考研数学二分类模拟题183

考研数学二分类模拟题183一、选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.

已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0______A.必是A的二重特征值B.至少是A的二重特征值C.（江南博哥）至多是A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能正确答案：B[解析]A是3阶矩阵，r(A)=1，r(0E-A)=1．(0E-A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：，r(A)=1，λ=0是三重特征值．

2.

A是n×n矩阵，则A相似于对角矩阵的充分必要条件是______A.A有n个不同的特征值B.A有n个不同的特征向量C.A的每个ri重特征值λi，均有r(λiE-A)=n-riD.A是实对称矩阵正确答案：C[解析]A相似于对角矩阵A有n个线性无关特征向量对每个ri重特征值λi，有r(λiE-A)=n-ri，即对应ri重特征值λi有ri个线性无关特征向量(共n个线性无关特征向量)．

A，D是充分条件，但非必要，B是必要条件，但不充分，n个不同的特征向量，并不一定线性无关．

3.

下列矩阵中能相似于对角矩阵的矩阵是______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]四个选项的矩阵，特征值均为1，1，2，能相似于对角矩阵的矩阵，要求对应二重特征值λ1=λ2=1，有二个线性无关特征向量．对C而言，因

可有两个线性无关特征向量，故C可相似于对角矩阵，而r(E-A)=r(E-B)=r(E-D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能相似于对角矩阵．

4.

已知，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是______A.[α1，-α2，α3]B.[α1，α2+α3，α2-2α3]C.[α1，α3，α2]D.[α1+α2，α1-α2，α3]正确答案：D[解析]若，P=[α1，α2，α3]，则有，即

即[Aα1，Aα2，Aα3]=[a1α1，a2α2，a3α3]．

可见αi是矩阵A属于特征值αi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此，α1，α2，α3线性无关．

若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故A正确．

若α，β是属于特征值λ的特征向量，则k1α+k2β仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故B正确．

关于C项，因为α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α3谁在前谁在后均正确，即C项正确．

由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故D项错误．

5.

下列矩阵中与合同的矩阵是______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]因，故选B．

6.

设A，B均是n阶实对称矩阵，则A，B合同的充分必要条件是______A.A，B有相同的特征值B.A，B有相同的秩C.A，B有相同的正、负惯性指数D.A，B均是可逆矩阵正确答案：C[解析]A项是充分条件，A，B实对称，且λi相同，则A，B合同，但反之不成立．B项是必要条件但不充分，A，B合同，有可逆矩阵C，，反之不成立．D既不充分，又不必要．C项是两矩阵合同的充要条件．

7.

实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f的矩阵和-f的矩阵合同，则必有______A.r是偶数，s=1B.r是奇数，s=1C.r是偶数，s=0D.r是奇数，s=0正确答案：C[解析]设f的正惯性指数为p，负惯性指数为q，-f的正惯性指数为p1，负惯性指数为q1，则有p=q1，q=p1，又f的矩阵与-f的矩阵合同，故有p=p1，q=q1，从而有

r=p+q=p+p1=2p，s=p-q=p-p1=0，

故选C．

8.

设如，则f(x1，x2，x3)的规范形是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]

方法一

=(x1-2x2+2x3)2，

得f的规范形为

方法二f对应的矩阵为

知λ1=9，λ2=λ3=0．

f的标准形为，规范形为，故应选D．

9.

设A=E-2XXT，其中X=[x1，x2，…，xn]T，且XTX=1，则A不是______A.对称矩阵B.可逆矩阵C.正交矩阵D.正定矩阵正确答案：D[解析]AT=(E-2XXT)T=E-2XXT=A，A是对称矩阵；

A2=(E-2XXT)2=E-4XXT+4XXTXXT=E，A是可逆矩阵；

A可逆，A对称，且A2=AAT=E，A是正交矩阵；

AX=(E-2XXT)X=-X，X≠0，λ=-1是A的特征值，故A不是正定矩阵．

10.

设4阶行列式的第2列元素依次为2，a22，a32，3，第2列元素的余子式依次为1，-1，1，-1，第4列元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且行列式的值为1，则a22，a32的取值为______

A．a22=-4，a32=-2

B．a22=4，a32=-2

C．

D．正确答案：A[解析]由行列式展开定理及推论，得

即

解得a22=-4，a32=-2．

11.

设m×n阶矩阵A的n个列向量线性无关，则______A.r(ATA)=nB.r(ATA)＜nC.r(ATA)＞nD.r(ATA)＞m正确答案：A[解析]由于r(A)=n，且r(ATA)=r(A)，故选A．

12.

设是可逆矩阵，B是3阶矩阵，满足则|B|=______A.1B.-2C.3D.-6正确答案：C[解析]因为

上式两端左边乘A-1，且取行列式得

故应选C．

13.

