考研数学二分类模拟题97

考研数学二分类模拟题97一、选择题1.

设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角区域，D1是D在第一象限的部分，则等于

A．

B．

C．

D．0．正确答案：A[解析]如图所示，ΔOAB所围区域记为D2，ΔOBC所围区域记为D3．

由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则

同理．从而．

又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则

又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则

从而有

故

2.

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]设D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，记

用直线(i=0，1，2，…，n)与(j=0，1，2，…，n)将D分成n2等份，和式

是函数f(x，y)在D上的一个二重积分的和式，所以

本题主要考查二重积分的概念与将和式转化为积分和的方法，是一道基本概念题．

3.

设区域D由曲线y=sinx，，y=1围成，则A.π．B.2．C.-2．D.-π．正确答案：D[解析]解法1

注意到和sinx均为奇函数，所以

于是

原式=

解法2

将积分区域D分为D1和D2两部分(如图)．

由于D1关于x轴对称，xy5关于y是奇函数，因此

又D2关于Y轴对称，xy5关于x是奇函数，故

于是

利用割补的方法．不难看出区域D的面积是π，因而

4.

设Dk是圆域D={(x，y)|x2+y2≤1}在第k象限的部分，记(k=1，2，3，4)，则A.I1＞0．B.I2＞0．C.I3＞0．D.I4＞0．正确答案：B[解析]注意到在区域D2内y-x≥0，在区域D4内y-x≤0，且其等号不恒成立，因而I2＞0，I4＜0．这排除了选项D．

又区域D1和D3都是关于直线y=x对称，在这两个区域内，交换x与y的位置，则被积函数变为x-y，且x-y=-(y-x)，于是I1=I3=0．这排除了选项A和C．

本题也可以通过计算二重积分求得答案．

同理可得，I3=0，．

故选B．

5.

设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则等于

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]因为从x2+y2=2y解出，它们分别是内层积分的上、下限．故选项A可排除．把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分时，面积元素dσ=rdrdθ，故选项C可排除．由于f(xy)关于y轴的奇偶性是未知的，故选项B可以排除，于是应选D．当然，将二重积分化为极坐标系下的二次积分可直接得到D．因为区域D：0≤ρ≤2sinθ，0≤θ≤π，故

6.

设f(x，y)为连续函数，则等于

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]积分区域，如图所示．若先对y积分再对x积分，需将D分成两个区域D1和D2，故可排除A，B．区域D可表示为

于是选C．

7.

设函数f(x，y)连续，则二次积分等于

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]根据所给二次积分得到积分区域为如图所示，则有

8.

设函数f(x，y)连续，则

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]的积分区域为两部分：

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

将上述两部分合并写成

D=D1+D2={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}，

故

答案为C．

9.

设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]区域D如图所示．作极坐标变换，将化为累次积分．

D的极坐标表示为

因此

10.

设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)是正值连续函数，a，b为常数，则

A．abπ．

B．

C．(a+b)π．

D．正确答案：D[解析]因为，故

本题利用了二重积分的轮换对称性，另外也可以直接取一个具体的函数f(x)=1去排除．

二、解答题1.

计算二重积分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．正确答案：解

将区域D分成两个子区域：

D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，

D2={(x，y)|x2+y2≥1，0≤x≤1，0≤y≤1}，

则

由于

故

由于D2是一个不规则图形，利用分块的做法把写成的形式，这一技巧在二重积分中经常遇到，读者应熟练掌握．

2.

设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分．正确答案：解

因为

所以

3.

设二元函数

计算二重积分，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．正确答案：解

由区域的对称性和被积函数的奇偶性有

其中D1为D在第一象限的部分，而

其中D11={(x，y)|0≤y≤1-x，0≤x≤1}，

D12={(x，y)|1≤x+y≤2，x≥0，y≥0}(如图所示)．

因为

所以

4.

计算其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}．正确答案：解

曲线xy=1将区域D分成如图所示的两个区域D1和D2．

也可采取分块的做法计算

5.

计算二重积分，其中

D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}．正确答案：解法1

区域D的极坐标表示为

所以

解法2

作平移变换，将偏心圆转化为标准圆：令u=x-1，v=y-1，则积分区域D变为D'：u2+v2≤2，v≥u，于是

6.

计算二重积分，其中．正确答案：解

由题设知，积分区域D如图所示，将积分化为直角坐标系下的二重积分为

设x=sint，则

7.

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=f(x，1)=0，，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分正确答案：解

因为f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以

f'y(1，y)=0，f'x(x，1)=0，

从而

8.

计算二重积分，其中区域D由曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成．正确答案：解法1

解法2

9.

设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算．正确答案：解法1

直线x+y=8与直线y=3x和x=3y分别交于点(2，6)和(6，2)，直线x=2将区域D分为D1和D2两部分(如图所示)，则有

解法2

10.

设平面区域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，计算正确答案：解法1

由于

则

解法2

利用轮换对称性，

对于二重积分的计算题，首先要考虑有无对称性(普通对称性、轮换对称性)，若有，则用这些对称性去化简积分，然后再去计算．

11.

计算二重积分，其中D={(x，y)|x2+y2≤2，y≥x2}．正确答案：解

因为区域D关于y轴对称，所以．

令，则

又，所以

12.

设D是由直线y=1，y=x，y=-x围成的有界区域，计算二重积分正确答案：解

因为区域D关于y轴对称，所以．

13.

求微分方程满足条件的特解．正确答案：解

化原方程为一阶线性方程

得其通解为

由，得C=-1，故所求特解为

14.

求微分方程的通解(一般解)．正确答案：解

其中C为任意常数．

15.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x(0＜x<+∞)满足y(1)=0的特解．正确答案：解

由通解公式有

得

再由y(1)=0，得C=-e．

故所求解为

16.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解．正确答案：解

将原方程化为

由公式

得．

又由y|x=e=1，可解出，所以方程的特解是．

17.

求微分方程xy'+y=xex满足y(1)=1的特解．正确答案：解

当x=1，y=1代入，得C=1，则所求特解为．

18.

求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解．正确答案：解

原方程可化为

这是一阶线性方程，其通解为

19.

求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解．正确答案：解

原方程可化为

此一阶线性微分方程的通解为

即

由y(0)=1，得C=-1，故满足初始条件的特解为

20.

设y=ex是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解．正确答案：解

以y=ex代入原方程，得

xex+p(x)ex=x，

解出p(x)=xe-x-x．

代入原方程得xy'+(xe-x-x)y=x，即y'+(e-x-1)y=1．

解其对应的齐次方程y'+(e-x-1)y=0，有

=(-e-x+1)dx，ln|y|-ln|C|=e-x+x，

得齐次方程的通解y=Cex+e-x．所以，原方程的通解为

y=ex+Cex+e-x．

由y|x=ln2=0，