上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷（解析版）

上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测高三数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.直线的倾斜角为_________．【答案】【解析】【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角【详解】，则，斜率为则，解得故答案为【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题2.在的展开式中，含的系数为______．【答案】【解析】【分析】由的展开式的通项公式，令，即可求得结论．【详解】的展开式的通项公式为令，则，的展开式中含项的系数是.故答案为：．3.已知集合，集合，则__________．【答案】【解析】【分析】解不等式可求得集合，进而可求得.【详解】由，可得，所以，所以，解得，所以，所以.故答案为：4.若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.【答案】##【解析】【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件【详解】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，可得方程有唯一解，则故答案为：5.已知x，，则“”是“”的____________________条件．【答案】必要不充分【解析】【分析】由已知中，，根据绝对值的性质，分别讨论“”“”，与“”“”，的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．【详解】若，则异号或至少有一个为0，故充分性不成立，若“”，则，异号，则“”成立，即“”是“”的必要条件；即“”是“”的必要不充分条件；故答案为：必要不充分．6.已知，的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】利用不等式即可求解.【详解】,当且仅当,即或时,等号成立,故的最小值为12.故答案为：12.7.从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为_______．【答案】##【解析】【分析】由列举法可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意任取两个不同的数字组成1个两位数，共有：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45,51,52,53，54共20个；其中偶数有：12，14，24，32，34，42，52,54共8个；故所求概率.故答案为：.8.已知函数，且，则方程的解为______________．【答案】3【解析】【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案.【详解】当时，，解得：，当时，，解得：（舍去），所以方程的解为.故答案为：3.9.已知集合，，若，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】解绝对值不等式可得集合A，由得，讨论B为空集和不为空集情况，解相应不等式，即得答案.【详解】解，即，即，由，得;当时，即，符合题意；当时，需满足，解得，综合可得，故答案为：10.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可得出.【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥，乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则,乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则，乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则，所以故答案为：.11.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】设出点坐标，利用向量法求得点坐标并代入抛物线的方程，求得直线斜率平方的表达式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设，Px,依题意，所以，所以，将点的坐标代入抛物线的方程得：，整理得，设直线的斜率为，则，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，所以，得到，故答案为：.12.对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．【答案】①③【解析】【分析】按照“等均”函数的定义，对四个函数一一验证，即可判断.【详解】对于①，因为，所以的定义域为R.对任意的，，满足(1)；所以存在，使得，满足(2).所以为“等均”函数.对于②，因为，所以的定义域为，所以当时，，此时不存在，不满足(1)；所以不是“等均”函数.对于③，因为，所以的定义域为，对任意的，，满足（1）；，若满足，则有，所以，又因为，所以，所以，满足且，所以为“等均”函数.对于④，因为，所以的定义域为R.对任意，，满足（1）；，若满足，则有，设，则，所以在R上单调递减，所以，此时不满足（2），所以不是“等均”函数.故答案：①③.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.若实数、满足，下列不等式中恒成立是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.【详解】因为，则，故，A对B错；，即，当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.故选：A.14.在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】D【解析】【分析】根据平均值、中位数、众数、方差的定义即可得解.【详解】去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小.故选：D15.如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（）A.存在平面与直线垂直B.四边形可能是正方形C.不存在平面与直线平行D.任意平面与平面垂直【答案】D【解析】【分析】根据正方体的性质判断A，根据面面平行的性质得到四边形是平行四边形，再由，即可判断B，当为的中点时为的中点，即可判断C，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.【详解】对于A：在正方体中平面，显然平面与平面不平行，故直线不可能垂直平面，故A错误；对于B：在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，由平面平面，并且四点共面，平面平面，平面平面，∴，同理可证，故四边形是平行四边形，在正方体中，由几何知识得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此时与重合时，但显然四边形不是正方形，故B错误；对于C：当为的中点时，为的中点，所以且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，故C错误；对于D：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面与平面垂直，故D正确.故选：D16.已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（）A.，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列B.，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列C.，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列D.，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列【答案】C【解析】【分析】根据题意，假设，，…，为等差数列，公差为，分讨论，找出矛盾，可判断A，B，D选项，对于C，举例说明.【详解】由题对任意正整数，都有，可判断，，…，不可能为等差数列，理由如下：假设，，…，为等差数列，公差为，若，，则，矛盾；若，，当时，，存在使得，矛盾；若，，当时，，存在使得，矛盾；若，当时，，，必有使得，矛盾；若，当时，，，必有使得，矛盾；对于A，为等差数列与上述推理矛盾，故A错误；对于B，为等差数列与上述推理矛盾，故B错误；对于D，为等差数列与上述推理矛盾，故D错误；对于C，取，，，满足题意，故C正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用反证法假设，，…，为等差数列，推理找出矛盾，依此判断.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．（1）在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；（2）若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小．【答案】（1）不能，理由见解析（2）．【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合梯形的性质证得直线与平面相交，即可判断得解.（2）过点B作于H，证得是直线BP与平面PCD所成角，再结合锥体体积计算角的正切即可.【小问1详解】不能．在梯形ABCD中，，，，则AD不平行于BC，直线AD与BC必相交于一点，而平面，则直线AD与平面有公共点又平面，因此直线与平面相交，所以在侧面PBC中不能作AD的平行线.【小问2详解】过点B作于H，连接PH，由平面ABCD，平面ABCD，得，而平面PCD，则平面PCD，即PH是BP在平面PCD内的射影，是直线BP与平面PCD所成角，在中，，，则是等边三角形，，，又，则，即，在中，，，又四棱锥的体积是，即，解得，在中，，因此，所以直线BP与平面PCD所成角大小.18.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【小问1详解】∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；【小问2详解】∴19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？【答案】（1），3.1（秒）（2）汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．【解析】【分析】（1）根据题意可得的表达式，利用基本不等式即可求出所求最短时间；（2）由题意可列出相应不等式，化为一元二次不等式即可求得答案.【小问1详解】由题意得，，当时，，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的时间（秒），即最短时间为3.1秒；【小问2详解】根据题意，要求对于任意，恒成立，即对于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小时），汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．20.已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且(1)求椭圆的方程；(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.【答案】（1）；（2）或y=-x+1；（3）5【解析】【分析】（1）由点在椭圆上，且，列出方程组求出，，由此能求出椭圆的方程．(2)设直线l的方程为，设，，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，再利用数量积和韦达定理求出k的值，即得直线方程；（3）设直线，联立，求出，同理求出，证明为定值．【详解】(1）椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，解得，，椭圆的方程为．（2）设直线l的方程为，设，，，，由，得，所以，又，，，所以，所以，所以，均满足题意.所以直线的方程为或.（3）设直线，联立方程组，得，，又直线，同理，得，，为定值．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查代数式为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.设函数，直线l是曲线在点处的切线．（1）当时，求单调区间；（2）求证：l不经过；（3）当时，设点，，，B为l与y轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A使得成立？若存在，这样的点A有几个？【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是；（2）证明见解析；（3）存在，有两个．【解析】【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可.（2）写出切线的方程，将代入并构造函数，利用导数研究其零点即可.（3）分别写出面积表达式，代入得到，再构造函数，研究其