清华大学2021自主招生语言类保送数学试卷真题（含答案解析）

年清华大学自主招生数学试卷（语言类保送暨高水平艺术团）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）1、已知复数z=1+i，设z是z的共轭复数，则1−4zA.1 B.2 C.3 D.42、已知集合A=x|x2−a<0，B=xA.3 B.4 C.9 D.163、已知正整数数列an满足aanA.2或3B.2C.1或2D.34、已知椭圆x216+y212=1的两个焦点分别为F1，点Q12,0，作QH⊥PF1A.3 B.4 C.5 D.65、已知非负实数a，b满足a+b=32，则A.49B.243C.81D.7296、已知函数fx=sin⁡ωx+A.7B.7C.7D.77、在四面体D−ABC中，AB=BC=CA=CD=23，E为BC的中点，AE⊥DE，且DE=3A.2 B.3 C.6 D.5二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）8、x+1x−19、已知fx是定义在R上的偶函数，且f2=4，当x>0时，有xf′10、在平面直角坐标系xOy中，设A1,0，B3,4，向量OC→=xOA→+yOB→，其中x+y=4三、解答题（本大题共4小题，共50分）11、已知an是公差不等于0的等差数列，且a4是a2，a8的等比中项，记数列an的前n(1)求数列an(2)设数列bn满足bn=an+1an−1an⋅212、在三棱台ABC−DEF中，AB⊥AC，AB=2DE=2，AC=22，CF=2，且CF⊥平面ABC，设P，Q，R分别为棱AC，(1)证明：平面BCD⊥平面PQR(2)求二面角E−BD−C的正弦值．13、已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴交于D点，过点F的直线与抛物线C交于A，B(1)求抛物线C的方程．(2)设P，Q是抛物线C上的不同两点，且PF⊥x轴，直线PQ与x轴交于G点，再在x轴上截取线段GE=GD，且点G介于点E与点D之间，连接PE，过点Q作直线PE的平行线l，证明：14、已知函数fx=ex−ax+b(1)设函数gx=xfx(2)证明：ex1、【答案】A;【解析】∵z=1+i∴z=1−∴1−4z==−3则1−4z2z故选A．2、【答案】C;【解析】∵B=x∴x−1x−4∴1<x<4，∴B=x又∵A=x|∴x2而A∩B=(1,3)，∴x2∴−a则a=3∴a=9．故选C．3、【答案】B;【解析】依题意，有aa则aa假设a2则aa故p=3，ap则aa当a2则aa从而a2故选B．4、【答案】A;【解析】设PF1=mmn故△PF1从而PH=故选A．5、【答案】C;【解析】由AM−GM不等式，得32又a，b是非负实数，则0⩽ab⩽9设t=ab∈0,则a2上式当a=0，b=3故选C．6、【答案】D;【解析】由x∈0,π2依题意，有3π2解得ω∈7故选D．7、【答案】D;【解析】依题意，有EC2+D又AE⊥DE，AE∩BC=E，则DE⊥如图，设四面体D−ABC的外接球球心为点O，球心O在平面BCD与平面ABC上的射影分别为M，N两点，注意到△ABC，△BCD均为正三角形，则ON=ME=1，即四面体D−ABC的外接球半径AO=O故选D．8、【答案】−81;【解析】仅需考虑P=x+1x一方面，P的常数项为(−1)5另一方面，P的x−2项的系数为C从而原式展开式中常数项为−51+9、【答案】(−∞【解析】设g(x)=x当x>0时，有g′即函数gx在(0,+当x>0时，有f(x)>16又注意到fx则原不等式的解集为(−∞10、【答案】55【解析】依题意，得OC→则点C在直线l:2x−y−8=0上运动，设线段AB的中点为Q，则点P在以Q2,2为圆心，5又点Q到直线l的距离d=6则PC→故答案为：5511、【答案】(1)an;(2)Tn=−1;【解析】(1)设数列an的公差为d（d≠0则a2=a1+d又a4是a2，a8(a1+3d)2=(从而an(2)当n⩾2时，有bn=n+12n−1则当n⩾2时，有T=−1+=−1又注意到T1从而Tn=−112、【答案】(1)证明见解析．;(2)2105;【解析】(1)如图，连接DP，则四边形DPCF是矩形．又tan⁡∠CDP=从而CD⊥由CF⊥平面ABC，且PR⊂平面ABC，得CF由AB⊥AC，且PR为△ABC又AC∩CF=C，则PR⊥平面ADCF注意到PQ⊂平面ADCF，则PR⊥又PQ∩PR=P，则CD⊥平面PQR从而平面BCD⊥平面PQR(2)以P为原点，PA→为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P−xyz则B2,2,0，C−2,0,0故BD→=−2,−2,2设m→=(a,b,c)是平面则BD→取a=2，b=0，c=1即m→设n→=(p,q,r)是平面则BD→取p=1，q=−2，r=−22设二面角E−BD−C的平面角为θ，则cos2故sin⁡θ=从而二面角E−BD−C的正弦值为210513、【答案】(1)y2;(2)证明见解析．;【解析】(1)设直线AB的方程为l′联立直线l′与抛物线C得y2设A(x1,则y1故x1注意到FA=x1则1|FA|即抛物线C的方程为y2(2)如图：不妨设点P在第一象限，点Q(x当y<0时，有y2则y′即抛物线C在点Q处的切线斜率为k=2注意到PF⊥x轴，则设G(x4,0)，由P，G，Q则x4设E(x5,0)，由GD故直线PE的斜率k′从而l为抛物线C的切线．14、【答案】(1)g(x)在区间−∞,0，;(2)证明见解析．;【解析】(1)f′依题意，有f1=e解得a=1，b=0，则gx=e设ℎx=g当x>ln⁡2时，有ℎ′当x<0，0<x<ln⁡2时，有ℎ′故函数g′x在则g′故gx在区间−∞,0(2)①首先证明