设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠E，则必有______A.r(A)=1B.r(A-E)=2C.[r(A)-1][r(A-E)-2]=0D.[r(A)-1][r(A-E)-1]=0正确答案：D[解析]A是3阶非零矩阵，则A≠O，r(A)≥1．又A≠E，A-E≠O，r(A-E)≥1．

因A2=A，即A(A-E)=O，得r(A)+r(A-E)≤3，且

1≤r(A)≤2，1≤r(A-E)≤2．

故矩阵A和A-E的秩r(A)和r(A-E)或者都是1，或者一个是1，另一个是2(不会是3，也不会是0，也不可能两个都是2．故两个中至少有一个的秩为1)．

故A，B，C均是错误的，应选D．

14.

已知向量组α1，α2，…，αs线性相关，其中αi=[ni1，ai2，…，ain]T，i=1，2，…，s，则下列向量组可能线性无关的是______A.βi=[ai2，ai1，ai3，…，ain]T，i=1，2，…，sB.γi=[ai1，ai1-ai2，ai3，…，ain]T，i=1，2，…，sC.ξi=[ai1，ai2，…，ai，n-1]T，i=1，2，…，sD.ηi=[ai1，ai2，…，ain，ai，n+1]T，i=1，2，…，s正确答案：D[解析]n维向量αi后面增加了分量(即维数)成n+1维向量ηi，讨论线性相关性时，相当于以αi为列向量的齐次线性方程组增加了一个方程，有可能使方程组

η1x1+η2x2+…+ηsxs=0

变得只有零解，即η1，η2，…，ηs可能线性无关．故应选D．

A，B项相当于作初等变换，不改变向量组的秩，不改变向量组的线性相关性C项中向量减少分量，仍保持线性相关．

15.

设A=[α1，α2，…，αn]经过若干次初等行变换得B=[β1，β2，…，βn]，b=[b1，b2，…，bn]T≠0则

①Ax=0和Bx=0同解；

②Ax=b和Bx=b同解；

③A，B中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性；

④A，B中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性．

其中正确的是______A.①，③B.②，④C.①，④D.②，③正确答案：C[解析]A经过初等行变换后得B，方程组Ax=0和Bx=0中只是方程改变倍数、两方程互换，或某方程的k倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解，故①成立．A，B中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有相同的线性相关性，故④成立，而②中由于b没有参与行变换，故②不成立，③行变换后，A，B中对应的部分行向量会改变线性相关性．

如

故③也不成立．

16.

设齐次线性方程组有通解k[1，0，2，-1]T，其中k是任意常数，A中去掉第i列(i=1，2，3，4)的矩阵记成Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是______A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=0正确答案：B[解析]A3×4x=0有通解k[1，0，2，-1]T，将A以列分块，设A=[α1，α2，α3，α4]，即有α1+2α3-α4=0，则方程A2y=0有非零解ξ=[1，2，-1]T．

其余选项A，C，D均不成立．

若A1y=0有非零解，设为[λ1，λ2，λ3]T，则有

λ1α2+λ2α3+λ3α4=0，

即0α1+λ1α2+λ2α3+λ4α4=0，

则由原方程组A3×4x=0，可得另一个线性无关解[0，λ1，λ2，λ3]T，这和题设矛盾．(由题设知，Ax=0只有一个线性无关解)C，D项类似．

17.

设A是4×5矩阵，ξ1=[1，-1，1，0，0]T，ξ2=[-1，3，-1，2，0]T，ξ3=[2，1，2，3，0]T，ξ4=[1，0，-1，1，-2]T都是齐次线性方程组Ax=0的解，且Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4线性表出，若k1，k2，k3，k4是任意常数，则Ax=0的通解是______A.k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+k4ξ4B.k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3C.k2ξ2+k3ξ3D.k1ξ1+k3ξ3+k4ξ4正确答案：D[解析]Ax=0的任一解向量均可由ξ1，ξ2，ξ3，ξ4线性表出，则必可由ξ1，ξ3，ξ3，ξ4的极大线性无关组表出，且ξ1，ξ2，ξ3，ξ4的极大线性无关组即是Ax=0的基础解系，因

故知ξ1，ξ3，ξ4线性无关，是极大线性无关组，是Ax=0的基础解系，D项是Ax=0的通解，故应选D．

18.

设A，P都是n阶可逆阵，λ，ξ分别是A的特征值和对应的特征向量，则P-1A*P的特征值和对应的特征向量分别是______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由题设条件

Aξ=λξ，(*)

其中A可逆，故λ≠0，(*)式两端左边乘A*，得A*Aξ=|A|ξ=λA*ξ，

即

(**)

(**)式两端左边乘P-1，得

故知P-1A*P有特征值，对应的特征向量为P-1ξ．故应选A．

19.

