考研数学二分类模拟题35

考研数学二分类模拟题35解答题1.

计算行列式正确答案：[解]

2.

计算正确答案：[解]

3.

证明：正确答案：[证明]

设．4.

计算D．正确答案：[解]

5.

求M31+M33+M34．正确答案：M31+M33+M34=1×A31+0×A32+1×A33+(-1)×A34

6.

设求(1)|-2B|；(2)AB-BA．正确答案：[解](1)|-2B|=(-2)3|B|=-8；

(2)，则

7.

设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．证明：AB=0．正确答案：[证明]由A2=2A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O或AB=-BA，AB=-BA两边左乘A得AB=-ABA，再在AB=-BA两边右乘A得ABA=-BA，则AB=BA，于是AB=O．

8.

设AX=A+2X，其中，求X．正确答案：[解]由AX=A+2X得(A-2E)X=A，其中因为|A-2E|=-1≠0，所以X=(A-2E)-1A，

由

得

9.

设，且AX+|A|E=A*+X，求X．正确答案：[解]由AX+|A|E=A*+X得

(A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*，

因为|E-A|=-3≠0，所以E-A可逆，于是X=-A*，

由|A|=6得X=-6A-1．

由

得，于是

10.

设四阶矩阵B满足，且，求矩阵B．正确答案：[解]

11.

设A，B满足A*BA=2BA-8E，且，求B．正确答案：[解]由A*BA=2BA-8E得AA*BA=2ABA-8A，

即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以

12.

设，求B-1．正确答案：[解]

则

13.

设(ai≠0，i=1，2，…，n)，求A-1．正确答案：[解]令C=(an)，则，从而

14.

设n阶矩阵A满足A2+2A-3E=O．求：(1)(A+2E)-1；(2)(A+4E)-1．正确答案：[解](1)由A2+2A-3E=O得A(A+2E)=3E，，根据逆矩阵的定义，有

(2)由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则．

15.

设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1．正确答案：[解]Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek-Ak=E，

所以(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．

设A，B为n阶矩阵，16.

求P·Q．正确答案：[解]

17.

证明：当P可逆时，Q也可逆．正确答案：[证明]因为|P|=|A||B|，所以当P可逆时，|A||B|≠0，而PQ=|A||B|E，即，于是Q可逆且

18.

设A为n阶可逆矩阵，A2=|A|E．证明：A=A*．正确答案：[证明]因为AA*=|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．

19.

设A为n阶矩阵，且A2-2A-8E=O．证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．正确答案：[证明]由A2-2A-8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4E-A)+r(2E+A)≤n．又r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n，所以有r(4E-A)+r(2E+A)=n．

20.

证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．正确答案：[证明]设存在可逆阵B，C，使得AB=AC=E，于是A(B-C)=O故rA+r(B-C)≤n，因为A可逆，所以rA=n，从而r(B-C)=0，B-C=0，于是B=C，即A的逆