考研数学二模拟388

考研数学二模拟388一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.

函数在(-∞，+∞)内A.连续．B.有可去间断点．C.有跳跃间断点．D.有无穷间断点．正确答案：B[解析]函数f(x)的定义域为x≠0，先求出f(x)，再判断间断点的类型．

当x≠0时，

故f(x)有可去间断点x=0.应选B．

2.

设函数f(x)=arctanx，若函数f(x)=xf'(ξ)，则=

A．1.

B．

C．

D．正确答案：D[解析]关键是将极限式中的变量ξ转化为x，再按正常求极限方法进行．

由已知条件f(x)=xf'(ξ)，有因此

于是

题设条件就是把函数f(x)=arctanx在区间[0，x]上利用Lagrange中值定理所得．

3.

已知函数则A.f'x-f'y=0.B.f'x+f'y=0.C.f'x-f'y=f．D.f'x+f'y=f．正确答案：D[解析]

故选D．

4.

设函数则A.x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B.x=π是函数F(x)的可去间断点．C.F(x)在x=π处连续但不可导．D.F(x)在x=π处可导．正确答案：C[解析]当0≤x＜π时，

当π≤x≤2n时，

于是所以F(x)在x=π处连续．

易得F'-(x)=0，F'+(π)=2，即F(x)在x=π处的左、右导数存在但不相等，故不可导．应选C．

5.

设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A.f"(0)＜0，g"(0)＞0.B.f"(0)＜0，g"(0)＜0.C.f"(0)＞0，g"(0)＞0.D.f"(0)＞0，g"(0)＜0.正确答案：A[解析]直接利用二元函数取得极值的充分条件

显然z'x(0，0)=f'(0)g(0)=0，z'y(0，0)=f(0)g'(0)=0，故(0，0)是z=f(x)g(y)可能的极值点．

计算得z"xx(x，y)=f"(x)g(y)，z"yy(x，y)=f(x)g"(y)，z"xy(x，y)=f'(x)g'(y)，

所以A=z"xx(0，0)=f"(0)g(0)，B=z"xy(0，0)=0，C=z"yy(0，0)=f(0)g"(0)．

由B2-AC＜0，且A＞0，C＞0，有f"(0)＜0，g"(0)＞0.因此应选A．

6.

设函数z=f(x，y)连续，则

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]的积分区域为两部分

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

将其写成一块D={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}，

故二重积分可以表示为答案应选C．

7.

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，下列命题正确的是A.若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．B.若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D.著向量组Ⅱ线件相关，则r＞s．正确答案：A[解析]因为Ⅰ可由Ⅱ线性表示，有

r(α1，α2，…，αr)≤r(β1，β2，…，βs)≤s

如果Ⅰ线性无关，则有r(α1，α2，…，αr)=r

可见选项A正确．

关于选项B、C、D不妨构思几个反例．

B项(1，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)；

C项(1，0，0)，(2，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)；

D项(1，0，0)和(1，0，0)，(2，0，0)．

8.

设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有A.a=b或n+2b=0.B.a=b或a+2b≠0.C.a≠b且a+2b=0.D.a≠b且a+2b≠0.正确答案：C[解析]由伴随矩阵A*秩的公式

可见若a=b易见r(A)≤1故A、B均不正确．

由于|A|=(a+2b)(a-b)2

当a≠b，a+2b=0时，一方面A中有2阶子式而又有|A|=0故秩r(A)=2.故应选C．

二、填空题1.

曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是______．正确答案：(-1，0)．[解析]由y=x2+x得y'=2x+1，y"=2.利用曲率公式

即(2x+1)2=1，故x=0或-1.又已知x＜0，所以x=-1，y=0.

应填(-1，0)．

2.

设y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所确定的隐函数，则正确答案：1[解析]将x=0代入方程x2-y+1=ey得y=0.

在方程x2-y+1=ey两边同时对x求导得2x-y'=ey·y'，

代入x=0，y=0得y'(0)=0.

再在方程2x-y'=ey·y'两边对x求导得2-y"=ey·(y')2+ey·y"，

代入x=0，y=0，y'(0)=0得y"(0)=1.故应填1.

3.

微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为______．正确答案：e-xsinx[解析]直接按一阶线性微分方程公式求解．

微分方程的通解为

由初值条件y(0)=0得C=0.所以应填e-xsinx．

4.

