考研数学二分类模拟题96

考研数学二分类模拟题96一、填空题1.

设函数z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y确定，则正确答案：2．[解析]解法1

等式两边对x求偏导数，得

于是得

同理得

于是

解法2

等式两端直接求全微分，

于是

2.

设f(u，v)是二元可微函数，正确答案：．[解析]

还可以利用一阶全微分形式不变性求解，留给读者自练．

3.

设正确答案：．[解析]解法1

因为

故

解法2

采用“先代后求”．

4.

设，其中函数f(u)可微，则正确答案：0．[解析]

所以

5.

设z=z(x，y)是由方程确定的函数，则正确答案：．[解析]解法1设，F'x=1，F'y=2ze2yz+2y，F'z=2ye2yz+1，当x=y=时，z=0，，所以

解法2

将原方程两端直接求全微分，得

e2yz(2zdy+2ydz)+dx+2ydy+dz=0，

当时，z=0，代入得

6.

若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0，0)=______．正确答案：．[解析]先求z(0，0)．在原方程中令x=0，y=0得

解法1

将原方程两边求全微分得

ex+2y+3zd(x+2y+3z)+d(xyz)=0，

ex+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0．

令x=0，y=0，z=0得

解法2

将方程两边分别对x，y求偏导数得

令x=0，y=0，z=0可得

令x=0，y=0，z=0可得

因此

二、选择题1.

二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]二元函数在一点连续，可导，可微和偏导数连续的概念以及它们的相互关系是多元函数微分学的基本内容，这些就是本题要考查的知识点．只要了解各选项中等式的意义，就会得到正确的选项．本题主要利用基本概念和推理，所以有一定的难度．

选项A的等式是函数f(x，y)在点(0，0)处连续的定义，故它不是f(x，y)在点(0，0)处可微的充分条件；

选项B的两个等式就是f'x(0，0)=0，f'y(0，0)=0，两个偏导数存在当然不是可微的充分条件；

选项C的等式就是函数f(x，y)在点(0，0)处可微的定义，故是正确的；

由于C是正确的选项，故选项D被排除．也可举反例：

因为

故

同理

但是在(0，0)处，有

故函数在(0，0)处不可微．

注意选项D中表示的极限是一元的极限，分别表示一元函数f'x(x，0)在x=0处与f'y(0，y)在y=0处连续，不要误以为是表示一阶偏导连续．

2.

设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有，则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是A.x1＞x2，y1＜y2．B.x1＞x2，y1＞y2．C.x1＜x2，y1＜y2．D.x1＜x2，y1＞y2．正确答案：D[解析]由于，故对于固定的y，f(x，y)是关于x单调增加的函数；同理，由于，可知对于固定的x，f(x，y)是关于y单调减少的函数．因此，当x1＜x2且y1＞y2时，就有f(x1，y1)＜f(x2，y2)，故应选D．

3.

设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]

比较得

4.

设函数f连续．若其巾区域Duv为下图中阴影部分，则

A．vf(u2)．

B．

C．vf(u)．

D．正确答案：A[解析]因为

故

5.

设，其中函数f可微，则

A．2yf'(xy)．

B．-2yf'(xy)．

C．

D．正确答案：A[解析]

所以

故选A．

6.

设函数f(u，v)满足，则依次是

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]解法1

先求出f(u，v)．

于是

因此

解法2

不必先求出f(u，v)．

由即(u，v)=(1，1)对应，

现对两边分别对x，y求偏导数得

上两式中令得

由此解出．选D．

7.

已知函数，则A.f'x-f'y=0．B.f'x+f'y=0．C.f'x-f'y=f．D.f'x+f'y=f．正确答案：D[解析]直接计算，

因而

选D．

8.

设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则A.x．B.z．C.-x．D.-z．正确答案：B[解析]在等式两端关于x求偏导，得

①

在等式两端关于y求偏导，得

②

①×x2+②×xy得

所以．即正确选项为B．

还可以利用一阶全微分形式不变性求解，留给读者自练．

9.

设函数z=f(x，y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0，0)A.不是f(x，y)的连续点．B.不是f(x，y)的极值点．C.是f(x，y)的极大值点．D.是f(x，y)的极小值点．正确答案：D[解析]由dz=xdx+ydy，可得

在点(0，0)处，因为

所以(0，0)为函数z=f(x，y)的极小值点，即选项D正确．

，C是任意常数，由极值的定义可知，点(0，0)是极小值点．

10.

设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A.f"(0)＜0，g"(0)＞0．B.f"(0)＜0，g"(0)＜0．C.f"(0)＞0，g"(0)＞0．D.f"(0)＞0，g"(0)＜0．正确答案：A[解析]由z=f(x)g(y)，得

由于

显然只有当选A：f"(0)＜0，g"(0)＞0时，B2-AC＜0，且A＞0，即此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值．因此选项A是正确的．

11.

