考研数学二分类模拟217

考研数学二分类模拟217一、选择题1.

非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则______A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有唯一解（江南博哥）D.方程组无解正确答案：B[解析]由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解。故选B。

2.

设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若则线性方程组______

A．Ax=α必有无穷多解

B．Ax=α必有唯一解。

C．

D．正确答案：D[解析]齐次线性方程组必有解(零解)，则选项C、D为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、B。又齐次线性方程组

有n+1个变量，而由题设条件知，所以方程组必有非零解。故选D。

3.

设矩阵若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]线性方程组有无穷多解，只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都小于3。下面对增广矩阵进行初等行变换：

由r(A)=r(A，b)＜3，故a=1或a=2，同时d=1或d=2。故选D。

线性方程组有无穷多解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且都小于未知数的个数。

4.

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0______A.当n＞m时，仅有零解B.当n＞m时，必有非零解C.当m＞n时，仅有零解D.当m＞n时，必有非零解正确答案：D[解析]因为AB是m阶矩阵，且

r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，

所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，故选D。

5.

设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是______A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解正确答案：D[解析]因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得

r(A)=r(A，b)，

所以选项A、B均不正确。

而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A，b)＜n，根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解。故选D。

6.

非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则______A.r=m时，方程组Ax=b有解B.r=n时，方程组Ax=b有唯一解C.m=n时，方程组Ax=b有唯一解D.r＜n时，方程组有无穷多个解正确答案：A[解析]对于选项A，r(A)=r=m。由于

r(A，b)≥m=r，

且

r(A，b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，

因此必有r(A，b)=r，从而r(A)=r(A，b)，此时方程组有解。

由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。故选A。

7.

已知α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么

中，仍是线性方程组Ax=b特解的共有______A.4个B.3个C.2个D.1个正确答案：C[解析]由于Aα1=b，Aα2=b，那么

A(4α1-3α2)=4Aα1-3Aα2=b，

可知4α1-3α2，均是Ax=b的解。而

可知α1-2α2，不是Ax=b的解。故选C。

8.

设α1，α2，α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中

可以作为导出组Ax=0的解向量的有______个。A.4B.3C.2D.1正确答案：A[考点]本题考查了线性方程组的解的结构。[解析]由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知

A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，

A(α1-2α2+α3)=Aα1-2Aα2+Aα3=b-2b+b=0，

A(α1+3α2-4α3)=Aα1+3Aα2-4Aα3=b+3b-4b=0。

这四个向量都是Ax=0的解。故选A。

对于这种给定向量判断其是否为已知方程组的解向量的题目，最简单直接的方法就是将给定向量代入到方程中检验(如解析所示)。或者根据解的结构定理判断。

二、填空题1.

已知方程组有非零解，则k=______。正确答案：-1[解析]齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即

因此得k=-1。

2.

已知方程组无解，则a=______。正确答案：-1[解析]对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得

因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以a=-1。

3.

已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______。正确答案：λ≠1且[解析]对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩为3，即

所以λ≠1且

4.

设方程有无穷多个解，则a=______。正确答案：-2[解析]利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形，有

当a=-2时，=(A)=2＜3，对应方程组有无穷多个解。

5.

已知齐次方程组有非零解，则λ=______。正确答案：-3或-1[解析]系数矩阵的行列式所以当λ=-3或-1时，方程组有非零解。

三、解答题1.

已知方程组

有解，证明方程组

无解。正确答案：证明：用分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则。已知方程组(1)有解，故。

又由于(b1，b2，…，bm，1)不能由(a11，a21，…，am1，0)，(a12，a22，…，am2，0)，…，(A1n，a2n，…，amn，0)线性表示，所以

故，再由，可得，所以方程组(2)无解。

2.

(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1，的所有向量ξ2，ξ3；

(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。正确答案：解：(Ⅰ)对增广矩阵(A，ξ1)作初等行变换，则

得Ax=0的基础解系(1，-1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T。故

ξ2=(0，0，1)T+k(1，-1，2)T，其中k为任意常数。

对增广矩阵(A2，ξ1)作初等行变换，有

得A2x=0的基础解系(-1，1，0)T，(0，0，1)T和A2x=ξ1的特解故

其中t1，t2为任意常数。

(Ⅱ)因为

所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

3.

