24.1圆的有关性质复习小结课件人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册第二十四章圆24.1圆的有关性质复习小结本节内容考纲要求认识圆的轴对称性和中心对称性，认识圆心角、弧、弦之间相等关系，理解圆周角和圆心角关系等。近5年试题规律：主要以选择、填空题形式考查弧、弦、圆心角圆周角之间的关系，难度不大。特别地，虽然考纲已经不要求垂径定理，但近几年总有考查。考纲要求【考点分析】1.相关角相等或互补：①圆内接四边形的对角互补；②圆周角与圆心角的关系定理及其推论；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④平行两弦所夹的弧相等（需证明）；OABCD2.垂直关系：①垂径定理；②直径所对的圆周角是直角；③直角的圆周角所对的弦是直径；④切线的性质与判定；⑤垂直两弦（圆内接四边形的两条对角线互相垂直）；OACDBP【考点分析】3.结合一些特殊图形的性质与判定进行说理与计算：①平行四边形；②等腰三角形（含等边、等腰直角）；③相似三角形；④三角函数等.4.四点共圆：①圆定义；②三角形（外心）；③对角互补(都是直角)的四边形.5.考察的思想方法：

（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”等基本图形研究线段

（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题；（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系.知识框架知识运用为什么车轮是圆的把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这就是车轮都做成圆形的数学原理．细节辨识O细节辨识ABCDO细节辨识ABCDO细节辨识ABCDOABCDO细节辨识O

D

CABABCDE圆心角相等弦相等弧相等弦心距相等垂直：特殊的位置关系平分：特殊的数量关系且平分弦所对的两条弧O盘点知识二、垂径定理例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．ABOE遇弦连半径、作弦心距构造直角三角形盘点知识二、垂径定理遇弦连半径、作弦心距构造直角三角形基本模型：（多题一解）OABDE2已知：AB=8，半径为5，求ED.已知：CE=8，半径为5，求AB.已知：DE=2，AB=8.求半径.已知：OE=3，直径为10，求AB.BAODEABCDEOBAEOC盘点知识二、垂径定理遇弦连半径、作弦心距构造直角三角形基本模型：（多题一解）ABCDO３４还是求弦长E３盘点知识二、垂径定理遇弦连半径、作弦心距构造直角三角形基本模型：（多题一解）AOCBED３１０5OAB（６，０）盘点知识二、垂径定理遇弦连半径、作弦心距构造直角三角形基本模型：（多题一解）C盘点知识二、垂径定理遇弦连半径、作弦心距构造直角三角形复合模型：（多题一解）ABOENABOENCDFCDABOENF水面为1.6的情况有几种？盘点知识三、旋转不变已知某角则想同弧(或等弧)所对的圆心角、圆周角.OBAECDABO４０°C盘点知识三、旋转不变已知某角则想同弧(或等弧)所对的圆心角、圆周角.ABOC120°盘点知识三、旋转不变已知某角则想同弧(或等弧)所对的圆心角、圆周角.ABOCED圆心O为AD中点，C为AE中点，OC为三角形ADE中位线，所以OC即为半径又等于DE一半，所以DE=AD=2r=2，又因OC=OA=AC=1,所以三角形ACO为等边三角形，所以角A等于60度，所以三角形ADE为等边三角形,所以DE=2盘点知识四、圆周角同弧或等弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．基础型：（多题一解）变式１.如图，求∠C．ACB１００°１５０°OBCA40°盘点知识四、圆周角1.如果∠A=44°,则∠BOC=____.2.如果∠BOC=44°,则∠A=____.3.如果∠A=35°,则∠BDC=____.4.看图想定理：把对应的定理拖到相应的图下面垂径定理同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角是圆心角的一半同弧所对的圆心角相等直径所对的角是直角盘点知识四、圆周角已知某角则想同弧所对的圆心角、圆周角.基础型：（多题一解）ACBOP60°60°60°60°盘点知识四、圆周角ABCDO例8.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．已知某角则想同弧所对的圆心角、圆周角.10612解题技巧小结整理归纳１.遇弦则作弦心距、连半径，构造直角三角形．２.遇直径连直角，构造直角三角形．３.遇圆周角则找同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）．６.勤画图，多从图形性质分析．５.遇中点则想到垂径定理、垂直平分线、三角形中位线、中线．４.由于半径都相等，圆的问题很多要结合等腰三角形．圆中常见的辅助线证明：(1)连接AC，OA，OD，OB，OC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠AOD=2∠ACD，∠BOC=2∠BAC，∴∠AOD=∠BOC，∴AD=BC，∴AD=BC，BD=AC，∴∠BCD=∠ADC.(2)略.【基本图形及相关结论证明】例1如图，四边形ABCD内接于☉O，（1）若AB∥CD，求证：∠C=∠D，AD=BC；（2）若AD=BC，求证：AB∥CD.E方法2：圆心角与圆周角的关系方法3：垂径定理方法1：由∠A＋∠D=180°，∠A＋∠C=180°，得∠C=∠D，……【基本图形及相关结论证明】例2如图，四边形ABCD内接于☉O，且AC⊥BD，垂足为P.（1）求证：∠PAD－∠PAB=∠PCD－∠PCB；（2）若AB=1，CD=3，求☉O的半径.E(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠APD=∠BPC=90°，∴∠PAD＋∠PDA=∠PAB＋∠PBA=90°，∵AB=AB，AD=AD，∴∠PDA=∠PCB，∠PBA=∠PCD，∴∠PAD＋∠PCD=∠PAB＋∠PCD，∴∠PAD－∠PAB=∠PCD－∠PCB.(2)解：作直径CE，并连接AE,DE，则∠CAE=∠CDE=90°，即AC⊥AE.∵AC⊥BD，∴AE∥BD.易证AB=ED=1，∴由勾股定理，得∴☉O的半径为【基本图形及相关结论证明】变式：在“例2”的条件下，分别取弦AD，BC的中点E，F，求证：四边形OEPF为平行四边形.H证明：延长EP交BC于点H，∵AC⊥BD，AE=DE，∴，∠PBC＋∠PCB=90°,∴∠EPD=∠EDP.∵∠BPH=∠EPD，∠EDP=∠BCP，∴∠PBC＋∠BPH=90°，∴EH⊥BC.∵BF=CF，∴OF⊥BC，∴EP∥OF，同理，PF∥OE，∴四边形OEPF是平行四边形.若AD=4，则OF=

