2024年河南省三甲学校中考数学原创押题试卷（四）

第1页（共1页）2024年河南省三甲学校中考数学原创押题试卷（四）一、选择题（每个小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）下列各数中比﹣1小的数的是（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．02．（3分）唐朝典籍《唐六典》中对度量衡制有一段记载：“凡权衡度量之制：度，以北方距黍中者一黍之广为分，十分为寸，十尺为丈．”大意为：长度单位——中等大小的距黍，1粒的长度算为一分，以此递加．则30丈可表示为（）A．30尺 B．3×102寸 C．3×104分 D．3×103分3．（3分）下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，连结OB，AD．若∠BAC＝15°（）A．35° B．37.5° C．70° D．75°5．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a2b）3＝a5b3 B．（3a）2+a2＝7a2 C．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+46．（3分）关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A． B．且k≠﹣2 C． D．且k≠﹣27．（3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），分别以点A，以大于的长为半径作弧，E，过点D，E作直线，交BC于点P．若AB＝10，OP＝12，有下列说法：①PA+PC＝BC；②PA+PC＞BC；④BC＝19．其中正确的说法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，在BC上取一点E，使AD＝AE，连接DE．下列结论不一定正确的是（）A．△ADF≌△EAB B．DE平分∠FDC C．∠AEC＝150° D．DF＝AF9．（3分）如图，已知△OAB的顶点A，B在坐标轴上，A（4，0），E分别在坐标轴上，且E（﹣1，0），点C恰好落在线段AB上，此时点D的对应点D′的坐标为（）A． B． C． D．10．（3分）如图1，在圆O中，圆心角∠AOB＝60°．点P在圆周上从点B出发，线段AP的长度l与运动时间t的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（）A．c﹣b＝4 B．e＝8 C．a+d＝6 D．A（3，4）二、填空题（每个小题3分，共15分）11．（3分）已知，则＝．12．（3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了300条鱼做上标记，然后放回池塘里，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞45条．若其中有标记的鱼有5条条．13．（3分）八年级的小亮和小明是好朋友，他们都报名参加学校的田径运动会，将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队．14．（3分）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，3为半径作弧分别交OA、OB于点D、E，P为OE上一动点．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点P在AD上，且，连接BP，若点A的对应点落在矩形的边上，则a＝．三、解答题（共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．17．（9分）过年期间，砂糖桔、草莓、车厘子等水果在各大社交网站“出镜亮相”．某公司决定从现在开始试种草莓，学习发现两种浇灌方式：A．滴灌，对两种浇灌方式下的10垄草莓产量做出了如下统计：每垄产量（单位：斤）：A：12，12，12，14，18，18，18B：12，14，14，16，16，18，18每垄产量统计表：平均数中位数众数方差A15.6a18B161616（1）表格中的a＝，（填“＞”“＝”或“＜”）．（2）若A种滴灌方式共种植60垄，B种滴灌方式共种植40垄，那这100垄的总产量大约是多少？（3）从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？18．（9分）如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数（1）C点坐标为．（2）求反比例函数的表达式．（3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．19．（9分）在学习完《利用三角函数测高》一节后，小初在回家路上四处观察，发现所住小区周围新建起了高楼，聪明的小初发现可以利用自己小区的楼高进行计算，他的操作如下：他在3楼用课上使用的测角仪测得对面楼顶的仰角约为60°，测得对面楼顶的仰角约为53°，并在此过程中，每个台阶高度约0.2m，并画出了如图的示意图．请你据此计算对面高楼的高度DE．（结果保留整数．