考研数学二分类模拟题69

考研数学二分类模拟题69一、填空题1.

设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f'x(0，1，-1)=______．正确答案：1[解]（江南博哥）INCLUDEPICTURE\d":8089/YFB12/tu/1611/yjs/ky/s2f44.1EB172D.jpg"INET

x+y+z+xyz=0两边关于x求偏导得

将x=0，y=1，z=-1代入得

2.

已知正确答案：[解]两边关于x求偏导得

从而

3.

设2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z，则正确答案：1[解]两边关于x求偏导得

2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z两边关于y求偏导得

4.

设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f'x(1，2)=3，f'y(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))，则φ'(1)=______．正确答案：47[解]φ'(x)=f'x(x，f(x，2x))+f'y(x，f(x，2x))·[f'x(x，2x)+2f'y(x，2x)]，

则φ'(1)=f'x(1，f(1，2))+f'y(1，f(1，2))·[f'x(1，2)+2f'y(1，2)]

=f'x(1，2)+f'y(1，2)·[f'z(1，2)+2f'y(1，2)]=3+4(3+8)=47.

5.

设则2f'x(0，0)+f'y(0，0)=______.正确答案：-2[解]令，由得

f(x，y)=-3x+4y+0(ρ)，

由二元函数可全微定义得

f'x(0，0)=-3，f'y(0，0)=4，

故2f'x(0，0)+f'y(0，0)=-2.

6.

由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz(e，0)=______．正确答案：[解]x=e，y=0时，x=1.

x=zey+z两边关于x求偏导得代入得

x=xey+z两边关于y求偏导得

代入得

故

二、解答题1.

设试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性．正确答案：[解]由得f(x，y)在(0，0)处连续.

由得f'x(0，0)=0，

由得在(0，0)可偏导．

令

因为且，所以

即f(x，y)在(0，0)处可微．

2.

设二元函数f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足f"xx(x，y)=f"yy(x，y)，f(x，2x)=x2，f'x(x，2x)=x，求f"xx(x，2x)．正确答案：[解]f(x，2x)=x2两边关于x求导得f'x(x，2x)+2f'y(x，2x)=2x，

由f'x(x，2x)=x得

f'x(x，2x)=x两边关于x求导得f"xx(x，2x)+2f"xy(x，2x)=1，

两边关于x求导得解得f"xx(x，2x)=0.

3.

设正确答案：[解]

则

4.

设正确答案：[解]

则

5.

设正确答案：[解]

6.

设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求正确答案：[解]

7.

已知其中f，g具有二阶连续导数，求xu"xx+yu"xy.正确答案：[解]

8.

，f的二阶导数连续，g的二阶偏导数连续，求正确答案：[解]

9.

设z=f(u，x，y)，u=xey，其中f具有二阶偏导数，求正确答案：[解]

10.

设z=f(2x-y，ysinx)，其中f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求正确答案：[解]

11.

设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足求正确答案：[解]

12.

设z=yf(x2-y2)，求正确答案：[解]

则

13.

设z=z(x，y)，由方程确定(F为可微函数)，求正确答案：[解]两边关于x求偏导得

两边关于y求偏导得解得

故

14.

设z=xf(x，u，v)，其中其中f连续可偏导，求正确答案：[解]

15.

设z=f(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0所确定的二元函数，求dz．正确答案：[解]方法一

z-y-x+xez-y-z=0两边关于x，y求偏导得

故

方法二

z-y-x+xez-y-x=0两边微分得dz-dy-dx+d(xez-y-x)=0.

即dz-dy-dx+(ez-y-x-xez-y-x)dx-xez-y-xdy+xez-y-xdz=0，

解得

16.

设φ(u，v，w)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由φ(bz-cy，cx-ax，ay-bx)=0确定的函数，求正确答案：[解]φ(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0两边关于x求偏导得

解得

φ(bz-cy，cx-az，ay-bx)=0两边关于y求偏导得

故

17.

设z=z(x，y)是由f(y-x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求正确答案：[解]f(y-x，yz)=0两边关于x求偏导得

解得

18.

设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)，其中f可微，求的最简表达式．正确答案：[解]x2+y2+z2=xyf(x2)两边关于x求偏导得

解得

同理

故

19.

设函数z=z(x，y)由方程x=f(y+z，y+x)所确定，其中f(x，y)具有二阶连续偏导数，求dz．正确答案：[解]x=f(y+z，y+x)两边关于x求偏导得解得

x=f(y+z，y+x)两边关于y求偏导得解得

则

20.

若且满足z(x，0)=x，z(0，y)=y2，求z(x，y)．正确答案：[解]由得

从而

由z(x，0)=x得从而φ(x)=1，φ(0)=0；

再由x(0，y)=y2得φ(y)=y2，故

21.

设z=f(x，y)二阶可偏导，且f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，求f(x，y)．正确答案：[解]由得

从而z=y2+xy+φ(x)，再由f(x，0)=1得φ(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1.

22.

设f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(exy，x2+y2)，且

证明：g(x，y)在(0，0)处取极值，并判断是极大值还是极小值，求极值．正确答案：[证明]由得

由可微的定义得

f(1，0)=0，f'x(1，0)=f'y(1，0)=-1.

则A=g"xx(0，0)=-2，B=g"xy(0，0)=-1，C=g"xy(0，0)=-2，

因为AC-B2=3＞0且A＜0，所以g(x，y)在(0，0)处取到极大值，极大值为g(0，0)=0.

23.

试求z=f(x，y)=x3+y3-3xy在矩形闭域D={(x，y)|0≤x≤2，-1≤y≤2)上的最大值、最小值．正确答案：[解]当(x，y)在区域D内时，

由得

在L1：y=-1(0≤x≤2)上，x=x3+3x-1，

因为z'=3x2+3＞0，所以最小值为z(0)=-1，最大值为z(2)=13；

在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3-6x+8，

由z'=3x2-6=0得

在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，

由z'=3y2=0得y=0，z(-1)=-1，z(0)=0，z(2)=8；

在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3-6y+8，

由z'=3y2-6=0得

故z=x3+y3-3xy在D上的最小值为m=-1，最大值为M=13.

24.

求函数f(x，y)=4x-4y-x2-y2在区域D：x2+y2≤18上最大值和最小值．正确答案：[解]当x2+y2＜18时，

由得x=2，y=-2，f(2，-2)=8；

当x2+y2=18时，令F=4x-4y-x2-y2+λ(x2+y2-18)，

由得

当时，

而f(3，-3)=6，f(-3，3)=-42，

故f(x，y)在区域D上的最小值为m=6，最大值为M=42.

25.

求函数z=x2+2y2-x2y2在D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0)上的最小值与最大值．正确答案：[解]当(x，y)位于区域D内时，

由得

在L1：y=0(-2≤x≤2)上，x=x2，由z'=2x=0得x=0，

z(±