一根长度为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=______．正确答案：[解析]本题考查定积分的物理应用．

因为

所以细棒的质心坐标

5.

设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：[解析]本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可．

利用复合函数求偏导公式可得

所以

二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性．

6.

二次型的规范形是______．正确答案：[解析]二次型矩阵，因为秩r(A)=1有|λE-A|=λ3-9λ2知矩阵A的特征值为9，0，0.

三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3．若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值．正确答案：[解法一]用泰勒公式

由题意知

即

亦是

所以

因而

[解法二]用洛必达法则

欲使

只需

由分子的极限为0，则a=-1.

再用洛必达法则

只需

由分子的极限为0，则

接着用洛必达法则，只需

因而所以[解析]此题是标准的极限逆问题，可用泰勒公式或洛必达法则解答．

2.

求正确答案：[解]

令则

所以

所以[解析]题设积分中含反三角函数，利用分部积分法．

被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换．

3.

证明正确答案：[证明]令则

当-1＜x＜1时，f"(x)≥2＞0，所以f'(x)单调增加．则，

当-1＜x＜0时，f'(x)＜f'(0)=0，于是f(x)在-1＜x＜0上单调减少，因此有

f(x)＞f(0)=0，即

当0＜x＜1时，f'(x)＞f'(0)=0，于是f(x)单调增加，因此有f(x)＞f(0)=0，即

综上所述得，当-1＜x＜1时，(等号在x=0时成立)．

4.

求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上点到坐标原点的最长距离与最短距离．正确答案：[解]点(x，y)到坐标原点的距离问题为求目标函数在约束条件x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)下的最大值和最小值．为方便求导，我们构造拉格朗日函数

F(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)．

解方程组

由①，②消去λ得，(y-x)(3xy+x+y)=0，由于x≥0，y≥0，得y=x，代入③得唯一可能的极值点：x=y=1.另外，曲线L与x轴，y轴的交点分别为(1，0)，(0，1)．计算这些点到坐标原点的距离得故所求最长距离为最短距离为1.[解析]本题考查二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘数法．

求最值问题时要注意考虑区域边界点或曲线端点的情况．

5.

设D是由直线y=1，y=x，y=-x围成的有界区域，计算二重积分

正确答案：[解]积分区域D关于y轴对称，利用对称性

方法一：用直角坐标

所以

方法二：用极坐标

所以[解析]先利用二重积分的对称性化简，然后可用直角坐标或极坐标计算

已知曲线L的方程6.

讨论L的凹凸性；正确答案：[解]因为

故曲线L当t≥0时是凸的．

7.

过点(-1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线的方程；正确答案：[解]由一小问知，切线方程为

设

则即

整理得

将t0=1代入参数方程，得切点为(2，3)，故切线方程为

8.

求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．正确答案：[解]由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为

A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(-1，0)．

设L的方程x=g(y)，

则

由参数方程可得

由于(2，3)在L上，则

于是

[解析]第一小问利用曲线凹凸的定义来判定；第二小问先写出切线方程，然后利用(-1，0)在切线上；第三小问利用定积分计算平面图形的面积．

本题为基本题型，第Ⅲ问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解．

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的．

9.

求容器的体积；正确答案：[解]旋转体分为体积相等的两部分，于是

容器的体积为

或者

10.

若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm/s2，水的密度为1000kg/m3)正确答案：[解]利用微元法所做功的计算也分为两部分

[解析]利用旋转体的体积公式计算容器的体积，利用微元法求所做的功．

设

已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．11.

求λ，a；正确答案：[解]因为方程组Ax=b有2个不同的解，故

由

于是λ=1或λ=-1.

当λ=1时，方程组Ax=b无解，舍去．

当λ=-1时，对Ax=b的增广矩阵作初等行变换

可见a=-2时，方程组Ax=b有无穷多解．故λ=1，α=-2.

12.

求方程组Ax=b的通解．正确答案：[解]当λ=-1，α=-2时

所以方程组Ax=b的通解为

已知二次型的秩为2.13.

求a的值；正确答案：[解]由于二次型f的秩为2，即二次型矩阵的秩为2，所以得a=0.

14.

求正交变换x=Qy把f(x1，x2，x3)化为标准形；正确答案：[解]当a=0时，

得到矩阵A的特征