2025千题百炼-高中数学100个热点问题（三）：第89炼 比赛与闯关问题含答案

2025千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第89炼比赛与闯关问题含答案第89炼比赛与闯关问题一、基础知识：1、常见的比赛规则（1）局胜制：这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜。例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5局3胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以获胜的概率：解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而，因为如果前三局连胜，则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为，则第四局甲获胜，前三局的比分为，所以（2）连胜制：规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜。例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止。已知甲获胜的概率为，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率解：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。所以（3）比分差距制：规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于（4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。此类问题要注意若达到第阶段，则意味着前个阶段均能通关2、解答此类题目的技巧：（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”。（2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率二、典型例题：例1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手被淘汰的概率；（2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．（1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解设为“选手正确回答第轮问题”，事件为“选手被淘汰”（2）思路：可取的值为，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以时，则第一题答错；时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）；时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可解：可取的值为的分布列为例2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为．（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及期望．（1）思路：解决要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即；若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即，两个方程即可解出解：设事件为“甲队获第一名”，则设事件为“乙队获第一名”，则解得：（2）思路：依题意可知可取的值为，即两战全负；即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；即两战全胜；分别求出概率即可。可取的值为的分布列为例3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．（1）求甲队分别以，获胜的概率；（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．（1）思路：前四场比赛甲乙比分为，根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，所以要想获得，，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为，则第5场乙胜，第6场甲胜；若比分为，则第场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率解：设事件为“甲队在第场获胜”，则设事件为“甲队4：2获胜”，事件为“甲队4：3获胜”（2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以可取的值为，若，则甲获胜，即胜第五场；若则甲获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若，则只需前六场打成即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望比赛场数可取的值为的分布列为例4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X．（1）设事件：“且甲获得冠军”，求A的概率；（2）求X的分布列和数学期望。（1）思路：事件代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）。按照这几种情况找到对应概率相乘即可解：设事件为“甲在第局取胜”，事件为“第局和棋”，事件为“乙在第局取胜”（2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，故可取的值为；在这些值中包含情况较少，即为相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率。对于的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用进行计算可取的值为的分布列为小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可例5：某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是（1）求该人获得奖金的概率（2）设该人通过的关数为，求随机变量的分布列及数学期望（1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可解：设事件为“第关通过”，事件为“获得奖金”（2）思路：依题意可知的取值为，其中前三关失败即结束，所以为第一关失利；为第一关通过且第二关失利；为第二关通过且第三关失利；为第三关通过且第四关失利两次；为第四关通过且第五关失利两次；为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于情况较为复杂，所以考虑利用进行处理的取值为的分布列为：例6:：袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用表示甲，乙最终得分差的绝对值．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布列及期望（1）思路：可先设白球个数为，已知事件“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示，进而得到关于的方程，解出解：设袋中原有白球的个数为，事件为“取出两个白球”可解得（2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。所以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。由（1）可知袋中有4个黑球，3个白球，甲先取球，所以甲取到4个球，甲取球的结果可以是：4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，对应的分数为分，分，分，分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分数为分，分，分，分。所以甲乙分数差的绝对值可取的值为，再分别求出概率即可。可取的值为故的分布列为：小炼有话说：（1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分析两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算（2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研究对象。例7：某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响．（1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望．（1）思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对3题后立即终止比赛，所以要通过最后一次答题正确进入复赛。答题的次数为3次，4次，5次，答题3次即为全对，答题4次，则要在前3次答对2题，即，然后第4题正确进入复赛；同理，答题5次时，要在前4次中答对2题，即，然后第5题正确。解：设事件为“甲进入复赛”（2）思路：首先甲最少答3题，最多答5题，故可取的值为，要注意答题结束分为进入复赛和淘汰两种情况。当甲答3道题时，可能全对或全错；同理甲答4道题时，可能3对1错或是3错1对；当甲答5道题时，只要前4题2对2错，无论第5题结果如何，均答了5道题。分别计算对应概率即可得到的分布列，从而计算出解：可取的值为的分布列为小炼有话说：本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：对于，是指在次独立重复试验中，没有其它要求，事件发生次的概率。其中代表次中的任意次试验的结果是。如果对次试验的结果有一定的要求，则不能使用公式。例如本题在第（1）问中处理答题4次的时候，因为要在第4次答题正确，对前3次答题没有要求，所以在前3次试验中可使用公式计算，而第4次要单独列出。若直接用则意味着只需4次答题正确3次（不要求是哪3道正确）即可，那么包含着前3次正确的情况，那么按要求就不会进行第4题了。例8：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和期望.