考研数学二分类模拟题100

考研数学二分类模拟题100一、填空题1.

设三阶方阵A，B满足A2B-A-B=E，其中E为三阶单位矩阵，若则|B|=______．正确答案：．[解析]由A2B-A-B=E得

(A2-E)B=A+E，即(A+E)(A-E)B=A+E．

而为可逆矩阵，所以有

(A-E)B=E，

由此得B=(A-E)-1．

又

故|A-E|=2，

因此

2.

设矩阵矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=______．正确答案：．[解析]由ABA*=2BA*+E知，(A-2E)BA*=E，B=(A-2E)-1(A*)-1，故|B|=|A*|-1|A-2E|-1．由知|A*|=9，于是

也可由(A-2E)BA*=E可直接两端取行列式，不必具体解出B．

3.

设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵

A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3)．如果|A|=1，那么|B|=______．正确答案：2．[解析]解法1

利用行列式的性质计算．

解法2

利用矩阵的性质计算．

则

4.

设矩阵E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=______．正确答案：2．[解析]由题设等式得

B(A-E)=2E，

从而|B(A-E)|=|2E|，

即|B||A-E|=22=4．

因为所以|B|=2．

5.

设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式|2A|=-48，则λ=______．正确答案：-1．[解析]因为|A|=6λ，故有

-48=|2A|=8|A|=48λ，

所以λ=-1．

6.

设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．正确答案：3．[解析]因为

|A|·|A-1+B|=|A(A-1+B)|=|E+AB|=|(B-1+A)B|=|B-1+A|·|B|，

即

2|B-1+A|=6，

所以|A+B-1|=3．

对于|A+B|型行列式，一般是恒等变形转化为乘积的形式，其中单位矩阵E恒等变形是一个常用技巧．

7.

设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|=______．正确答案：-27．[解析]由题意知|B|=-|A|，而|A*|=|A|2，故

|BA*|=|B|·|A*|=-|A|3=-27．

8.

设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=______．正确答案：-1．[解析]由aij+Aij=0(i，j=1，2，3)知，A的伴随矩阵A*满足

A*=-AT及|A*|=(-1)3|AT|=-|A|，

再由|A*|=|A|3-1=|A|2，

得|A|2+|A|=0．

最后，由行列式的展开定理得

从而

因为A是非零矩阵，所以|A|≠0．综上，得

|A|+1=0，即|A|=-1．

9.

设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=______．正确答案：21．[解析]A的特征值为2，-2，1，则B的特征值对应分别为3，7，1，所以|B|=21．

也可设A是对角线元素为2，-2，1的对角矩阵，则B是对角线元素为3，7，1的对角矩阵，可得|B|=21．

10.

已知α=(1，2，3)，，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An______．正确答案：．[解析]因为应用矩阵乘法的结合律，得

若α，β都是n维非零列向量，则A=αβT和B=βαT是两个互为转置的秩为1的方阵，而αTβ和βTα是两个相等的数(这个数就是矩阵A=αβT的迹)，则An=ln-1A=(αTβ)n-1A．

11.

设而n≥2为正整数，则An-2An-1=______．正确答案：O3×3(即3×3阶零矩阵)．[解析]由于A2=2A，故An-2An-1=An-2(A2-2A)=O．计算矩阵A的高次幂阵，通常要找出规律，从而简化运算．

先求出A2，A3等低次幂阵，找出规律．

12.

设E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B)-1=______．正确答案：．[解析]此类填空题，总是先进行符号推导再代入数字运算．

因为B+E=(E+A)-1(E-A)+E

=(E+A)-1(E-A+E+A)

=2(E+A)-1，

所以

本题利用了单位矩阵E恒等变形的技巧．

13.

设α为3维列向量，αT是α的转置．若则αTα=______．正确答案：3．[解析]设由题设知，故

ααT是秩为1的方阵，αTα是一个数，且这个数αTα就是方阵ααT的迹，于是直接有

αTα=1+1+1=3．

14.

