7.1.2复数的几何意义课件高一下学期数学人教A版2

第七章复数复数的几何意义人教A版

数学

必修第二册课程标准1.了解复平面的概念.2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.3.掌握复数模和共轭复数的概念,会求复数的模和共轭复数.基础落实·必备知识全过关知识点1

复数的几何意义1.复平面(1)复平面:建立了直角坐标系来表示

的平面叫做复平面;

(2)实轴:坐标系中的x轴叫做

,实轴上的点都表示

;

(3)虚轴:坐标系中的y轴叫做

,除了原点外,虚轴上的点都表示

.

复数实轴实数虚轴纯虚数2.复数的几何意义(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应:复数z=a+bi(a,b∈R)

复平面内的点Z(a,b);(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应:

实数0对应零向量复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量

.名师点睛复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点为原点,否则,不能建立一一对应关系.过关自诊1.虚轴上的点对应的复数都是纯虚数吗?提示

不都是,虚轴上的点除了原点外都表示纯虚数,原点表示实数0.2.[苏教版教材例题]在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.图1图2知识点2

复数的模1.定义:向量

的

叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|.

模过关自诊1.复数的模的几何意义是什么?2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=

.

3.[苏教版教材例题]已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.提示

复数的模就是该复数在复平面内对应的点到原点的距离.解析

由题意可知z=-1+2i,所以|z|=.知识点3

共轭复数一般地,当两个复数的实部

,虚部

时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做

.复数z的共轭复数用

表示,即如果z=a+bi,那么

=a-bi.

名师点睛1.设z1=a+bi,对应的点为Z1(a,b),Z2=a-bi,对应的点为Z2(a,-b),点Z1与Z2关于实轴对称.2.若复数z=a+bi(a,b∈R),则z=⇔b=0.相等互为相反数共轭虚数过关自诊1.如果两个复数互为共轭复数,那么它们的模有什么关系?2.复数z在复平面内对应的点在第二象限,它的共轭复数对应的点在第几象限?提示

相等.提示

第三象限,因为复数和其共轭复数在复平面内对应的点关于实轴对称.3.在复平面内,点(1,-2)所对应的复数的共轭复数是(

)

A.1+2i B.1-2iC.-1+2i D.-2+iA解析

点(1,-2)所对应的复数为z=1-2i,所以

=1+2i.重难探究·能力素养全提升探究点一复数与复平面内点的对应【例1】

(1)若复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点在实轴的上方,则(

)A.a>0且b>0 B.a∈R且b>0C.a≥0且b>0 D.a∈R且b<0B解析

复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为(a,b),它在实轴的上方,则a∈R,b>0.(2)在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B解析

∵z=i+2i2=-2+i,实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.规律方法

利用复数与复平面内点的对应的解题步骤(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.(2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.变式训练1实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,(1)对应的点在x轴上方;(2)对应的点在直线x+y+4=0上?解

(1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.探究点二复数与复平面内向量的对应【例2】

在复平面上,点A,B对应的复数分别为1+4i,-3i,O为复平面的坐标原点.求平行四边形OABC的顶点C对应的复数.规律方法

1.复数与复平面内向量的对应和转化(1)对应:复数z与向量

是一一对应关系.(2)转化:复数的有关问题可转化为向量问题求解.2.解决复数问题的主要思想方法(1)转化思想:复数问题实数化;(2)数形结合思想:利用复数的几何意义数形结合解决;(3)整体化思想:利用复数的特征整体处理.变式训练2(1)已知复数z1=-3+4i,z2=2a+i(a∈R)对应的复平面内的点分别为Z1和Z2,O为原点,且,求实数a的值.(2)在复平面内,若点P是复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i(m∈R)的对应点,请根据下列点P的位置分别求复数z:①在虚轴上;②在实轴负半轴上.解

①若复数z的对应点P在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时,z=6i或z=0.②若复数z的对应点P在实轴负半轴上,探究点三复数的模及其应用【例3】

若复数z=(a+2)-2ai的模等于,求实数a的值.规律方法

1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.2.两个复数相等,其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.变式训练3若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=,则复数z=

.

1+2i或-1-2i探究点四共轭复数及其应用【例4】

[2023四川成都月考]若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则||=

.

3解析

∵复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数,所以m-2=0,且m+1≠0,解得m=2,所以z=3i,所以

=-3i,∴||=3.规律方法

共轭复数的关注点本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系.变式训练4已知i是虚数单位,复数z=1+i,则

的实部与虚部之差为(

)A.1 B.0 C.-2 D.2C解析

=1-i,实部为1,虚部为-1,所以实部与虚部之差为1-(-1)=2.本节要点归纳1.知识清单:(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.(2)复数的模及几何意义.(3)共轭复数.2.方法归纳:待定系数法、数形结合.3.常见误区:虚数不能比较大小,虚数的模可以比较大小.成果验收·课堂达标检测123451.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数

在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C解析

复数z的共轭复数

=-2-i,在复平面内对应的点为(-2,-1),位于第三象限.12345D123453.(多选题)已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的有(

)A.复数z的虚部为iB.|z|=C.复数z的共轭复数

=1-iD.复数z在复平面内对应的点在第一象限BCD解析

因为复数z=1+i,所以其虚部为1,即A错误;复数z的共轭复数

=1-i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故D正