设已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解。

(Ⅰ)求λ，a；

(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。正确答案：解：(Ⅰ)因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r(A)=＜n。于是

解得λ=1或λ=-1。

当λ=1时，r(A)=1，，此时线性方程组无解。

当λ=-1时，

若a=-2，则方程组Ax=b有无穷多解。故λ=-1，a=-2。

(Ⅱ)当λ=-1，a=-2时，

所以方程组Ax=b的通解为

[考点]本题是对线性方程组两个基本问题(解的判定和解的结构)的综合考查。[解析]首先需要考生根据解的存在性和唯一性定理计算或讨论线性方程组中参数的取值；然后需要考生在线性方程组有无穷多解的前提下求出线性方程组的通解。解题过程中需要综合运用线性方程组的相关定理，还需要结合向量、矩阵及秩的相关理论，综合性、灵活性较强。

4.

设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。正确答案：解：方法一：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

当a=0时，r(A)=1＜n，方程组有非零解，其同解方程组为

x1+x2+…+xn=0，

由此得基础解系为

η1=(-1，1，0，…，0)T，η2=(-1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(-1，0，0，…，1)T，

于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中1，…，kn-1为任意常数。

当a≠0时，对矩阵B作初等行变换，有

当时，r(A)=n-1＜n，方程组也有非零解，其同解方程组为

由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。

方法二：方程组的系数矩阵的行列式

当|A|=0，即a=0或时，方程组有非零解。

当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有

故方程组的同解方程组为

x1+x2+…+xn=0，

由此得基础解系为

η1=(-1，1，0，…，0)T，η2=(-1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(-1，0，0，…，1)T，

于是方程组的通解为

x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数。

当时，对系数矩阵A作初等行变换，有

故方程组的同解方程组为

由此得基础解系为η=(1，2，…'n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数。

5.

已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解。正确答案：解：由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。

若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤1，又显然r(A)≥1，故r(A)=1。此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2，矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为基础解系，故Ax=0的通解为：

若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。

当r(A)=2时，则Ax=0的通解为k1为任意常数。

当r(A)=1时，则Ax=0的同解方程组为ax1+bx2+cx3=0，不妨设a≠0，则其通解为

[解析]当题目中出现条件AB=O时，有两个基本思路：一是运用公式r(A)+r(B)≤n；二是结合线性方程组，B的列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解。

6.

设有线性方程组

已知(1，-1，1，-1)T是该方程组的一个解，求方程组所有的解。正确答案：解：将(1，-1，1，-1)T代入方程组可得λ=μ。对增广矩阵作初等行变换，可得

(Ⅰ)

因为r(A)==2＜4，所以方程组有无穷多解，其通解为+k1(1，-3，1，0)T+k2(-1，-2，0，2)T，其中k1，k2为任意常数。

(Ⅱ)

因r(A)==3＜4，所以方程组有无穷多解，其通解为

(-1，0，0，1)T+k(2，-1，1，-2)T，其中k为任意常数。

7.

已知A，B为三阶非零矩阵，且β1=(0，1，-1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(6，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)求Bx=0的通解。正确答案：解：(Ⅰ)由B≠O，且β1，β2，β3是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量可知，向量组β1，β2，β3必线性相关，于是

解得a=3b。

由Ax=β3有解可知，线性方程组Ax=β3的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得

所以b=5，a=3b=15。

(Ⅱ)因为B≠O，所以r(B)≥1，则3-r(B)≤2。又因为β1，β2是Bx=0的两个线性无关的解，故3-r(B)≥2，故r(B)=1所以β1，β2是Bx=0的一个基础解系，于是Bx=0的通解为

x=k1β1+k2β2，

其中k1，k2为任意常数。

8.

设n元线性方程组Ax=