设A是3阶矩阵，Ax=0有通解kξ1+k2ξ2，Aξ3=ξ3，则存在可逆矩阵P，使得，其中P是A.[ξ1，ξ2，ξ1+ξ3]B.[ξ2，ξ3，ξ1]C.[ξ1+ξ2，-ξ2，2ξ3]D.[ξ1+ξ2，ξ2-ξ3，ξ3]正确答案：C[解析]由题意，知ξ1，ξ2是A的对应于特征值λ1=0的线性无关的特征向量，ξ3是A的对应于特征值λ2=1的特征向量，且注意下列概念：

①A的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合，如λ=0对应的特征向量是ξ1，ξ2，则k1ξ1+k2ξ2为非零向量时，仍是A的对应于该特征值的特征向量．λ=1对应的特征向量是ξ3，则kξ3仍是λ=1对应的特征向量，k为任意非零常数．

②对不同特征值λ1≠λ2，则对应的特征向量的线性组合(如ξ1+ξ3，ξ2-ξ3等)不再是A的特征向量．

③P中的特征向量排列次序应与对角阵中λ的排列次序一致．

由上述三条知应选C，因C项中，ξ1+ξ2，-ξ2仍是对应于特征值λ=0的特征向量，2ξ3仍是对应于特征值λ=1的特征向量，且与对角矩阵中特征值的排列次序一致，故应选C．

A项中ξ1+ξ3不是特征向量，B项中ξ3，ξ1对应的特征值的排列次序不一致，D项中ξ2-ξ3不是特征向量，故都是错误的．

20.

设A，B均是n阶非零矩阵，已知A2=A，B2=B，且AB=BA=O，则下列3个说法：

①0未必是A和B的特征值；

②1必是A和B的特征值；

③若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量．

正确说法的个数为A.0个B.1个C.2个D.3个正确答案：C[解析]A是n阶非零矩阵，设λ是A的特征值，α是对应的特征向量，则Aα=λα．因为A2=A，于是A2α=Aα，λ2α=λα，(λ2-λ)α=0．由于α≠0，故有λ2-λ=0，所以λ=1或0．

又由于A2=A，即(E-A)A=O，且A≠O，所以齐次线性方程组(E-A)x=0有非零解．从而，|E-A|=0，故知λ=1是A的特征值，又因为AB=O，B≠O，所以齐次线性方程组Ax=0有非零解．由此可知，|A|=0，故λ=0也是A的特征值．

同样可证，矩阵B的特征值必是1和0．

由于1是A的特征值，α是对应的特征向量，则有Aα=α．两端左边乘矩阵B，得

Bα=B(Aα)=(BA)α．

因为BA=O，所以Bα=0=0α．

由此可知，若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量．

21.

设A是3阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个特征值，且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，若A-μE是正定矩阵，则参数μ应满足______A.μ＞bB.μ＞aC.μ＜aD.μ＜b正确答案：D[解析]A有特征值λ1，λ2，λ3，则A-μE有特征值λ1-μ，λ2-μ，λ3-μ且满足a-μ≥λ1-μ≥λ2-μ≥λ3-μ≥b-μ．A-μE正定，全部特征值应大于0，当b-μ＞0即b＞μ时，A-μE正定，故应选D．

二、填空题1.

设n阶矩阵，则|A|=______．正确答案：(-1)n-1(n-1)[解析]

2.

正确答案：(x2-y2)(b2-c2)[解析]

3.

，其中a，b，c，d，x，y，z，w是任意常数，则|A|=______．正确答案：0[解析]

4.

设a，b，a+b均非零，则行列式正确答案：-2(a3+b3)[解析]将第2，3行加到第1行上去，提出公因子2(a+b)后，再将第1列的-1倍加到第2，3列，得到

5.

设A=[α1，α2，α3]是3阶矩阵，|A|=4，若

B=[α1-3α2+2α3，α2-2α3，2α2+α3]，则|B|=______．正确答案：20[解析]方法一利用行列式自

|B|=|α1-3α2+2α3，α2-2α3，5α3|

=5|α1-3α2+2α3，α2-2α3，α3|

=5|α1-3α2，α2，α3|

=5|α1，α2，α3|

=20．

方法二

故

6.

设A，B均为n阶矩阵，且|A|=2，|B|=-3，则|2A*B-1|=______．正确答案：[解析]

7.

设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，，则|C|=______．正确答案：(-1)mnab[解析]

8.

已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式正确答案：[解析]设λ3为A的另一特征值，则由A～B知，|A|=|B|=2，且λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有

|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，

|(2B)*|=|22B*|=43|B*|=43|B|2=256，

故

9.

已知AB-B=A，其中，则A=______．正确答案：[解析]

10.

设A为奇数阶矩阵，AAT=ATA=E，且|A|＞0，则|A-E|=______．正确答案：0[解析]由题知|A-E|=|A-AAT|=|A(E-AT)|=|A||(E-A)T|=|A||E-A|．

又