第46讲　空间距离及立体几何中的探索性问题

第46讲空间距离及立体几何中的探索性问题【备选理由】例1考查点到直线的距离;例2考查直线到平面的距离;例3考查平面到平面的距离及线面角;例4是立体几何中的探索性问题.例1[配例1使用][2024·广东茂名模拟]如图①,菱形ABCD的边长为4,A=60°,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折至△A'DE处,连接A'B,A'C,得到四棱锥A'-EBCD,如图②所示.若四棱锥A'-EBCD的体积为43,点F为A'D的中点,则F到直线BC的距离为 (A)A.312 B.C.314 D.[解析]在菱形ABCD中,连接BD,因为四边形ABCD为菱形,且A=60°,所以△ABD为等边三角形,因为E为AB的中点,所以DE⊥AB,所以在四棱锥A'-EBCD中,DE⊥EB,DE⊥A'E,因为EB∩A'E=E,EB,A'E⊂平面A'EB,所以DE⊥平面A'EB.因为菱形ABCD的边长为4,所以AB=AD=CD=BC=4,DE=23,AE=BE=2,所以直角梯形BCDE的面积为12×(2+4)×23=63.设四棱锥A'-EBCD的高为h,则13×63h=43,得h=2,所以h=A'E,所以A'E⊥平面BCDE.以E为坐标原点,EB,ED,EA'所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则B(2,0,0),C(4,23,0),F(0,3,1),所以BC=(2,23,0),连接FB,则FB=(2,-3,-1),所以F到直线BC的距离d=|FB|2-BC·例2[配例2使用]如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,∠B1AB=π3,E是D1D的中点,则A1C1到平面EAC的距离为A.5 B.25C.2305 D[解析]连接A1E,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,且∠B1AB=π3,所以BB1=AB·tanπ3=3,则A(0,0,0),C(1,1,0),E0,1,32,A1(0,0,3),所以AE=0,1,32,A1E=0,1,-32,CE=-1,0,32.设平面EAC的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=0,n·CE=0,即y+32z=0,-x+32z=0,令z=23,则n=(3,-3,23).因为AC∥A1C1,且AC⊂平面EAC例3[配例2使用][2023·南京模拟]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=2,过点A作一个平面α使得α∥平面PBC.(1)求平面α将四棱锥P-ABCD分成的两部分几何体的体积之比;(2)若平面α与平面PBC之间的距离为66,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解:(1)如图①,记平面α与直线CD,PD的交点分别为E,F,则平面AEF为平面α,因为平面AEF∥平面PBC,平面AEF∩平面ABCD=AE,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以AE∥BC,同理EF∥PC,又AB∥CD,即AB∥EC,所以四边形ABCE是平行四边形,故EC=AB=1.在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,AD⊥CD,BC=2,所以CD=2,故E是CD的中点.又在△PCD中,EF∥PC,所以F是PD的中点.由条件易得S梯形ABCD=12(AB+CD)·AD=12×(1+2)×1=32,S△ADE=12AD·DE=12×1×1=1由PD⊥底面ABCD,得VF-ADE=13S△ADE·DF=13×12×DF=16DF,VP-ABCD=13S梯形ABCD·PD=13×32×2故平面α将四棱锥P-ABCD分成的两部分几何体的体积之比为1∶5(或5∶1).(2)由题可知CD,PD,DA两两垂直,故以D为坐标原点,建立如图②所示的空间直角坐标系,记棱PD的长度为t(t>0),则P(0,0,t),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,1,0),则EC=(0,1,0),BC=(-1,1,0),PC=(0,2,-t).设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n·BC=0,取y=t,得n=(t,t,2).由条件易知点E到平面PBC的距离为EC·n|n|=66,即t2t2+4=所以n=(1,1,2),PA=(1,0,-1),故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为PA·n|PA||例4[配例3使用]如图①,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=π3,AB=2AD=2CD=4,P为AB的中点,AC与DP交于点O.将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置,得到三棱锥D'-ABC,使得二面角B-AC-D'为直二面角(如图②)(1)求证:BC∥平面POD'.(2)求平面ABC与平面BCD'的夹角的大小.(3)在线段PD'上是否存在点Q,使得平面OCQ⊥平面ABD'?若存在,求出PQPD'的值;若不存在, 解:(1)证明:在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AB=2CD=4,P为AB的中点,所以CD∥AP,CD=AP,连接PC,所以四边形APCD为平行四边形,因为AC∩DP=O,所以O为AC的中点,所以OP∥BC.在三棱锥D'-ABC中,因为OP⊂平面POD',BC⊄平面POD',所以BC∥平面POD'.(2)在平行四边形APCD中,因为AP=AD=2,所以四边形APCD为菱形,所以AC⊥DP,所以在三棱锥D'-ABC中,AC⊥OD',AC⊥OP.因为OD'⊂平面ACD',OP⊂平面ACB,所以∠D'OP即为二面角B-AC-D'的平面角,所以∠D'OP=π2,即OP⊥如图所示,以O为坐标原点,分别以OA,OP,OD'所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则B(-3,2,0),C(-3,0,0),D'(0,0,1),所以BD'=(3,-2,1),CB=(0,2,0)设平面BCD'的法向量为n=(x,y,z),则n·CB=2y=0,n·BD'易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|所以平面ABC与平面BCD'的夹角的大小为π6(3)假设在线段PD'上存在点Q,使得平面OCQ⊥平面ABD'.设PQ=λPD'(0≤λ因为P(0,1,0),所以CP=(3,1,0),PD'=(0,-所以CQ=CP+PQ=CP+λPD'=(3,1-λ,λ),易知OC=(-3,0,0),AB=(-23,2,0)设平面OCQ的法向量为t=(x1,y1