4.2一次函数与正比例函数课件北师大版八年级数学上册

4.2一次函数与正比例函数1.理解正比例函数和一次函数的概念.2.能结合具体情境体会一次函数的意义，并能写出一次函数的关系式.重点难点学习目标1.(1)下列关系式中，表示

y是

x的函数关系的是

．①

y=2x+3；②

y=2|x|；

③

；④y2-3x=10；⑤

，①②⑤⑥

⑥⑦

x

123…y

…369一个x值有两个y值与它对应.新课引入（2）求以上函数中的自变量的取值范围.①

y=2x+3；全体实数②

y=2|x|；全体实数③

；函数有意义根号下大于等于0；所以

x≥0；④

；函数有意义根号下大于等于0，分母不为0，所以x+1＞0

，所以

x＞-1.2.在弹簧限度内，弹簧挂着物体的质量xkg，弹簧长度ycm.y

是x

的函数吗？是什么函数呢？y

随x

的变化而变化，并且当x

确定时，y

有唯一确定值与其对应.因此y

是x

的函数，是一次函数.1.某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x

每增加1kg，弹箦长度y

增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时的长度，并填入下表:x/kg012345y/cm33.544.555.5新知学习某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x

每增加1kg，弹箦长度y

增加0.5cm.(2)你能写出y

与x

之间的关系式吗？y=0.5x+3x/kg012345y/cm33.544.555.50.5×1+30.5×2+30.5×3+32.某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表：汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L06(2)你能写出y

与x

的关系式吗？解:(2)由题意得行驶50km耗油6L，则每行驶1km耗油量为L，

∴y=0.12x2.某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？解：由题意得原有汽油60L，剩余油量=原有油量-耗油，∴z=60-0.12x观察与思考下列三个关系式有什么共同点呢？(1)y=0.5x+3(2)

y=0.12x(3)z=60-0.12x共同特点：(1)都有两个变量(2)自变量x

的次数都是一次(3)自变量x

的系数都不为0都可以写为y=kx+b(k≠0)的形式定义：若两个变量x、y

间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b

为常数，k≠0)的形式，则称y

是x

的一次函数.特别地，当b=0时，称y是

x的正比例函数.注：正比例函数是一次函数的特殊形式.例1 判断下列函数关系式中，y

是否为x

一次函数？是否为正比例函数？(1) (2)(3) (4)是一次函数的是____________________，是正比例函数的是________________.(填序号)(1)(2)(4)(2)例2 写出下列各题中y

与x

之间的关系式，并判断：y

是否为x

的一次函数？是否为正比例函数？(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为y(km)与行驶时间

x(h)之间的关系；解：∵路程=速度×时间，∴

y=60x，是一次函数，也是正比例函数.(2)某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3.解：y

=5x+15是一次函数，不是正比例函数.(3)由圆的面积公式，得

y=πx2，

y不是

x的一次函数，也不是

x的正比例函数.(3)圆的面积

y(cm2)与它的半径

x(cm)之间的关系.(4)某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税.如某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为：(3860-3500)×3%=10.8元.求当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴所得税

y(元)与收入

x(元)之间的关系式.解：y=0.03×(x-3500)=0.03x-105(3500＜x＜5000).

∴y

=0.03x-105是一次函数，不是正比例函数.例3自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝(每次收入-800)×20%；如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000800)×20%＝240（元）.(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式;解：(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时，

y＝（x－800）×20%，

即y＝0.2x－160；(2)由题意已知某人某次取得劳务报酬3500元也就是x＝3500

根据(1)求得表达式将当x＝3500时代入y＝0.2x－160；

则

y

＝0.2×3500－160＝540（元）；∴他这笔所得应预扣预缴税款54元

(2)某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元?自变量和函数表达式已知求因变量(3)∵(4000－800)×20%＝640（元），600<640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元.设此人这次取得的劳务报酬是x元，则600＝0.2x

－160．解得x＝3800.

∴此人这次取得的劳务报酬是3800元.(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元?因变量和函数表达式已知求自变量归纳总结1.判断函数是否为一次函数，一定要先化简为y=kx+b(k≠0)形式，再判断.2.求自变量、函数值的方法：(1)已知自变量x，求函数值y：将x值代入函数表达式中，得y值；(2)已知函数值y，求自变量x：将y值代入函数表达式中，几解一元一次方程即可得x值.判断一次函数一次函数与正比例函数定义函数值、自变量的值求解若两个变量x、y

间的对应关系可以表示成

y=kx+b(k，b

为常数，k≠0)的形式，则称y

是x

的一次函数.特别地，当b=0时，称y是

x的正比例函数.判断函数是否为一次函数，一定要先化简为y=kx+b(k≠0)形式，再判断.(1)已知自变量x，求函数值y：将x值代入函数表达式中，得y值；(2)已知函数值y，求自变量x：将y值代入函数表达式中，几解一元一次方程即可得x值.

课堂小结1.下列函数中，S是t的一次函数的是(

C

)A.

S＝B.

S＝＋2C.

S＝570－95tD.

S＝2t2－1C

随堂练习2.下列问题中，两个变量之间是正比例函数关系的是(

A

)A.

小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数B.

三角形面积一定时，其一条边的长a和这条边上的高hC.

书的总页数一定，未读的页数与已读的页数D.

