考研数学二分类模拟题72

考研数学二分类模拟题72一、填空题1.

设n阶矩阵，则|A|=______．正确答案：(n-1)(-1)n-1[解]

2.

正确答案：0[解]

3.

设A，B均为n阶方阵，|A|=2，|B|=-3，则|A-1B*-A*B-1|=______．正确答案：[解]A*=|A|A-1=2A-1，B*=|B|B-1=-3B-1，则

4.

设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A的行列式|A|=-2，则行列式|-A1～2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1|=______．正确答案：12[解]由得

5.

设A是三阶方阵，且|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0，则|2A*-3E|=______．正确答案：126[解]由|A-E|=|A+2E|=|2A+3E|=0得

矩阵A的特征值为

|A|=3，A*的特征值为

2A*-3E的特征值为3，-6，-7，故|2A*-3E|=126.

6.

设A为四阶可逆方阵，将A第3列乘3倍再与第1列交换位置，得到矩阵B，则B-1A=______.正确答案：[解]由得

7.

设A为4×3矩阵，且r(A)=2，而，则r(AB)=______．正确答案：2[解]因为，所以B可逆，

于是r(AB)=r(A)=2.

8.

向量组α1=[0，4，2-k]，α2=[2，3-k，1]，α3=[1-k，2，3]线性相关，则实数k=______.正确答案：6[解]由得k=6.

9.

设三阶矩阵，三维列向量α=(a，1，1)T．已知Aα与α线性相关，则a=______.正确答案：-1[解]因为Aα与α线性相关，所以Aα与α成比例，

令Aα=kα，即

10.

设向量组线性无关，则a，b，c必满足关系式______．正确答案：abc≠0[解]由得a，b，c满足的关系式为abc≠0.

11.

若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件______．正确答案：a4-a1+a2-a3[解]

则方程组有解应满足的条件为a4-a1+a2-a3=0.

12.

若矩阵，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______．正确答案：1[解]由AB=O得r(A)+r(B)≤3，

因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，

又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2.

由得t=1.

13.

设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若行列式|2A|=-48，则λ=______．正确答案：-1[解]|A|=6λ，由|2A|=8|A|=-48得|A|=-6，解得λ=-1.

14.

矩阵的非零特征值是α3．正确答案：4[解]由得A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=4，非零特征值为4.

15.

已知有三个线性无关的特征向量，则a=______．正确答案：-10[解]由得λ1=1，λ2=λ3=2，

因为A可对角化，所以r(2E-A)=1，

由得a=-10.

16.

若相似，则x=______，y=______．正确答案：x=-17，-12[解]设

由A与B相似得tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得x=-17；

由|A|=|B|得-374-31y=-2，解得y=-12.

17.

已知矩阵只有两个线性无关的特征向量，则A的三个特征值是______，a=______.正确答案：λ1=λ2=λ3=2，a=-5[解]

特征值为λ1=λ2=λ3=2，

因为λ1=λ2=λ3=2只有两个线性无关的特征向量，

所以r(2E-A)=1，

由得a=-5.

二、选择题1.

已知2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D等于______.A.0B.a2C.-a2D.na2正确答案：A[解]不妨设第一列元素及余子式都是a，则

D=a11A11+a21A21+…+a2n，1A2n，1=a2-a2+…-a2=0，应选A．

2.

行列式|A|非零的充分条件是______.A.A中所有元素非零B.A中至少有n个元素非零C.A的任意两行元素之间不成比例D.以|A|为系数行列式的线性方程组有唯一解正确答案：D[解]|A|≠0的充要条件是r(A)=n，r(A)=n的充要条件是AX=b有唯一解，应选D．

3.

假设A是n阶方阵，其秩(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中______.A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他r个列向量线性表示正确答案：A[解]因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由r(A)=r得A一定有r个行向量线性无关，应选A．

4.

设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有______.A.|A|=|B|B.|A|≠|B|C.若|A|=0，则一定有|B|=0D.若|A|＞0，则一定有|B|＞0正确答案：C[解]因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即|B|=0，应选C．

5.

设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则______.A.若α1，α2，…，αr线性无关，则r≤sB.若α1，α2，…，αr线性相关，则r≤sC.若β1，β2，…，βs线性无关，则r≤sD.若β1，β2，…，βs线性相关，则r≤s正确答案：A[解]因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，

所以若α1，α2，…，αr线性无关，即(Ⅰ)的秩=r，则r≤(Ⅱ)的秩≤s，应选A．

6.

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，E是n阶单位矩阵，若AB=E，则______.A.B的行向量组线性无关B.B的列向量组线性无关C.A-1=BD.|AB|=|A||B|正确答案：B[解]由AB=E得，r(AB)=n，从而r(A)≥n，r(B)≥n，

又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，

故B的列向量组线性无关，应选B．

7.

非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则______.A.r=m时，方程组AX=b有解B.r=n时，方程组AX=b有唯一解C.m=n时，方程组AX=b有唯一解D.r＜n时，方程组AX=b有无穷多解正确答案：A[解]r()≥r(A)，

当r=m时，r()≥r(A)=m；

又r()≤m，所以r()=r(A)=m，故AX=b有解，应选A．

8.

设A为m×n矩阵且r(A)=n(n＜m)，则下列结论中正确的是______.A.若AB=AC，则A=CB.若BA=CA，则B=CC.A的任意n个行向量线性无关D.A的任意n个行向量线性相关正确答案：B[解]由BA=CA得(B-C)A=O，则r(A)+r(B-C)≤n，

由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，应选B．

9.

设α1，α2，α3是AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成______.A.α1，α2，α3的一个等价向量组B.α1，α2，α3的一个等秩向量组C.α1，α1+α2，α1+α2+α3D.α1-α2，α2-α3，α3-α1正确答案：A[解]B显然不对，因为与α1，α2，α3等秩的向量组不一定是方程组的解；

因为α1+(α1+α2)-(α1+α2+α3)=0，所以α1，α1+α2，α1+α2+α3线性相关，不选C；

由(α1～α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，所以α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关，不选D，应选A.

10.

向量组α1，α2，αs线性无关的充要条件是______.A.α1，α2，…，αs均不为零向量B.α1，α2，…，αa中任意两个向量的分量不成比例C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．正确答案：C[解]若α1，α2，…，αs线性无关，则α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs线性无关，应选C．

11.

设矩阵Am×n，r(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是______.A.A通过初等行变换必可化为[Em，0]的形式B.A的任意m阶子式不等于零C.A的任意m个列向量必线性无关D.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多解正确答案：D[解]显然

因为为m×(n+1)矩阵，所以

于是故AX=b一定有无数个解，应选D．

12.

设，若齐次方程组AX=0的任一非零解均可用α线性表示，则a=______.A.3B.5C.3或-5D.5或-3正确答案：A[解]因为AX=0的任一非零解都可由α线性表示，所以AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而r(A)=2.

由得a-5=-2，解得a=3，应选A．

13.

设都是线性方程组AX=0的解向量，只要系数矩阵A为______.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解]因为α1，α2线性无关，所以AX=0的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而r(A)≤1，

再由题意得，显然选C．

14.

设，则______不是A的特征向量．A.(-1，1，-1)TB.(1，2，0)TC.(0，1，1)TD.(2，4，-1)T．正确答案：A[解]由得

不是A的特征向量，应选A．

15.

下列矩阵中，不能相似对角化的是______.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解]的特征值为7，0，0，因为r(0E-A)=r(A)=2，所以λ=0对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选C.

16.

设A，B均为n阶实对