2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第41炼 指对数比较大小含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第41炼指对数比较大小含答案第41炼指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2）（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）二、典型例题：例1：设，则的大小关系是______________思路：可先进行分堆，可判断出，从而肯定最大，只需比较即可，观察到有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：，从而可比较出，所以答案：例2：设，则的大小关系是___________思路：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为答案：例3：设则的大小关系为（）A.B.C.D.思路：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：，通过比较底数的大小可得：答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较，从而，同理再比较或即可例4：设，，，则（）A.B.C.D.思路：观察可发现：，所以可得：答案：D例5：设则的大小关系为（）A.B.C.D.思路：观察可发现的底数相同，的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于，两者底数在，则指数越大，指数幂越小，所以可得，再比较，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以，综上：答案：B例6：已知三个数，则它们之间的大小关系是（）A.B.C.D.思路：可先进行分组，，，所以只需比较大小，两者都介于之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。，而，从而，大小顺序为答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择作为研究对象。例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设，则（）A.B.C.D.思路：首先进行分组，可得，下面比较的大小，可以考虑以作为中间量，，所以，从而答案：D例8：设且，则的大小关系是（）A.B.C.D.思路：由可得：，先用将分堆，，，则为最大，只需要比较即可，由于的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。，而，因为，所以，所以顺序为答案：C例9：下列四个数：的大小顺序为________思路：观察发现，其余均为正。所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：，所以，综上所述，大小顺序为答案：例10：已知均为正数，且，则（）A.B.C.D.思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：均大于0，由对数的符号特点可得：，只需比较大小即可。观察到，从而，所以顺序为答案：A小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为的形式，而第三个等式也可变形为，从而可以考虑视分别为两个函数的交点。先作出图像，再在这个坐标系中作出，比较交点的位置即可。第42炼利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1）（2）3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：单调递增；单调递减（2）定义形式：或：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小三、例题精析：例1：对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.思路：由可按各项符号判断出与异号，即时，,时，在单调递减，在上单调递增，进而答案：C小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。例2：已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则下列关于的大小关系正确的是（）A.B.C.D.思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的的结构均为的形式，故与不等式找到联系。当时，，即，令，由此可得在上单调递增。为奇函数，可判定出为偶函数，关于轴对称。，作图观察距离轴近的函数值小，与可作差比较大小：进而可得：答案：D例3：函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系是（）A.B.C.D.思路：由可判断出关于轴对称，再由，可得时，，所以在单调递增，由轴对称的特点可知：在单调递减。作出草图可得：距离越近的点，函数值越大。所以只需比较自变量距离的远近即可判断出答案：B例4：已知是周期为的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（）A.B.C.D.思路：的周期为，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：，而由偶函数及单调递增，作图可知在区间中，距离轴近的函数值小，所以有答案：C小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从而代替原来的自变量。例5：已知函数为偶函数，当时，函数，设，，则的大小关系为（）A.B.C.D.思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析的性质，由为偶函数可得：，从而关于轴对称，当，可计算，所以在单调递减，结合对称性可得距离对称轴越近，函数值越大，所以答案：D小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。例6：已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，则大小关系为________思路：由为偶函数且在单调递增可得距离轴越近，函数值越小。所以需比较自变量与轴距离：，则需比较的大小，因为，所以，所以答案：小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用好“桥梁”，比较的关键之处在与这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与1大小的分界线，而正余弦不大于1，所以的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线，时，；而时，。例7：已知函数，且，则的大小关系是（）A.B.C.D.思路：本题具备同构特点，但导数难于分析单调性，故无法比较的大小。换一个角度，可发现的图像可作，且具备几何含义，即，即与原点连线的斜率。所以作出的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由可得：答案：B例8：已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．思路：联系选项分析条件：当时，，即令在单调递增，而选项中均不在单增区间中，考虑利用进行转换。首先要读懂说的是与的关系，而与刚好在的两侧，所以达到一个将左侧的点转到右侧的作用。在中令可得：，可代入B,C选项进行比较，C正确。而A,D两个选项也可以代入进行验证。答案：C小炼有话说：由于，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所以对于形如等轮流求导的式子可猜想隐含项，进而结合选项进行变形例9：定义在上的函数，为它的导函数，且恒有成立，则（）A.B.C.D.思路：尽管发现存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现规律：等，不等号两侧均为的形式，其导函数为于是考虑构造条件中的不等式：即,在上单调递增，根据单调性即可判断四个选项是否正确答案：D例10：设均为实数，且，则的大小关系为（）A.B.C.D.思路：本题单从指对数方面，不便于比较大小。进一步可发现均可视为两个函数的交点，且每一个等式的左侧为同一个函数，而右侧也都可作图，所以考虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出的大小答案：A三、历年好题精选1、（2016，内江四模）设函数在R上存在导数，在上，且，有，则以下大小关系一定正确的是（）A.B.C.D.2、（2015，福建）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A.B.C.D.3、（2015，陕西文）设，若，则下列关系式中正确的是（）A.B.C.D.4、（2015，天津）已知定义在上的函数为偶函数，记，则的大小关系为（）A.B.C.D.5、（2014，山东）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（）A.B.C.D.6、已知的导函数是，记，则（）A.