，tan53°≈1.3，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）20．（9分）大别山露营公园坐落于安徽和河南交界处的大别山南麓，被赞誉为中国最美的露营地之一．景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．已知3顶A型帐篷和2顶B型帐篷的价钱一样，则需9200元．（1）求每顶A型帐篷和每顶B型帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共80顶（两种帐篷均购买），且购买A型帐篷不超过B型帐篷的2倍．请你帮助景区计算应购买两种型号的帐篷各多少顶，才能使总费用最低．21．（9分）如图1描绘的就是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的表达式；（2）现有一批直径10厘米，高8厘米的熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面（≈1.73）22．（10分）⊙O是等腰直角△ABC的外接圆，DE与⊙O相切于点D，且DE∥BC（1）求证：AD平分∠BAC．（2）N是AC上一点（不与端点重合），分别以A、C为圆心，以BN长为半径画弧，连接OM、AM，请作图．（3）在（2）的条件下，当∠BNO＝60°时OM＝123．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，连接AC．将△ABC绕A点逆时针旋转一周得到△AEF，连接BE．（1）如图2，当点E落在边DC上时，DE＝．（2）当EF⊥AC时，求CF的长．（3）在旋转过程中记△ABE的重心为N，请直接写出CN的最小值．

2024年河南省三甲学校中考数学原创押题试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（每个小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）下列各数中比﹣1小的数的是（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．0【解答】解：因为|﹣2|＞|﹣1|＞|﹣|，所以﹣2＜﹣7＜﹣，故选：B．2．（3分）唐朝典籍《唐六典》中对度量衡制有一段记载：“凡权衡度量之制：度，以北方距黍中者一黍之广为分，十分为寸，十尺为丈．”大意为：长度单位——中等大小的距黍，1粒的长度算为一分，以此递加．则30丈可表示为（）A．30尺 B．3×102寸 C．3×104分 D．3×103分【解答】解：30丈＝30000分＝3×104分，故选：C．3．（3分）下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．该图是中心对称图形，故不符合题意；B．该图既不是中心对称图形，故不符合题意；C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；D．该图既是中心对称图形，故符合题意．故选：D．4．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC为直径，连结OB，AD．若∠BAC＝15°（）A．35° B．37.5° C．70° D．75°【解答】解：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝15°，∴∠C＝90°﹣15°＝75°，∵OC∥BC，∴∠COD＝∠C＝75°，∴∠CAD＝∠COD＝37.6°，故选：B．5．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a2b）3＝a5b3 B．（3a）2+a2＝7a2 C．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4【解答】解：A、（﹣a2b）3＝﹣a7b3，不符合题意；B、（3a）4+a2＝10a2，不符合题意；C、（x﹣3y）（x+2y）＝x2﹣3y2，不符合题意；D、（x﹣2）6＝x2﹣4x+8，符合题意，故选：D．6．（3分）关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A． B．且k≠﹣2 C． D．且k≠﹣2【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝52﹣4（k+2）×1＞0，k+2≠0，解得：k，k≠﹣2．故选：B．7．（3分）如图，已知△ABC（AC＜BC），分别以点A，以大于的长为半径作弧，E，过点D，E作直线，交BC于点P．若AB＝10，OP＝12，有下列说法：①PA+PC＝BC；②PA+PC＞BC；④BC＝19．其中正确的说法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：连接AP，由作图可知：DE是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，OB＝，∠BOP＝90°，∴△BOP是直角三角形，∴BP＝＝13，∵BC＝BP+PC，∴BC＝BP+PC＝13+7＝20，∴AP+PC＝BC＝20，∴①③正确，②④错误，故选：A．