值．为此，将①②③分别乘以，后相加，并利用④，又得

消去μ后得到关于λ的一个二次方程

⑥

记式⑥等号左端为a2λ2+a1λ+a0，则

由一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，有

其中λ1，λ2分别为a2λ2+a1λ+a0=0的两个根．

由此即得

[考点]多元函数微积分

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．常数a＞0，b＞0，证明：9.

存在ξ∈(0，1)，使得．正确答案：证明：令，那么g(x)在[0，1]上连续，且

由连续函数零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得g(ξ)=0，即．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

10.

存在ζ，η∈(0，1)，ζ≠η，使得．正确答案：证明：根据已知条件f(x)在区间[0，ξ]，[ξ，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是，存在ζ∈(0，ξ)与η∈(ξ，1)，使得

进而

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

设矩阵有一个特征值为3．11.

求y；正确答案：解：因为3为A的特征值，所以|3E-A|=0，解得y=2．[考点]特征值与特征向量

12.

求可逆矩阵P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵．正确答案：解：(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P

令，|λE-A1|=0，得λ1=1，λ2=9，当λ=1时，由(E-A1)x=0得；当λ=9时，由(9E-A1)x=0得，单位化得

令

则

(AP)T(AP)=diag{1，1，1，9}[考点]特征值与特征向量

13.

设f(x)连续，f(0)=0，f'(0)=1，求

正确答案：解：

由，得当a→0时，于是

[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

14.

．正确答案：解：

若记，则．于是，有

[考点]一元函数微积分

15.

证明：数列收敛，并求其极限．正确答案：解：x1=2，，相邻两项满足．显然x1＜x2，x2＞x3，x3＜x4，此数列似乎有点奇怪，因为它并不是单纯地递增或者递减．但仔细观察，不难发现x1＜x3，x2＞x4，所以我们有理由相信该数列的奇子列单调递增，偶子列单调递减．

下面讨论奇子列{x2n-1}和偶子列{x2n}．

即奇子列相邻两项的正负号相同．又因为x3-x1＞0，所以{x2n-1}单调递增．同理可证{x2n}单调递减．又知对所有的n，有2≤xn≤3，由单调有界定理知都存在，分别记为A，B．再由，可得，两边同时取极限，得，两边同时取极限，得．显然A=B，因此{xn}收敛．于是再对两边取极限，可得．注意到xn＞2，所以．[考点]极限、连续及其应用

16.

求．正确答案：解：令φ(x)=max{x3，x2，1}，则

设F(x)为φ(x)的一个原函数，则有

其中C1，C2，C3为待定常数．

因为F(x)连续，故

所以

因此

[考点]不定积分、定积分、反常积分

分别求由下列曲线所围成的平面图形的面积．17.

y=x2，x+y=2；正确答案：解：如图1所示，交点A(-2，4)及B(1，1)．所求的面积为

图1[考点]定积分的应用

18.

y=2x-x2，x+y=0；正确答案：解：如图2所示，交点A(3，-3)及O(0，0)．所求的面积为

图2[考点]定积分的应用

19.

y=x，y=x+sin2x(0≤x≤π)．正确答案：解：所求面积为

[考点]定积分的应用

求：20.

；正确答案：解：令，得

[考点]一元函数微积分

21.

．正确答案：解：

[考点]一元函数微积分

22.

设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可对角化．正确答案：证1：令Ax=λx(x≠0)，则有Akx=λkx，因为Ak=0，所以λkx=0，注意到x≠0，故λk=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．

因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(0E-A)x=0的基础解系至多含n-1个线性无关