2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第55炼 数列中的不等关系含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第55炼数列中的不等关系含答案第55炼数列中的不等关系一、基础知识：1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等。4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定。进而把问题转化成为判断的符号问题二、典型例题例1：已知数列，前项和满足（1）求的通项公式（2）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围解：（1）时，当时，符合上式（2）思路：由（1）可得：，由已知为单调递减数列可得对均成立，所以代入通项公式得到关于的不等式，即只需，构造函数或者数列求出的最大值即可解：是递减数列，即只需①构造函数：设则所以在单调递增，在单调递减时，即②构造数列：设数列的通项公式时，，即当时，所以的最大项为例2：已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是（）A.B.C.D.思路：若恒成立，，要找，则需先确定的通项公式得到：，所以，发现无法直接求和，很难变为简单的表达式，所以考虑将视为一个数列，通过相邻项比较寻找其单调性：，进而单调递减，，所以，从而答案：B例3：已知数列满足，若为等比数列，且（1）求（2）设，记数列的前项和为①求②求正整数，使得对于，均有解：（1）或（舍）（2）①②思路：实质是求取到最大值的项，考虑分析的单调性，从解析式上很难通过函数的单调性判断，从而考虑相邻项比较。对于而言，的增减受符号的影响，所以将问题转化为判断的符号。可估计出当取得值较大时，会由正项变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可解：当时，可验证，从而可得设，则当时，递减时，时，均有例4：已知数列的前项和为且，数列满足：，，其前项和为（1）求（2）令，记的前项和为，对，均有，求的最小值解：（1）为公差是的等差数列时，符合上式为等差数列设前项和为（2）思路：依题意可得：，可求出，从而，若最小，则应最接近的最大最小值（或是临界值），所以问题转化成为求的范围，可分析其单调性。单调递增。所以最小值为，而当时，，所以无限接近，故的取值范围为中的离散点，从而求出的最小值解：设，可知递增，当时，若最小，则例5（2014，黄州区校级模拟）数列的前项和，数列满足（1）求数列的通项公式（2）求证：当时，数列为等比数列（3）在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围解：（1）符合上式（2）考虑即数列为等比数列（3）思路：由（2）可求得通项公式，但不知其单调性，但可以先考虑必要条件以缩小的取值范围。若要最小，则最起码要比小，从而先求出满足的必要条件（也许最后结果是其子集），在这个范围内可判定为递增数列，从而能保证最小由（2）可得：是公比为的等比数列若要最小，则必然要即则，所以为递增数列，符合最小的条件所以小炼有话说：在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件，可先写出其必要条件适当缩小其取值范围，往往会给解题带来新的突破口例6：（2014，文登市二模）各项均为正数的数列，其前项和为，满足，且（1）求数列的通项公式（2）若，令，设数列的前项和为，试比较与的大小解：（1）（舍）或是公比为2的等比数列，解得：（2）思路：由（1）可得，进而可求出，比较大小只需两式作差，再进行化简通分可得。利用函数或构造数列判断出的符号即可解：设，可得为减函数例7：（2014，湖南模拟）已知各项都为正数的数列的前项和为，且对任意的，都有（其中，且为常数），记数列的前项和为（1）求数列的通项公式及（2）当时，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来的顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使得对任意，总有恒成立，求实数的取值范围解：（1）①②①②可得：即为公差是的等差数列在令得：解得：（2）思路：本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题，先求的表达式。由已知可得：时，，要解决，首先要解出等比数列的通项公式。时，，进而显然抽去的应为，所以，得到，，所以要处理的恒成立不等式为：。再利用最值逐步消元即可解：时，，进而成公比为的等比数列，即的公比为，且而由（1），当时，，所以恒成立的不等式为：，所以设可得为递增函数所以对任意的均成立即设为减函数小炼有话说：本题在处理恒成立问题时，两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在，也就是说只要有满足不等式即可，所以只要最小值比右边小，就意味着已经存在这样的；第二阶段是对任意的，不等式均要成立，所以只要最大值满足不等式，剩下的函数值也必然能满足不等式。例8：已知数列的前项和，数列满足（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式（2）设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得对任意，都有解：（1）即是公差为1的等差数列在令得：（2）思路：由（1）可得：，所以等同于，化简可得：，而的奇偶将决定的符号，所以要进行分类讨论解：由（1）可得：则等价于：当为奇数时，恒成立不等式为：所以只需当为偶数时，恒成立不等式为：所以只需例9：已知数列前项和为，且（1）求的通项公式（2）设，若集合恰有个元素，则实数的取值范围解：（1）（2）思路：由（1）所得通项公式可利用错位相减法求，进而得到，要读懂集合恰有4个元素的含义，根据描述的特点可知：集合中的元素应该为从大到小排前4项的序数，所以只需判断出的单调性，并结合单调性选出较大的前4项，便可确定的取值。