设矩阵则A3的秩为______．正确答案：1．[解析]因为

故A3的秩为1．

计算A3，可以直接由乘法得到，这是最基本的方法，应熟练掌握．此外，也可由这种矩阵方幂的规律得到：设则

15.

设矩阵等价，则a=______．正确答案：2．[解析]矩阵A，B等价r(A)=r(B)．

因为，因此

a=-1时，易见r(A)=1．

所以a=2时，矩阵A和B等价．

二、选择题1.

记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为A.1．B.2．C.3．D.4．正确答案：B[解析]此题实质上是计算行列式，看计算出的x的多项式次数是多少．在计算过程中要充分运用行列式的性质．

由此可知f(x)是2次多项式，故应选B．

不要错误的认为f(x)一定是4次多项式．

2.

行列式A.(ad-bc)2．B.-(ad-bc)2．C.a2d2-b2c2．D.b2c2-a2d2．正确答案：B[解析]解法1

用行列式的性质与公式计算行列式：

解法2

用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式：

3.

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A.当m＞n时，必有行列式|AB|≠0．B.当m＞n时，必有行列式|AB|=0．C.当n＞m时，必有行列式|AB|≠0．D.当n＞m时，必有行列式|AB|=0．正确答案：B[解析]由各选项可见，主要区分行列式不为零与为零的情形．而题中并未给出A与B的具体形式，所以无法用计算来回答。方阵的行列式不为零(为零)等价于该方阵满秩(不满秩)．故用秩的办法来讨论．

AB为m阶方阵，

r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，

当m＞n时，由上式有r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，所以|AB|=0．故选B．

4.

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则A.E-A不可逆，E+A不可逆．B.E-A不可逆，E+A可逆．C.E-A可逆，E+A可逆．D.E-A可逆，E+A不可逆．正确答案：C[解析]解法1

因为A3=O，故

即分别存在矩阵E-A+A2和E+A+A2使

(E+A)(E-A+A2)=E，

(E-A)(E+A+A2)=E，

可知E-A与E+A都是可逆的，所以应选C．

解法2

设λ是A的特征值，由Aλ=O，得λ3=λ=0(n重)，于是E-A的特征值是1(n重)，E+A的特征值是1(n重)，故二者均可逆．

解法1是利用的定义法，解法2是说明0不是特征值．

5.

设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A.kA*．B.kn-1A*．C.knA*．D.k-1A*．正确答案：B[解析]解法1

本题考查数与矩阵的乘法及伴随矩阵的概念．设A=(aij)n×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA=(kaij)n×n．若其元素kaij的代数余子式记作Δij(i，j=1，2，…，n)，则由行列式性质，

Δij=kn-1Aij，i，j=1，2，…，n．

再由伴随矩阵的定义知(kA)*=kn-1A*，可知B项正确．该题较简单，所以得分率偏高．题中对n和k的限制(除k≠0)是为了做到4个选项只有1个是正确的．

解法2

不妨加强条件设A可逆，(kA)(kA)*=(kA)*(kA)=|kA|E=kn|A|E，于是

(kA)*=kn-1|A|A-1=kn-1A*．

解法2中利用了AA*=A*A=|A|E这一有关伴随矩阵的核心公式．

6.

设A，B均为2阶方阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]解法1

对任一n阶矩阵C，有

C*C=CC*=|C|E，

其中C*是C的伴随矩阵．因此可直接用乘法验证，排除错误选项．

对选项A，有

E2为2阶单位矩阵；

对选项B，有

E4为4阶单位矩阵；

对选项C，D，分别有

由此知选项B正确．

解法2

设

分别求出X1，X2，X3，X4．因为

所以BX1=O，AX4=O，由已知，A，B均可逆，故X1=x4=O；另一方面，有

其中，故得

解法3

，则可逆，于是

选B．

7.

设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]由题意知，Q=E1E2，其中

故

即选项D正确．

8.

