5.1.1变化率问题课件高二上学期数学人教A版选择性

17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.5.1.1变化率问题【问题1】高台跳水运动员的速度

在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.请计算对应时间段的平均速度：【问题1】高台跳水运动员的速度

要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．再计算：思考：(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.【问题1】高台跳水运动员的速度思考：（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？（2）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？瞬时速度：物体在某一时刻的速度为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001给出Δt更多的值，计算-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049

【例1】某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sint，t∈

.【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度.【变式1】若本例中的条件不变，试求物体的初速度.【变式2】若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.【问题2】抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？

【思考】对于抛物线f(x)=x2，应该如何定义它点P0(1,1)处的切线呢？xy121234O•PP0•T•将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况.当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.xy121234OPP0•T•【思考】我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线的斜率呢？割线位置切线位置无限逼近割线斜率切线斜率无限逼近取极限记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率∆x<0∆x>0∆x∆x通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，记为从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

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割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T【