考研数学二分类模拟267

考研数学二分类模拟267解答题1.

对函数f(x)=sinx及F(x)=x+cosx在区间上验证柯西中值定理的正确性．正确答案：解：函数f(x)和F(x)在区间上连续，在内可导，且在内F'(x)=1-sinx≠0，故f(x)和F(x)满足柯西中值定理的条件．

可得取n=0，得满足定理的，因此，柯西中值定理对函数f(x)和F(x)在上正确．[考点]柯西中值定理．

[解析]根据已知条件验证柯西中值定理．

微分中值定理是考研数学的重要内容，要熟练掌握三个定理的条件、结论及证明过程．

2.

计算二重积分正确答案：解：

[考点]交换二重积分的积分次序．

[解析]本题若按极坐标则难以计算，故可转化为直角坐标．

若要计算二重积分，则给出的积分限往往不能直接使用．

3.

讨论极限正确答案：解：当0＜a＜1时，

[考点]数列极限求解．

[解析]常用极限结合无穷大与无穷小之间的关系计算数列极限．

含有待定参数的极限问题是考研数学中的常见考点，通过讨论参数的范围来求解具体的极限，记住两个常用的结论：

已知连续函数f(x)满足

4.

求f(x)．正确答案：解：令x-t=u，则dt=-du，从而

原积分方程可化为

两边关于x求导可得

由f(x)连续可知可导，进而有f(x)可导，由此求导可得f'(x)+f(x)=2a，且f(0)=0．解该一阶线性微分方程可得f(x)=e-x(2aex+C)，将f(0)=0代入上式可得C=-2a，故f(x)=2a(1-e-x)．[考点]连续函数在闭区间上的平均值．

[解析]用积分上限函数的性质确定函数，利用平均值公式求解．

在求解变限积分导数对应的微分方程时，应注意隐含的初始条件．

5.

若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1，求a的值．正确答案：解：由题意可知

令x=1，则方程又f(1)=2a(1-e-1)，故[考点]连续函数在闭区间上的平均值．

6.

设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，如果存在n维非零列向量α，满足Aα=0，证明：非齐次线性方程组A*x=α有解的充分必要条件是r(A)=n-1．正确答案：解：必要性，齐次线性方程组Ax=0有非零解α，表明r(A)≤n-1．A*x=α有解，表明A*≠0，那么A中至少有一个n-1阶子式不为零，所以r(A)=n-1．

充分性．设r(A)=n-1，α≠0，Aα=0，那么α是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．而AA*=|A|E=O表明A*的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解，于是A*的列向量都是α的倍数，那么r(A*)=r(A*，α)=1，所以A*x=α有解．

7.

，A=αβT，B=βTα，求解方程2B2A2x=A4x+B4x+γ．正确答案：解：由题设得

又A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，A4=8A，代入原方程，得

16Ax=8Ax+16x+γ，即8(A-2E)x=γ，

其中E是3阶单位矩阵．

令x=(x1，x2，x3)T，代入上式，得到非齐次线性方程组

解其对应的齐次方程组，得通解

其中k为任意常数．

显然，非齐次线性方程组有一个特解于是所求方程的解为x=ξ+η*，即

其中k为任意常数．[考点]考查非齐次线性方程组的变形．

[解析]整理化简所给方程，转化为非齐次线性方程组．

前面已经提到，具有新颖性、创新性的考题越来越多地出现在考场上．本题即对非齐次线性方程组进行了形式上的变形和创新．

8.

计算二重积分，其中D是由直线x=0，x=2，y=2以及曲线所围成的平面区域．正确答案：解：如下图所示，记则

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先分割积分区域，再分别利用直角坐标和极坐标来计算两个不同区域上的二重积分．

分割积分区域是计算二重积分的常用方法．

9.

求微分方程y"+λy'=2x+1的通解，其中λ为常数．正确答案：解：对于y"+λy'=0，解特征方程r2+λr=0得r1=0，r2=-λ.

当λ≠0时，y"+λy'=0的通解为Y=C1+C2e-λ．

设y*=x(b0+b1x)，代入原方程得

2λb1x+λb0+2b1=2x+1．

[考点]二阶常系数非齐次线性方程的求解．

[解析]原方程为自由项形如f(x)=eλxPm(x)(λ为常数，Pm(x)为x的一个m次多项式)的二阶常系数非齐次线性方程，应先求其对应齐次线性方程的通解，再求其自身的一个特解．

值得注意的是，本题中参数λ的取值影响了微分方程的解法，故应对其进行分类讨论．

设二次型经正交变换x=Qy化为其中a≥b．求：10.

a，b的值．正确答案：解：设f=xTAx，其中，经正交变换x=Qy，则

可知QTAQ=Q-1AQ=B，即A相似于B，则

tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，

即1+4=a+b，ab=4，解得a=4，b=1.[考点]利用正交变换化简二次型．

[解析]二次型经过正交变换化简的过程，对应的矩阵是相似关系．

11.

正交矩阵Q.正确答案：解：设，则

因此

[考点]利用正交变换化简二次型．

[解析]若两个矩阵同时与同一个对角矩阵相似，则它们相似．这也是相似对角化的一个重要应用．

12.

求反常积分正确答案：解：解法1变量代换令，则

解法2变量代换令x=tant，dx=sec2tdt，则

[考点]反常积分的计算．

[解析]换元法求解反常积分．

设f(x)连续，则

13.

设函数f(x)在区间[0，1]上具有连续导数，f(0)=1，且满足其中Dt={(x，y)|0≤y≤t-x，0≤x≤t}(0＜t≤1)，求f(x)的表达式．正确答案：解：由

两边对t求导，得．解此微分方程，得

由f(0)=1得C=4，故[考点]二重积分的计算，微分方程的求解．

[解析]本题可先计算中的两个二重积分，将其转化为一个含变限积分的等式．

本题具有一定的综合性，将二重积分的计算与微分方程的求解结合了起来．

14.