;若AB=1，则圆心O到CD的距离为

.练习题1：求证：圆内接平行四边形是矩形.已知：如图，□ABCD内接于☉O.求证：□ABCD是矩形.ABCDO【三年中考试题解析】例3如图，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°.（Ⅰ）若AB=4，求CD的长；（Ⅱ）若BC=AD，AD=AP，求证：PD是☉O的切线．(1)解：连接OC，OD，则∠COD=2∠CAD=2×45°=90°.∵AB=4，

(2)证明：∴∠AOD=∠BOC.∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°.∵OA=OD，∵AD=AP，∴∠ADP=∠P.∵∠ADP＋∠P=∠CAD=45°，∴∠ADP=22.5°，∴∠ODP=∠ODA＋∠ADP=67.5°＋22.5°=90°，∴OD⊥PD.又∵OD是☉O的半径，∴PD是☉O的切线．【三年中考试题解析】例4如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F．（1）延长DC、FB相交于点P，求证：PB=PC；（2）如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度数．【三年中考试题解析】例4如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F．（1）延长DC、FB相交于点P，求证：PB=PC；（2）如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度数．(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAB＋∠BCD=180°.∵∠PCB＋∠BCD=180°，∴∠PCB=∠DAB.∵AC为直径，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，又∵DE⊥AB，∴DF∥BC，∴∠PBC=∠F.∵∠F=∠DAB，∴∠PBC=∠PCB，∴PB=PC.【三年中考试题解析】例4如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F．（1）延长DC、FB相交于点P，求证：PB=PC；（2）如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度数．(2)解：连接OD，∵AC是直径，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD，∵BG⊥AD，∴CD∥BG，同理BC∥DE，∴四边形BCDH是平行四边形.∴BC=DH=1.在Rt△ABC中，tan∠BAC=

∴锐角∠BAC=30°.∴AC=2，OD=DH=1.∵∠OHD=80°，∴∠OHE=100°，∠DOH=80°.∴∠AOH=360°－30°－100°－90°，=140°，∴∠AOD=360°－140°－80°=140°，∴∠ABD=70°，∴∠EDB=90°－∠ABD=20°.【三年中考试题解析】例5如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的

延长线上，且DF=

DC，连接AF、CF.（1）求证：∠BAC=2∠DAC；（2）若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=180°－2∠ACB.∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°－∠ACB，∴∠BAC=2∠DBC.∴∠DAC=∠DBC，∴∠BAC=2∠DAC.【三年中考试题解析】例5如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的

延长线上，且DF=

DC，连接AF、CF.（1）求证：∠BAC=2∠DAC；（2）若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.H(2)解：作DH⊥AB，垂足为H.∵DF=DC，∴∠BDC=2∠CFD，∵∠BAC=2∠DBC，∠BAC=∠BDC，∴∠CFD=∠DBC，∴CF=CB，又∵BE⊥AC，即AC是BF的垂直平分线，∴AC=AB=AF=10.设AE=x，则CE=10－x，由勾股定理，得AB2－AE2=BC2－CE2=BE2，解得x=6，即AE=6，CE=4.∴BE=8.易证△AED∽△BEC，由三角形面积可得∴BH=∴tan∠BAD=

练习题：1.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD2.如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD=()A.40°B.50°C.60°D.80°，3.如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB等于()A.55°B.70°C.110°D.125°【预测试题】1.已知四边形ABCD内