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，在BC上取一点E，使AD＝AE，连接DE．下列结论不一定正确的是（）A．△ADF≌△EAB B．DE平分∠FDC C．∠AEC＝150° D．DF＝AF【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠B＝∠DFA＝90°，在△ADF和△EAB中，，∴△ADF≌△EAB（AAS），∴AB＝DF＝CD，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），∴∠DEC＝∠DEF，∴DE平分∠FDC，∴sin∠AEB＝＝＝，∴∠AEB＝30°，∴∠AEC＝150°，故选：D．9．（3分）如图，已知△OAB的顶点A，B在坐标轴上，A（4，0），E分别在坐标轴上，且E（﹣1，0），点C恰好落在线段AB上，此时点D的对应点D′的坐标为（）A． B． C． D．【解答】解：设点C平移后的点的坐标为（2，c），∵点C平移后的点恰好在线段AB上，∠BAO＝60°，0），∴tan60°＝，即＝，解得c＝2，∵矩形OCDE向右平移6个单位长度，E（﹣1，∴点D的对应点D′的坐标为（1，4），故选：B．10．（3分）如图1，在圆O中，圆心角∠AOB＝60°．点P在圆周上从点B出发，线段AP的长度l与运动时间t的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（）A．c﹣b＝4 B．e＝8 C．a+d＝6 D．A（3，4）【解答】解：由题意得：当t＝0时，AP＝OA＝2，当t＝（180﹣60）÷30＝7时，AP最大，当t＝（360﹣60）÷30＝10时，AP＝0，∴e＝10，A（5，故B；根据抛物线的对称性：a+d＝6×5＝10，故C是错误的；根据排除法，A符合题意，故选：A．二、填空题（每个小题3分，共15分）11．（3分）已知，则＝．【解答】解：∵，∴b＝7a，∴＝，故答案为：．12．（3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了300条鱼做上标记，然后放回池塘里，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞45条．若其中有标记的鱼有5条2700条．【解答】解：设池塘估计有x条鱼，根据题意，得，解得x＝2700，故答案为：2700．13．（3分）八年级的小亮和小明是好朋友，他们都报名参加学校的田径运动会，将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队．【解答】解：假设小亮在甲，则小明有甲、乙，那么他们要在同一队的可能只有，同理，小亮在乙或丙，因此概率为．14．（3分）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，3为半径作弧分别交OA、OB于点D、E，P为OE上一动点+3．【解答】解：由作法得OC平分∠AOB，OE＝OF＝OD＝3，∴，∴的长度＝，作D点关于OB的对称点D'，连接D'F交OB于P'，如图，∴OD＝OD'，∠BOA＝∠BOD'＝40°，∴OD'＝OF，∠D'OF＝60°，∴△OD'F为等边三角形，∴D'F＝OD'＝8，∵DP'＝P'D'，∴DP'+P'F＝D'P'+P'F＝D'F＝3，∴此时DP+PF的值最小，∴阴影部分周长的最小值为π．故答案为：+5．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点P在AD上，且，连接BP，若点A的对应点落在矩形的边上，则a＝8或4．【解答】解：①如图，当点Q落在BC边上时，由翻折可知：PQ＝AP＝，∠PQB＝∠A＝90°，在矩形ABCD中，∠ABQ＝90°，∴四边形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝6，∴＝7，解得：a＝8；②如图，当点Q落在DC边上时，由翻折可知：PQ＝AP＝，∠PQB＝∠A＝90°，∴∠PQD+∠BQC＝90°，PD＝AD﹣AP＝在矩形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，∴∠PQD+∠DPQ＝90°，∴∠DPQ＝∠BQC，∴△DPQ∽△CQB，∴，即，∴QC＝5，在Rt△QBC中，BC＝，∴AD＝a＝，故答案为：8或．三、解答题（共75分）16．（10分）（1）计算：；（2）化简：．【解答】解：（1）原式＝4﹣1+12＝15；（2）原式＝﹣（x﹣2）＝＝＝．17．（9分）过年期间，砂糖桔、草莓、车厘子等水果在各大社交网站“出镜亮相”．某公司决定从现在开始试种草莓，学习发现两种浇灌方式：A．滴灌，对两种浇灌方式下的10垄草莓产量做出了如下统计：每垄产量（单位：斤）：A：12，12，12，14，18，18，18B：12，14，14，16，16，18，18每垄产量统计表：平均数中位数众数方差A15.6a18B161616（1）表格中的a＝16，＞（填“＞”“＝”或“＜”）．（2）若A种滴灌方式共种植60垄，B种滴灌方式共种植40垄，那这100垄的总产量大约是多少？（3）从上述统计数据来看，选择哪种方式更利于高产？