设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的A.交换A*的第1列与第2列得B*．B.交换A*的第1行与第2行得B*．C.交换A*的第1列与第2列得-B*．D.交换A*的第1行与第2行得-B*．正确答案：C[解析]由题设知B=E(1，2)A，其中E(1，2)是将矩阵第1行(列)与第2行(列)交换的初等变换所对应的初等矩阵，因而

B-1=A-1[E(1，2)]-1．

由于

且|B|=-|A|，所以

-B*=A*E(1，2),

而用E(1，2)右乘矩阵A*，就是将A*的第1列与第2列交换．因而选项C是正确的．

不少考生选A，是忽略了伴随矩阵与逆矩阵的差别，或者是虽注意到了它们的不同，但没有考虑|B|=-|A|．也有一些考生选B，则反映了他们仍然没有把矩阵的伴随矩阵的结构弄清楚，这是一个老问题，但每年都有考生犯这一类错误．可见扎实基础的重要性．

9.

设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记则A.C=P-1AP．B.C=PAP-1．C.C=PTAP．D.C=PAPT．正确答案：B[解析]由题设知B=PA，C=BQ，其中初等矩阵于是有

C=PAQ．

不难验证PQ=E，即Q=P-1，从而C=PAP-1，即选项B正确．

10.

设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ为

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]对矩阵P作初等列变换：把第2列加到第1列上，便可得到矩阵Q．若记E12为上述初等变换所对应的初等矩阵，则Q=PE12，其中

于是

选项A正确．

11.

设A为3阶矩阵．将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记则A=

A．P1P2．

B．

C．P2P1．

D．正确答案：D[解析]本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵．由题设条件知，矩阵P1，P2正是与题中所给初等变换相对应的初等矩阵．根据初等矩阵的性质，有B=AP1和E=P2B，从而E=P2AP1，即，故有，即选项D是正确的．

对于初等变换要会用初等矩阵来描述．

三、解答题1.

设n元线性方程组Ax=b，其中

证明行列式|A|=(n+1)an；正确答案：证法1

记

以下用数学归纳法证明．

当n=1时，D1=2a，结论成立；

当n=2时，结论成立．

假设结论对于小于n的情况成立．将Dn按第1行展开得

即证得|A|=(n+1)an．

证法2

利用递推关系．

记Dn=|A|，则D1=2a，D2=3a2，按照第一列展开，得Dn=2aDn-1-a2Dn-2．于是

Dn-aDn-1=aDn-1-a2Dn-2=a(Dn-1-aDn-2)=a2(Dn-2-aDn-3)

=…=an-2(D2-aD1)=an，

则Dn=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2=…=(n-2)an+an-2D2

=(n-2)an+an-2·3a2=(n+1)an．[解析]本题是“三对角线”型n阶行列式，一般可以采用递推法或者数学归纳法，当然本题还可以利用行列式的性质将其化为“上三角行列式”，留给读者自练．

2.

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵．当A*=AT时，证明|A|≠0．正确答案：证法1

设其中αi为A的行向量(1≤i≤n)，则．由公式AA*=|A|E，故

根据已知，有AAT=|A|E．

(反证法)如果|A|=0，由上，有

则(i=1，2，…，n)，即||αi||2=0，故所有αi=0，即A=O，这与A是非零矩阵矛盾，故|A|≠0．

证法2

A*=AT，则Aij=aij，由于A是非零矩阵，不妨设a11≠0，按照第一行展开，有|A|=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=，故|A|≠0．

3.

已知矩阵且A2-AB=E，其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B．正确答案：解

由A2-AB=A(A-B)=E，及|A|=-1≠0，知A-B=A-1．

即B=A-A-1．

又

从而

4.

设(2E-C-1B)=AT=C-1，其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵，

求A．正确答案：解

由题设得

C(2E-C-1B)AT=E，

即(2C-B)AT=E．

由于

故2C-B可逆．

于是[解析]求解