第43讲　直线、平面垂直的判定与性质

第43讲直线、平面垂直的判定与性质【备选理由】例1考查平行、垂直关系的判定;例2考查了面面垂直的判定;例3考查了面面垂直的判定与性质定理;例4考查了平行与垂直的综合问题.例1[配例1使用][2023·陕西咸阳二模]已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m⊂α,m⊥β,则α⊥β;③若m⊥α,m⊥β,则α∥β;④若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n.其中正确的命题是 (A)A.②③ B.②④C.①③ D.①②[解析]对于①,当m∥n,n⊂α时,m∥α或m⊂α,所以①错误.对于②,当m⊂α,m⊥β时,由面面垂直的判定定理可得α⊥β,所以②正确.对于③,当m⊥α,m⊥β时,α∥β,所以③正确.对于④,当α⊥β,m⊂α,n⊂β时,m与n可能平行、相交或异面,所以④错误,故选A.例2[配例3使用][2023·辽宁锦州一模]在直角梯形ABCD中(如图①),AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=12AB=2.将△ADC沿AC折起,使AD⊥DB(如图②),E为线段AB的中点(1)求证:平面ABC⊥平面ADC;(2)求点E到直线CD的距离. 解:(1)证明:在四边形ABCD中,连接CE,因为AD⊥DC,AD=DC=12AB=所以四边形AECD为正方形,所以AC=BC=22+22因为AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC.在三棱锥D-ABC中,因为AD⊥DC,AD⊥DB,CD∩BD=D,CD,BD⊂平面BCD,所以AD⊥平面BCD.又因为BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC.又BC⊥AC,AD∩AC=A,AC,AD⊂平面ACD,所以BC⊥平面ACD,又因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.(2)如图,分别取AC,CD的中点F,H,连接EF,FH,HE,则EF∥BC,因为BC⊥平面ACD,所以EF⊥平面ACD,又因为CD⊂平面ACD,所以EF⊥CD.因为AD⊥CD,AD∥FH,所以FH⊥CD.又EF∩FH=F,EF,FH⊂平面EFH,所以CD⊥平面EFH,又因为EH⊂平面EFH,所以CD⊥EH.因为HF=12AD=1,EF=12BC=2,AD⊥BC,所以HF⊥且HE=12+2即点E到直线CD的距离为3.例3[配例3使用][2023·温州模拟]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形且∠ABC=π3,PB=PA=4,PC=6(1)求PD的长.(2)若BH=λBP,是否存在λ,使得平面CDH⊥平面PAB?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)如图,取AB的中点E,连接CE,PE,∵四边形ABCD是边长为2的菱形,∴BC=2,BE=1,∵∠ABC=π3,∴由余弦定理可得CE2=BC2+BE2-2BC·BEcosπ3∴BE2+CE2=BC2,∴BE⊥CE,即CE⊥AB,又∵PB=PA且E是AB的中点,∴PE⊥AB,∵PE∩CE=E,PE,CE⊂平面PCE,∴AB⊥平面PCE.∵PC⊂平面PCE,∴PC⊥AB,∵CD∥AB,∴PC⊥CD,∵PC=6,∴PD=PC2+(2)过点C作CM⊥PE,垂足为点M,∵AB⊥平面PCE,AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCE,∵平面PAB∩平面PCE=PE,CM⊂平面PCE,CM⊥PE,∴CM⊥平面PAB.过点M作HN∥AB,分别交PA,PB于点N,H,∵CD∥AB,∴HN∥CD,∴C,D,N,H四点共面.∵CM⊂平面CDNH,∴平面CDNH⊥平面PAB.∵PA=PB=4,AE=1,PE⊥AB,∴PE=PA2-∵CE=3,PC=6,∴由余弦定理可得cos∠PCE=PC2+∴sin∠PCE=1-cosS△PCE=12PC·CEsin∠PCE=12CM·∴CM=PC·CEsin∠∴EM=CE2-∵HN∥AB,∴λ=BHBP=EMPE=例4[配例4使用]如图,在空间几何体ABCDEFG中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面ABCD,EF∥AB,EG∥AD,EF=EG=1.(1)求证:平面CFG⊥平面ACE.(2)在线段AC上是否存在一点H,使得EH∥平面CFG?若存在,求出CH的长;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,则BD⊥AC.分别取AB,AD的中点M,N,连接MN,则MN∥BD,连接FM,GN,则FM∥GN,且FM=GN,所以四边形FMNG为平行四边形,所以MN∥FG,所以BD∥FG,所以FG⊥AC.因为AE⊥平面ABCD,所以AE⊥BD,所以FG⊥AE,又因为AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE,所以FG⊥平面ACE.又FG⊂平面CFG,所以平面CFG⊥平面ACE.(2)存在,且CH=22.理由如下:由题易知平面EFG∥平面ABCD设平面ACE交FG于Q,则Q为FG的中点,连接EQ,CQ,取CO的中点H,连接EH,因为平面ACE∩平面EFG=EQ,平面ACE∩平面ABCD=