【解答】解：（1）表格中的a＝＝16，∵＝×[3×（12﹣15.6）2+2×（14﹣15.6）5+4×（18﹣15.6）4+（20﹣15.6）2]＝7.64，＝×[（12﹣16）3+2×（14﹣16）2+5×（16﹣16）2+2×（18﹣16）2+（20﹣16）2]＝4.2，∴S＞S，＞；（2）60×15.7+40×16＝1576（斤），故这100垄的总产量大约是1576斤；（3）A种方式产量的平均数低于B种方式，说明A种方式平均产量较低，说明A种方式产量不稳定．（或A种方式产量的众数高于B种方式，说明A种方式产量普遍较高．）（答案不唯一）．18．（9分）如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数（1）C点坐标为（﹣3，2）．（2）求反比例函数的表达式．（3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，∵A（1，0），7），0），∴点A与点D、点B与点C的纵坐标相同，∴BC＝AD＝3，∵点C在点B的左边，∴点C（﹣2，2）；（2）∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C（﹣3，∴，解得：k＝﹣6，∴反比例函数的解析式为：；（3）设x轴上点E的坐标为（a，0），①当∠CED是直角时，CE⊥x轴，点C与点E的横坐标相同，∴a＝﹣3，∴E（﹣6，0）；②当∠ECD是直角时，CE2+CD4＝DE2，∵点C（﹣3，8），0），0）∴CE3＝（﹣3﹣a）2+32，CD2＝72+14＝5，DE＝﹣2﹣a，∴（﹣3﹣a）2+23+5＝（﹣2﹣a）2，解得：a＝﹣7，∴E（﹣7，4），当△DCE是直角三角形时，点E的坐标为（﹣3，0）．19．（9分）在学习完《利用三角函数测高》一节后，小初在回家路上四处观察，发现所住小区周围新建起了高楼，聪明的小初发现可以利用自己小区的楼高进行计算，他的操作如下：他在3楼用课上使用的测角仪测得对面楼顶的仰角约为60°，测得对面楼顶的仰角约为53°，并在此过程中，每个台阶高度约0.2m，并画出了如图的示意图．请你据此计算对面高楼的高度DE．（结果保留整数．，tan53°≈1.3，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【解答】解：过点C作CF⊥于DE于点F，过点B作BG⊥于DE于点G，∴四边形ABGD，BCFG是矩形，∴AB＝DG，BC＝FG，由题意知，AB＝DG＝2.8×（5﹣1）＝5.5m，BC＝FG＝2.8×（5﹣3）＝16.8m，在Rt△CEF中，CF＝EF÷tan53°，在Rt△CEF中，BG＝EG÷tan60°＝（EF+FG）÷tan60°，∴EF÷tan53°＝（EF+FG）÷tan60°，∴EF＝1.3（EF+16.2），∴EF≈54.6m，∴DE≈77m，∴高楼DE的高度约为77m．20．（9分）大别山露营公园坐落于安徽和河南交界处的大别山南麓，被赞誉为中国最美的露营地之一．景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．已知3顶A型帐篷和2顶B型帐篷的价钱一样，则需9200元．（1）求每顶A型帐篷和每顶B型帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共80顶（两种帐篷均购买），且购买A型帐篷不超过B型帐篷的2倍．请你帮助景区计算应购买两种型号的帐篷各多少顶，才能使总费用最低．【解答】解：（1）设每顶A型帐篷的价格是x元，则每顶B型帐篷的价格是，根据题意得：3x+5×x＝9200，解得：x＝800，∴x＝．答：每顶A型帐篷的价格是800元，每顶B型帐篷的价格是1200元；（2）设购买A型帐篷m顶，则购买B型帐篷（80﹣m）顶，根据题意得：m≤2（80﹣m），解得：m≤．设该景区购买A、B两种型号的帐篷共花费w元，即w＝﹣400m+96000，∵k＝﹣400＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≤，且m为正整数，∴当m＝53时，w取得最小值．答：购买A型帐篷53顶，B型帐篷27顶时．21．（9分）如图1描绘的就是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的表达式；（2）现有一批直径10厘米，高8厘米的熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面（≈1.73）【解答】解：（1）∵熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，∴可知抛物线的顶点为（40，32），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32，根据图象可知抛物线经过原点（0，5），∴a（0﹣40）2+32＝4，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）令y＝8，可得，解得：，∴高为2厘米的水平距离为：，可放置的熏炉个数为：（个），故熏笼内一排最多能放置6个熏炉．22．（10分）⊙O是等腰直角△ABC的外接圆，DE与⊙O相切于点D，且DE∥BC（1）求证：AD平分∠BAC．（2）N是AC上一点（不与端点重合），分别以A、C为圆心，以BN长为半径画弧，连接OM、AM，请作图．（3）在（2）的条件下，当∠BNO＝60°时OM＝1【解答】