2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.2一次函数与正比例函数 教案

第四章一次函数2一次函数与正比例函数教学目标1.经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想；2.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式；3.通过学生从实际生活中发现变量间的特定的关系来掌握运动变化的本质，感受数学就在身边，体验生活中处处有数学，促进学生乐于亲近数学，喜欢数学.教学重难点重点：一次函数概念的理解与探究过程.难点：将实际问题用一次函数表示.教学过程导入新课一、知识回顾1.什么叫函数？2.函数有哪些表示方法？二、创设情境1.下列问题中的变量对应规律可写成怎样的表达式？(1)圆的周长C随半径r的大小变化而变化.(2)一支钢笔5元钱，买x支这样的钢笔所需的费用y元.(3)某汽车的速度为70千米/时，行驶x小时的路程S.2.某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x（x≤10）每增加1千克，弹簧长度增加0.5厘米.（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：/千克012345/厘米（2）你能写出与之间的关系式吗？3.某辆公交车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)完成下表:公交车行驶路程x/km050100150200300耗油量z/L（2）你能写出z与x之间的关系式吗？（3）你能写出油箱剩余油量y(L)与公交车行驶路程x(km)之间的关系式吗？（4）公交车行驶的路程x可以无限增大吗？有没有一个取值范围？剩余油量y呢？学生小组讨论，得出答案，教师点评.1.解：(1)C＝2πr；(2)y＝5x；(3)S＝2.解：（1）3,3.5,4,4.5,5,5.5.（2）y＝3+0.5x.3.解：(1)0,6,12,18,24,36.(2)z＝x.(3)y＝60-x.（4）公交车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有60L,每行驶50km耗油6L,行驶500km后,油箱就没有油了,所以x不会超过500km,即0≤x≤500.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于60但不能小于零，即0≤y≤60.探究新知一、合作探究认真观察以上出现的几个关系式，分别说出哪些是常数、自变量和函数，这些式子有什么共同点？【教学说明】学生小组内进行讨论，教师要把课堂充分留给学生，不要急于结论的得出而限制学生的发挥.一次函数的定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b＝0时，两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx，则称y是x的正比例函数.注：正比例函数是一种特殊的一次函数.【概念解读】1.两个变量；2.变量的次数是1；3.k和b是常数，k≠0.设计意图：这样能较好地体现数学的现实性，可以形成良好的数学观.判断下列函数关系式中，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1)y＝-x-4；（2）y＝5x2+6；（3）y＝2πx；(4)y＝3（x+1）；（5）；（6）.学生小组讨论，给出答案，教师点评.一次函数：(1)，（3），（4），（5）；正比例函数：（3）.典型例题1.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系：；（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系：；（3）一棵树现在高50厘米，每月长高2厘米，x月后这棵树高度为y（厘米），则y与x的关系为.【解】（1）y＝60x,y是x的一次函数,也是正比例函数；（2），y既不是x的一次函数，也不是正比例函数；（3）y＝2x+50，y是x的一次函数，但不是正比例函数.2.已知函数，当时，y是x的是一次函数；当＝时，y是x是正比例函数.【解】当函数是一次函数时，k-1≠0,即k≠1；当函数是正比例函数时，k-1≠0且k2-1＝0,即k＝-1.课堂练习1.下列说法正确的是（）A.一次函数是正比例函数B.正比例函数不是一次函数C.不是正比例函数就不是一次函数D.正比例函数是一次函数2.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）A. B.C. D.3.下列函数中哪些是正比例函数，哪些是一次函数？①，②，③，④x，⑤，⑥4.若是关于的正比例函数，则＝；若y是关于的一次函数，则.5.某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元；另一种是会员卡收费，卡费12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.参考答案1.D2.C3.解：正比例函数：②，④，⑥；一次函数：②，④，⑤，⑥.4.-2；≠25.解：(1)y1＝x.(2)y2＝0.4x+12.课堂小结若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b＝0时，两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx，则称y是x的正比例函数.注：正比例函数是一种特殊的