正方体的表面积S与棱长xA3.已知y＝(3－k)x＋3是y关于x的一次函数，则k的值不可能是

⁠.3

4.幸福小区规划利用小区空地种植树苗，物业管理员王师傅在苗木基地了解到，苗木运输费用为100元，购买银杏树所需总金额y(元)与购买棵数x(棵)之间的关系如下表：棵数x/棵总金额y/元115＋100230＋100345＋100……则y与x之间的函数关系式为(

D

)A.

y＝15xB.

y＝100－15xC.

y＝115xD.

y＝15x＋100D5.小区绿化区安装的护栏示意图如图所示，每根立柱宽0.1米，立柱间距为3米.设立柱根数为x根，护栏的总长度为y米，则y与x之间的函数关系式为

⁠.第5题图y＝3.1x－36.为增强业主绿化意识，物业组织业主参与树苗种植的活动，并给树苗

挂上认领牌记录生长过程.如图是李华每个月记录树苗高度的数据.第6题图(1)求树苗高度h(cm)与栽种时间t(月)之间的函数关系式；解：由题图可知，树苗的初始高度为40

cm，每月生长的高度是15

cm，所以树苗高度h(cm)与栽种月数t(月)之间的函数关系式为h＝15t＋40；(2)有一处记录的数据被污点盖住了，请你帮助李华计算出污点盖住地方

的信息，即树苗高度为130

cm时，这棵树栽种了几个月？解：当h＝130时，即130＝15t＋40，解得t＝6，所以当树苗高度为130

cm时，这棵树栽种了6个月.第6题图7.若y－3是x的正比例函数，则y是x的(

B

)A.

正比例函数B.

一次函数C.

其他函数D.

不存在函数关系B8.已知函数y＝(m－5)x＋m2－25，当m

时，该函数为正比例函

数；当m

时，该函数为一次函数.＝－5≠59.如图，长方形ABCD的长为10，宽为8，点E从点B出发，沿BC方向向终点C运动，设BE的长为x，四边形ABED的面积为y.则y与x之间的函数关系式为

，若四边形ABED的面积为60，则CE的长为

⁠.第9题图y＝4x＋40(0＜x≤10)510.如图所示，一张长方形的餐桌可以坐6个人，八年级(1)班的同学聚餐时想要所有同学围坐一桌，所以就把长方形餐桌拼接起来.第10题图(1)围坐人数y(人)与餐桌的数量n(张)之间的函数关系式为

⁠；【解法提示】根据图形可知，每拼接一张桌子增加4个座位，然后再加两

端的各一个座位，所以n张桌子就有(4n＋2)个座位，所以y与n之间的函数

关系式为y＝4n＋2.y＝4n＋2第10题图(2)若八年级(1)班的同学共有30人，则需要把多少张这样的餐桌拼接

起来？解：当y＝30时，4n＋2＝30，解得n＝7.所以需要把7张这样的餐桌拼接起来.第10题图11.

为全力推进青少年校园足球，育才中学决定规范足球场地，安装足球防护网.李老师决定去防护用具专营店定制防护网，已知定制防护网的价格为20元/米(定制米数只取整数)，专营店销售人员给出两种购买方案：方案一：花费188元购买会员卡，所有商品享受会员价8折优惠；方案二：不购买会员卡，所有商品一律享受9折优惠.(1)若用x(米)表示定制防护网的数量，用y(元)表示实际支付金额，请写出

这两种购买方案中y与x之间的函数关系式；解：方案一：y＝0.8×20x＋188＝16x＋188，方案二：y＝0.9×20x＝18x；(2)若按照方案一定制，则定制102米防护网，所需实际支付金额为多

少元？解：由(1)可知，方案一的实际支付金额为y＝16x＋188，当x＝102时，y＝16×102＋188＝1

820，答：所需实际支付金额为1

820元；(3)若李老师的预算金额为1

980元，则他选择哪种方案可以定制更多的防

护网？解：按照方案一，当y＝1

980时，1

980＝16x＋188，解得x＝112，所以按照方案一支付，1

980元可以定制112米防护网，按照方案二，当y＝1

980时，1

980＝18x，解得x＝110，所以按照方案二支付，1

980元可以定制110米防护网，因为112＞110，所以李老师选择方案一可以定制更多的防护网；(4)当定制多少米防护网时，两种方案所支付的实际金额相同？解：由题意可得16x＋188＝18x，解得x＝94，答：当定制94米防护网时，两种方案所支付的实际金额相同.12.某地区电话的月租费为25元，在此基础上，可免费打50次电话(每次3分钟)，超过50次后，每次0.2元.(1)求出每月电话费y(元)与通话次数x(x>50)的函数关系式；解：(1)根据题意得，y=25+(x-50)×0.2，即y=0.2x+15；13.已知

是关于x

的一次函数，求m

的值.解：由题意得m2-3=1，且m-2≠0，解得m=-2.所以m=-2.点拨：一次函数y=kx+bx

的次数为

1m2-3=1m=2或

-2k

≠0m-2≠0m

≠23.如图，△ABC是边长为

x的等边三角形.(1)求

BC边上的高

h与

x之间的函数表达式.h是

x的一次函数吗？如果是，请指出相应的

k与

b的值.解：∵BC边上的高

AD也是

BC边上的中线，∴由勾股定理，得即∴h是

x的一次函数，且(2)求△ABC的面积

S与

x的函数表达式.