（1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜2场，所以可分2局，3局，4局三种情况，通过后两场连胜赢得比赛，其余各场按“胜负交替”进行排列解：设为“甲在第局获胜”，事件为“甲在局以内（含局）赢得比赛”（2）思路：首先依题意能确定可取的值为，若提前结束比赛，则按（1）的想法，除了最后两场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论解：可取的值为的分布列为：例9：甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的得分多2分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过6次，即经6次比赛，得分多者赢得比赛，得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假定各次比赛相互独立，比赛经次结束，求：（1）的概率；（2）随机变量ξ的分布列及数学期望。（1）思路：代表比赛经过2次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算出概率解：设事件为“甲在第局获胜”（2）思路：考虑可取的值只能是（因为奇数局不会产生多赢2分的情况），当时，即甲乙比分为或是（在第4局完成多两分），所以只能是在前两局打成，然后一方连赢两局结束比赛。计算出，即可求出解：可取的值为的分布列为：例10：某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记2分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望.（1）思路：本题甲获胜的概率取决于谁先发球，即为发球权确定的前提下的条件概率。若甲获得发球权，则获胜的概率为，如果甲没有发球权，则获胜的概率为，所以甲获胜的概率为解：设事件为“甲获得胜利”（2）思路：本题要注意发球权的不同，所使用的概率也不一样，所以要确定每一局的胜负以决定下一局甲获胜的概率。比赛实行三局两胜，所以甲可能的得分为，若甲的得分为分，则为连胜两局结束比赛或2:1赢得比赛，胜利的情况分为“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三种情况，结合着发球规则可得：，依次类推便可计算出其它情况的概率，进而得到分布列解：可取的值为时，比赛的结果为：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”时，比赛的结果为：“乙甲乙”，“甲乙乙”时，比赛的结果为：“乙乙”的分布列为：第90炼取球问题一、基础知识：在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。二、典型例题：例1：一袋中有6个黑球，4个白球（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数的分布列，期望和方差（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为，从而能够得到第三次取到黑球的概率解：设事件为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”（2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为解：设事件为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”（3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，的取值为，则符合二项分布，即，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列解：的取值为，依题意可得：例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球（1）求取出的4个球中没有红球的概率（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率（1）设事件为“甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒中取出个红球”则设事件为“4个球中没有红球”则（2）设事件为“4个球中恰有1个红球”（3）可取的值为的分布列为：例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．解：（1）设事件为“两只手中所取的球颜色不同”，则为“两只手中所取的球颜色相同”（2）可取的值为左手取球成功的概率右手取球成功的概率的分布列为例4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。通过红白球数量关系可知一次摸球中摸到红球的概率为，然后可按照分析列式并求出概率。解：设事件为“摸球四次即停止摸球“解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的概率为（2）思路：可知可取的值为，当时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总解：可取的值为的分布列为：例5：某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望．解：（1）设为“获得等奖”（2）摸球次数可取的值为的分布列为：例6：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中①摸出3个白球的概率②获奖的概率（2）求在三次游戏中获奖次数的分布列与期望（1）思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的个数。则①：若摸出3个白球，则情况为甲2乙1。②：若获奖，则白球个数不少于2个，可分成白球有3个或有2个两种情况，分别求出概率再求和即可解：设为“甲箱子里取出个白球”，为“乙箱子里取出个白球”①设事件为“摸出3个白球”②设事件为“获奖”（即白球不少于2个）（2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数服从二项分布，由（1）可得，从而可利用公式计算概率，列出分布列解：可取的值为，依题意可得：的分布列为：例7：一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。（1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望。（1）思路：此问可用古典概型解决，事件为“10个球中任意摸出3个球”，则，所求事件为“均是白球”，则，从而解：设事件为“3个球均为白球“（2）思路：按题目叙述可知对于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验，结合的含义可知服从二项分布。但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要求利用古典概型计算出一次成功的概率，再通过二项分布的公式计算的分布列即可解：设事件为“一次摸球成功”的取值为，依题意可得：的分布列为：例8：袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.（1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设为“12个球中任取3个”，则，事件为“三个球数字各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即，所以。进而可计算出解：设事件为“三个球数字各不相同”（2）思路：依题意可知的取值为，依然用古典概型解决，但要明确取每个值时所代表的情况：当时，只能3个球均为1号球；当时，说明至少有一个2号球，其余的用1号球组成，即，或者使用间接法：从1,2号共6个球中先随意取三个，再减去不含2号球的情况，即个，同理可得：时，至少有一个3号球，其余的球为1,2号球，所以由个，时，至少有一个4号球，其余的球为1,2,3号球，所以由个，进而求得概率得到分布列解：的取值为的分布列为：例9：一个盒子中装有大小相同的小球个，在小球上分别标有的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为的概率为，（1）盒子中装有几个小球？（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量（如取2468时，；取1246时，，取1235时，）（1）思路：以两球号码最大值为的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个号球和一个其它号码球的概率为，从而利用古典概型列出关于的方程并解出解：设事件为“两球号码最大值为”即解得：（2）思路：由（1）可得小球的编号为，结合所给的例子可知的取值为，其概率可用古典概型计算。代表所取得数两两不相邻，可能的情况有，共5种；表示只有一对相邻的数或两对相邻的数（两队相邻的数之间不再相邻）；表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻；表示四个数均相邻，共5个。由于包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率再用1减即可。解：的取值为的分布列为：例10：袋中装有35个球，每个球上分别标有的一个号码，设号码为的球重克，这些球等可能的从袋中被取出（1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率（2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率（3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望思路：（1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在35个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式，可解出或，所以的解集为共30个数，所以取出球重量大于号码数的概率为解：设事件为“取1球其重量大于号码数”若球重量大于号码数，则，解得：或的取值集合为，共30个元素（2）思路：不妨设取出的球的编号为，从而，可推得：，从而取出球的组合为共4组，所以概率为解：设所取球的编号为，依题意可得：取出球的组合为设事件为“取出2球重量相等”（3）思路：依题意可知：可取的值为，由（1）可知球重量大于号码的概率为，因为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。当时，可知取出的球重量小于号码数；当时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当时，则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球），从而求出概率得到分布列解：可取的值为，由（1）可知取出球重量大于号码的概率的分布列为：三、历年好题