6.3.3平面向量加减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示课件高一下学期数学人教A版

第六章平面向量及其应用平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示人教A版

数学

必修第二册课程标准1.会用坐标表示平面向量加、减运算与数乘运算.2.能用坐标表示平面向量共线的条件.基础落实·必备知识全过关知识点1

平面向量运算的坐标表示平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则表示文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的

a+b=

减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的

a-b=

数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的

λa=

向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=

和

(x1+x2,y1+y2)差(x1-x2,y1-y2)相应坐标

(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)过关自诊1.若a=(3,-2),b=(-1,4),则a+b=

.

2.在平面直角坐标系中,若M(1,-6),N(3,4),则向量

的坐标是

,向量

的坐标是

.

3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标.(2,2)(2,10)(-2,-10)解

2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5);4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18).知识点2

平面向量共线的坐标表示

利用平面向量共线可解决平面几何中的平行问题

前提条件a=(x1,y1),b=(x2,y2)结论向量a,b共线的充要条件是

x1y2-x2y1=0名师点睛若a,b(b≠0)共线,则可设a=tb(t∈R),转化为坐标即(a1,a2)=t(b1,b2),可得若再转化为更一般的情况,可得:a1b2-a2b1=0.这是两向量共线坐标条件的一般化表示,适用于任意两向量共线.过关自诊

2.若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=

.

-6解析

因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.3.[人教B版教材例题]在平面直角坐标系中,已知A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.重难探究·能力素养全提升探究点一向量的坐标运算【例1】

(1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+c.解

因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),规律方法

向量坐标运算要注意的问题(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行.A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)A探究点二向量坐标运算的应用规律方法

平面向量坐标运算应用技巧(1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.(2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.探究点三向量共线的判断与证明【例3】

[人教B版教材习题]已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,1),求向量,并判断A,B,C三点是否共线.规律方法

变式训练2已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量

平行吗?直线AB平行于直线CD吗?探究点四根据向量共线求参数值【例4】

已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值.解

因为a=(-1,x),b=(x-2,-3),所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6).因为向量2a+b与向量3a-2b共线,所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.故实数x的值是3或-1.变式探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值?解

(方法一)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3.(方法二)因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向,所以设a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3),因为λ<0,所以取x=3,故实数x的值为3.规律方法

根据向量共线求参数值的方法根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或

(y1y2≠0)直接求解.探究点五利用向量共线证明三点共线【例5】

若已知点A(1,-3),B,C(9,1),求证:A,B,C三点共线.规律方法

三点共线的实质与证明步骤(1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反.(2)证明步骤:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.C于是1×(m+1)-m×2=0,解得m=1.若点A,B,C能构成三角形,则点A,B,C不共线,故m≠1.本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量加、减运算的坐标表示.(2)平面向量数乘运算的坐标表示.(3)平面向量共线的坐标表示.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:忽视基底中的向量不共线.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718192021A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点三]下列各对向量不共线的是(

)A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)ABC解析

A,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=a,两个向量共线.1234567891011121314151617181920212.[探究点一]向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=(

)A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7)B解析

∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.1234567891011121314151617181920213.[探究点一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(

)A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)D解析

∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),1234567891011121314151617181920214.[探究点四]已知向量a=(3,5),b=(cosα,sinα),且a∥b,则tanα等于(

)B123456789101112131415161718192021A123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021{m|m∈R且m≠6}1234567891011121314151617181920211234567891011121314151617181920219.[探究点二、四]已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2).123456789101112131415161718192021(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及

的坐标.123456789101112131415161718192021(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021123456789101112131415161718192021B级关键能力提升练12.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有(

)ACD123456789101112131415161718192021D12345678910111213141516171819202114.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是(

)A.-1 B.0 C.1 D.2ABC解析

∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,123456789101112131415161718192021B12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202118.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为

.

-2解析

因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.12345678910111213141516171819202119.已知点A(-1,1),B(2,-1).(1)若点C是线段AB的中点,求点C的坐标;123456789101112131415161718192021123456789101112131