解：两式相减可得：下面考虑的单调性时，，即时，，所以而从大到小排的前4项为：例10：（2015，天元区校级模拟）已知数列满足（1）当时，求数列的前项和（2）若对任意，都有成立，求的取值范围解：（1）①②①②可得：中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为4当时，当为奇数时，所以当为偶数时为奇数时（2）思路：考虑将不等式转化为的不等式，由（1）可得的奇数项，偶数项各为等差数列，所以只要通过分类讨论确定的奇偶，即可把均用表示，再求出范围即可解：由（1）可得：的奇数项，偶数项各为等差数列，且公差为4当为奇数时，化简后可得：所以只需设解得：或当为偶数时，同理：，化简可得：即设可得：综上所述：或三、历年好题精选1、已知数列的前项和为，且（1）若，求数列的前项和（2）若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式（3）记，若对任意的恒成立，求实数的最大值2、已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列（1）求数列的通项公式（2）设，若，求证：3、已知数列满足：，且（1）证明：数列为等比数列（2）求数列的通项公式（3）设（为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有成立4、已知数列中，（为非零常数），其前项和满足（1）求数列的通项公式（2）若，且，求的值（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出的取值范围；若不存在，请说明理由5、（2016，无锡联考）数列的前项和为，且对一切正整数都有．（1）求证：（2）求数列的通项公式（3）是否存在实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由6、已知函数，数列满足（1）求的通项公式（2）令，，若对一切成立，求最小正整数7、（2016，贵阳一中四月考）已知数列的前项和为，，且，数列满足，对任意，都有（1）求数列的通项公式（2）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围8、设数列为数列的前项和，且（1）求的通项公式（2）设，数列的前项和，若存在整数，使得对任意的都有成立，求的最大值习题答案：1、解析：（1）（2）由可知，代入可得：时，代入可得：，即是公比为的等比数列在中，令可得：（3）可知为递减数列为递增数列即的最大值为2、解析：（1）成等差数列（2）由（1）可得：为递增数列综上所述：3、解：（1）是公比为的等比数列（2）当时，，即当时，是公差为的等差数列即（3）由（2）可得：恒成立不等式为：当为奇数时，当为偶数时，4、解析：（1）由已知令，则，所以当时，验证可知符合通项公式（2）可得（3）由可得若，则，不符题意，舍去若，则的最大项恰为第项因为该不等式对任意均成立解得：5、解析：（1）即（2）由（1）可知，两式相减可得：中奇数项，偶数项分别成公差是4的等差数列中令令可得：综上所述可得：（3）恒成立的不等式为：设，由可知为递减数列解得：6、解析：（1）由已知可得：为首项是1，公差是的等差数列（2）当时，可验证当时，满足上式所以对一切均成立最小正整数为7、解析：（1）可得：，验证时，符合上式由可知为等比数列（2）故恒成立不等式为：化简可得：。所以只需设8、解析：（1）是公差为1的等差数列在令得：（2）由（1）可得：设为递增数列即的最大值为第56炼数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若，则称为奇数；若，则称为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：①奇数奇数偶数②奇数偶数奇数③偶数偶数偶数④奇数偶数偶数⑤偶数偶数偶数⑥奇数奇数奇数（3）若，且，则（4）已知，若，且，则只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若，称能被整除，则有：①②为的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若，则的取值只能是。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前项和的项数，均为正整数。二、典型例题：例1：已知数列的通项公式为，若为数列中的项，则____思路：，中的项为大于等于（）的奇数，所以考虑将向奇数形式变形：，可得应该为大于等于4的偶数，所以或，解得（舍）或答案：小炼有话说：（1）本题的亮点在于对的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在上。（2）本题对的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到应为奇数，而，而的奇因数只有和，同样可确定的值。例2：已知等差数列的公差，设的前项和为（1）求的通项公式（2）求的值，使得例3：已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式（2）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）①符合①（2）思路：按照奇偶分段，所以要确定的奇偶。