增分微课4　空间中的动态问题

增分微课4空间中的动态问题例1[配类型一使用]在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是正方体表面上一动点,给出下列说法:①若点M在底面ABCD内运动,且总满足∠DD1A=∠DD1M,则点M的轨迹是圆的一部分;②在底面ABCD内作边长为1的小正方形EFGA,若点M在底面ABCD内运动,且满足点M到平面AA1B1B的距离等于点M到点F的距离,则点M的轨迹是抛物线的一部分;③已知点N是棱CD的中点,若点M在底面ABCD内运动,且满足B1M∥平面A1NC1,则点M的轨迹是线段;④已知点P,Q分别是BD1,B1C1的中点,若MP与CQ垂直,则点M的轨迹的长为8+45.其中正确说法的个数为 (D)A.1 B.2C.3 D.4[解析]对于①,因为∠DD1A=∠DD1M,所以DA=DM,则满足条件的动点M的轨迹是以D为圆心,DA为半径的圆的一部分,故①正确;对于②,依题意知点M到点F的距离与点M到直线AB的距离相等,所以点M的轨迹是以F为焦点,AB为准线的抛物线的一部分,故②正确;对于③,如图甲,取AB的中点I,BC的中点O,连接B1I,IO,B1O,显然IO∥A1C1,IB1∥NC1,IO,IB1⊄平面A1NC1,A1C1,NC1⊂平面A1NC1,所以IO∥平面A1NC1,IB1∥平面A1NC1,又IO∩IB1=I,所以平面B1IO∥平面A1NC1,当点M在线段IO上时,均有B1M∥平面A1NC1,即点M的轨迹是线段IO,故③正确;对于④,如图乙,依题意,只需过点P作直线CQ的垂面即可,垂面与正方体表面的交线即为点M的轨迹,分别取CC1,DD1的中点R,S,连接RS,SA,BR,由tan∠C1QC=tan∠BRC=2,知∠C1QC=∠BRC,易知CQ⊥RB,又CQ⊥AB,AB∩BR=B,所以CQ⊥平面ABRS,过点P作平面TUR1S1∥平面ABRS,分别交AA1,BB1,CC1,DD1于点T,U,R1,S1,则点M的轨迹为四边形TUR1S1,又四边形TUR1S1的周长与四边形ABRS的周长相等,所以点M的轨迹的长为2×4+2×42+22=8+45,故④正确例2[配类型一使用]如图,在直二面角α-AB-β中,P∈半平面α,C∈半平面β,D∈半平面β,且AD⊥AB,BC⊥AB,AD=5,BC=10,AB=6,∠APD=∠CPB,则点P在半平面α内的轨迹是 (A)A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.一条直线 D.两条直线[解析]如图,在平面α中,以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设点P(x,y)(y≥0),由题得A(-3,0),B(3,0),∵AD⊥AB,BC⊥AB,∴AD⊥α,BC⊥α,又AD=5,BC=10,AB=6,∠APD=∠CPB,∴Rt△APD∽Rt△BPC,∴APBP=(x+3)2+y2(x-3)2+y2=ADBC=510=12,即(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2],例3[配类型一、类型三使用](多选题)[2023·扬州模拟]如图,圆柱OO1的高为1,下底面圆O的直径AB的长为2,BB1是圆柱OO1的一条母线,点P,Q分别在上、下底面内(包含边界),下列说法正确的有 (BC)A.若PA+PB=3,则点P的轨迹为圆B.若直线OP与直线OB1所成的角为45°,则点P的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点P,Q,使得AP⊥PQD.AP+PQ+QB1的取值范围是[13,23+5][解析]对于B,如图,以O为坐标原点,OA,OO1所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),B1(0,-1,1),设P(x,y,1),x2+y2≤1,则OB1=(0,-1,1),OP=(x,y,1),由题意得|cosOB1,OP|=|-y+1|(-1)2+12×x2+y2+12=22,化简得y=-12x2,所以点P的轨迹是抛物线y=-12x2在圆x2+y2=1内(包括交点)的部分,故B正确对于C,设点P在下底面的射影为P1,若AP⊥PQ,则AP2+PQ2=AQ2,则AP12+12+P1Q2+12=AQ2,当P1在线段AQ上时,AP12+P1Q2可取最小值,AP12+P1Q2≥(AP1+P1Q)22≥AQ22,当且仅当AP1=P1Q=AQ2时等号同时成立,所