曲线的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为α，试求切线的方程和该图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?正确答案：解：由得处的切线方程为切线与x轴和y轴的交点分别为(3α，0)和，于是所围成的三角形的面积为

因此，当切点沿x轴正方向趋于无穷远时，有；当切点沿y轴正方向趋于无穷远时，有[考点]导数的应用．

[解析]求曲线的切线．

设f(x)定义在(0，+∞)内．若存在p(x)=ax2+bx+c使得则称当x→+∞时，f(x)有渐近二次曲线．15.

已知f(x)有渐近二次曲线，试将常数a，b，c用函数f(x)的相关式子表示出来．正确答案：解：

综上得

[考点]渐进二次曲线的求解．

[解析]根据渐近线的求解方法，求解渐进二次曲线．

16.

求的渐近二次曲线．正确答案：解：若有渐近二次曲线p(x)=ax2+bx+c，则

[考点]渐进二次曲线的求解．

17.

计算，其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}．正确答案：解：如下图所示，记D1={(x，y)|xy≥1}，D2={(x，y)|xy≤1}，则

[考点]二重积分的计算．

[解析]本题可先分割积分区域，再利用直角坐标来计算两个不同区域上的二重积分．

本题的关键在于要能够分割积分区域．

18.

设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得正确答案：证明：作辅助函数

由题意知：

(1)即F(x)在[0，1]上连续；

(2)F(x)在(0，1)内可导，且

(3)F(0)=F(1)=0，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即[考点]罗尔定理应用．

[解析]构造积分上限函数，应用罗尔定理证明．

构造辅助函数时，根据罗尔定理的条件要求，补充F(0)的值．

19.

设f(x)在[a，b]上二阶可导，f'(a)=f'(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)使得正确答案：证明：因为f(x)在a，b处的一阶泰勒公式为

所以

两式相减得

取f"(ξ)=max{|f"(η1)|，|f"(η2)|}，则有[考点]泰勒公式在不等式证明题中的应用．

[解析]利用泰勒公式证明．

已知A=(α1，α2，α3，α4)，非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T．20.

令B=(α1，α2，α3)，求Bx=b的通解．正确答案：解：先求Bx=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩．

由题目的已知信息可得，Ax=0的基础解系中含有两个向量，故4-r(A)=2，也即r(A)=2．而由(1，0，2，1)T是Ax=0的解，可得α1+2α3+α4=0，故α4=-α1-2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3)=r(B)，也即r(B)=2．因此Bx=0的基础解系中仅含有一个向量，求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系．

由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax=0的解，可知3α1+α2+3α3=0，因此(3，1，3)T为Bx=0的解，也即(3，1，3)T为Bx=0的基础解系．

然后，再求Bx=b的任何一个特解．故只需使得Ax=b的通解中的α4的系数为0即可，为此，令(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T中的k1=0，k2=1，得(3，2，2，0)T是Ax=b的一个解，故(3，2，2)T是Bx=b的一个解．

可知Bx=b的通解为(3，2，2)T+k(3，1，3)T，k∈R．[考点]抽象型非齐次线性方程组求通解．

[解析]利用解的结构求解．

类似于齐次线性方程组，非齐次情形也分为具体型和抽象型．前者主要是对增广矩阵作初等变换，后者主要是利用解的结构．

21.

令C=(α1，α2，α3，α4，b)，求Cx=b的通解．正确答案：解：与第一问类似，先求Cx=0的基础解系．

由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵，故r(C)=r(A)=2，可知Cx=0的基础解系中含有5-2=3个线性无关的解向量，为此，需要找到Cx=0的三个线性无关的解．

由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T均为Cx=0的解．而(1，1，1，1)T为Ax=b的解，可知α1+α2+α3+α4-b，也即α1+α2+α3+α4-b=0，故(1，1，1，1，-1)T也为Cx=0的解，这样，就找到了Cx=0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T，(1，1，1，1，-1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cx=0的基础解系．

然后，易知(0，0，0，0，1)T为Cx=b的解，故Cx=b的通解为

(0，0，0，0，1)T+k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0)T+k3(1，1，1，1，-1)T.[考点]抽象型非齐次线性方程组求通解．

22.

证明：，x∈[0，1]．正确答案：证明：设，x∈[0，1]，则f(0)=f(1)=0，且

f"(x)=π2(sinπx-1)≤0，x∈[0，1].

因此，f(x)为[0，1]上的凸函数，有f(x)≥min{f(0)，f(1)}=0，从而有[考点]利用函数凸性证明不等式．

[解析]借助辅助函数利用凸性证明不等式．

(1)讨论凹凸性最简单的方法就是利用二阶导数来判别．

(2)若f(x)是[a，b]上的凹的连续函数，则f(x)≤max{f(a)，f(b)}，x∈[a，b]；若f(x)是[a，b]上的凸的连续函数，则f(x)≥min{f(a)，f(b)}，x∈[a，b].

设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξs是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，s=n-r(A)，证明：23.

向量组η，ξ1，ξ2，…，ξs线性无关．正确答案：解：反证法．因ξ1，…，ξn-r线性无关，故η可由ξ1，…，ξn-r线性表示，所以η为Ax=0的解，这与η为Ax=b的解矛盾．[考点]非齐次线性方程组解的结构．

[解析]判别线性相关性可以用反证法或定义的方法．

通过本题大家要掌握一个重要结论：非齐次线性方程组Ax=b最多有n-r(A)+1