观察可发现无论为何值，均为一奇一偶，所以只需要对的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的即可解：当为奇数时，为偶数解得：当为偶数时，为奇数解得：（舍）综上所述：例4：已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列的通项公式（2）求出所有的正整数，使得解：（1）设前6项的公差为，则成等比数列，解得：时，，则时，（2）思路：由于数列分为两部分，当时，即为公比是的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的。解：由（1）可得：则当时，当时，当时，当时，当时，假设存在，使得则有即：，从而无解时，不存在这样的，使得综上所述：或例5：已知数列的前项和为，且满足，（）.（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.解：（1）在中，令，得：再令，得：（2）由①，可得：②①②可得：从第二项开始成等比关系，公比为而符合上式（3）思路：所成立的等式为，考虑将进行分离得到：，再利用为整数可得为整数，从而求出符合条件的，再求出。解：由（2）得：且只需，即经计算可得：时，解得：共有三组符合题意：小炼有话说：（1）在第（2）问中，要注意的取值范围变化，并且要把所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。（2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解例6：已知数列是各项均不为0的等差数列，是其前项和，且满足，令，数列的前项和为（1）求数列的通项公式及（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。解：（1）且（2）思路：先假定存在满足条件的，则由可得，无法直接得到不等关系，考虑变形等式：，分离参数可得：，以为突破口可解出的范围，从而确定的值后即可求出解：假设存在，则即即解得：，代入可得：，解得：存在，使得成等比数列例7：已知各项均为正数的数列满足：，且（1）设，求数列的通项公式（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数解：（1）是公比为2的等比数列（2）思路：由（1）可得，的通项公式可求但是比较复杂，不利于求出，但观察发现可将中的项重新组合，进而能够和找到联系。，求和可得，若为整数，则能被整除，而，考虑可将写成，通过二项式定理展开并找到最小的正整数解：若为整数，因为即能被整除所以可得时，能被整除的最小值是例8：已知为等差数列，前项和为，若（1）求（2）对，将中落入区间内项的个数记为①求②记，的前项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）设的公差为解得：（2）①②思路：由①可得：，，则所解方程变形为：，得到关于的不定方程，可考虑对进行变量分离，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到，即，然后代入解出符合条件的即可解：由①可得：由可得：时，解得：（舍）时，解得：（舍）时，解得：存在这样的，满足所给方程小炼有话说：1、本题中②的方程，并没有在一开始就将代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算2、本题在解的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。例9：已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有：，若，则：（1）求数列的通项公式（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由解：（1）①②①②可得：令，则令，则令，则所以有：，解得：（2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他项可设为，设存在某项，则，设，则同除以，就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项及数列中的其他项，所以两边同时除以可得：，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立所以不存在这样的项小炼有话说：（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：，如果不一定相邻，则可用作角标，其中体现出这一串项所成数列中项的序数，而表示该项在原数列中的序数（2）本题还有一个矛盾点：题目中的项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全，变为从一直加到，即。则①，由整数性质可得，所以，与①矛盾，所以不存在。例10：已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中均为大于1的正整数，且，对于任意的，均存在，使得成立，则____________思路：本题的关键是求出，已知均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求的值或范围：，所以，从而根据不等号方向可得：解得：，所以，从而，代入可得：，因为，所以（舍）或。所以成立，所以，答案：三、历年好题精选1、（2014，山东师大附中五模）用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数