设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ'y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是A.若f'x(x0，y0)=0，则f'y(x0，y0)=0．B.若f'x(x0，y0)=0，则f'y(x0，y0)≠0．C.若f'x(x0，y0)≠0，则f'y(x0，y0)=0．D.若f'x(x0，y0)≠0，则f'y(x0，y0)≠0．正确答案：D[解析]设

F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)．

由已知，点(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的极值点，故有

由于φ'y(x0，y0)≠0，故可得

(*)

将四个选项逐一讨论：若f'x(y0，y0)=0，由(*)式知，f'y(x0，y0)可以为0，也可以不为0，所以选项A与B都不是必然的；若f'x(x0，y0)≠0，则f'y(x0，y0)一定不为0，故选项C错误，应选D．

12.

设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足．则A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．C.u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得．D.u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得．正确答案：A[解析]u(x，y)在平面有界闭区域D上连续，所以u(x，y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点(x0，y0)，也就是，在这个点处．

由条件，可知B2-AC＞0，显然u(x，y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x，y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上，所以应选A．

三、解答题1.

设z=f(x2-y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求．正确答案：解

2.

设z=f(x+y，x-y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与．正确答案：解

由于

所以

3.

设函数z=f[xy，yg(x)]，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1．求正确答案：解法1

因为z=f[xy，yg(x)]，所以

由题意g(1)=1，g'(1)=0，所以

解法2

据题意，有g(1)=1，g'(1)=0．

因为z=f[xy，yg(x)]，所以

从而

所以

设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式

4.

验证正确答案：证由z=f(u)，，得

所以根据题设条件可得，即

5.

若f(1)=0，f'(1)=1，求函数f(u)的表达式．正确答案：解

由上一小题及f'(1)=1，得，所以f(u)=lnu+C．

由f(1)=0，得C=0，因此f(u)=lnu．

6.

设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式．确定a，b的值，使等式在变换ζ=x+ay，η=x+by下简化为．正确答案：解

将以上各式代入原等式，得

由题意，令

解得

由10ab+12(a+b)+8≠0，舍去

故a=-2，，b=-2．

7.

设函数f(u)具有2阶连续导数，z=f(excosy)满足

若f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表达式．正确答案：解

则可化为

f"(excosy)e2x=[4f(excosy)+excosy]e2x．

所以函数f(u)满足方程

f"(u)=4f(u)+u．

解得通解为

由f(0)=0，f'(0)=0，得．故

8.

求函数的极值．正确答案：解

由，得

令解得驻点(1，0)，(-1，0)．

记

在点(1，0)处，由于，所以为f(x，y)的极大值；在点(-1，0)处，由于，所以为f(x，y)的极小值．[解析]本题是求解二元显函数的无条件极值，先用必要条件找出可能的极值点，然后再用充分判别法判定是否是极值点，是极大值点还是极小值点．当然这里有一定的运算量，这类问题不难，但一定要计算快速、准确!

9.

已知函数f(x，y)满足

f"xy(x，y)=2(y+1)ex，f'x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．正确答案：解

由f"xy(x，y)=2(y+1)ex，得

f'x(x，y)=(y+1)2ex+φ(x)．

因为f'x(x，0)=(x+1)ex，所以

ex+φ(x)=(x+1)ex，

得φ(x)=xex，从而

f'x(x，y)=(y+1)2ex+xex．

对x积分得

f(x，y)=(y+1)2ex+(x-1)e2+ψ(y)，因为f(x，y)=y2+2y，所以ψ(y)=0，从而

f(x，y)=(x+y2+2y)ex．

于是f'y(x，y)=(2y+2)ex，f"xx(x，y)=(x+y2+2y+2)ex，f"yy(x，y)=2ex．

令f'x(x，y)=0，f'y(x，y)=0，得驻点(0，-1)，所以

A=f"xx(0，-1)=1，B=f"xy(0，-1)=0，C=f"yy(0，-1)=2．

由于B2-AC＜0，A＞0，所以极小值为f(0，-1)=-1．

10.

已知函数z=z(x，y)由方程(x2。+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x，y)的极值．正确答案：解

在(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0两边分别对x和y求偏导数，得

①

令

将代入方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0，得，可知z=1，从而

对①中两式两边分别再对x，y求偏导数，得

②

从而

由于AC-B2＞0，A＜0，所以z(-1，-1)=1是z(x，y)的极大值．

11.

求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值．正确答案：解

作拉格朗日函数

F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-4)，

令

解方程组得

(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(-2，-2，8)．

故所求的最大值为72，最小值为6．

12.

求曲线x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．正确答案：解

设(x，y)为曲线上的任一点，目标函数为距离的平方f(x，y)=x2+y2，构造拉格朗日函数

L(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)．

令

当x＞0，y＞0时，由①，②得

，即3xy(y-x)=(x+y)(x