24.2.2.3切线长定理和三角形的内切圆课件人教版数学九年级上册

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九年级上册第二十四章圆

24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理和三角形的内切圆目录课后小结随堂练习知识讲解情境导入学习目标13524学习目标1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．（重点）2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．（难点）情境导入

某学校建设过程中，计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．知识讲解知识点1

切线长及切线长定理切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．知识讲解知识点1

切线长及切线长定理切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.知识讲解知识点1

切线长及切线长定理辅助线作法：①分别连接圆心和切点；②连接两切点；③连接圆心和圆外一点.知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在

上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在

上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．所以△PEF的周长＝PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.4知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例2】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________．∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB＝20°.

20°知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解析：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，知识讲解知识点1

切线长及切线长定理【例3】为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝5cm，即铁环的半径为5cm.

知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心三角形内切圆与内心的定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心【例4】如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD.∵等边三角形的内心为三条角平分线的交点，∴∠OCD＝30°，OD⊥BC，∴CD＝

BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.

知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心【例4】如图，⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.

知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心【例5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(

)A．r

B.r

C．2r

D.r

知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心【例5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(

)解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴四边形OEBD为正方形，又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心【例5】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(

)∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.知识讲解知识点2

三角形的内切圆与内心【例6】如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(

)A．r

B.r

C．2r

D.r

C随堂练习1.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.11解析：由切线长定理易求得CD+CE+DE=BC+AC-AB=9+10-8=11.随堂练习2.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴AB+CD=AD+BC.随堂练习3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.随堂练习3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.方法一

证明：连接BD，∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB，∴OC⊥BD，∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD．∴DE∥OC．随堂练习3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.方法二

证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°，在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC，

∴Rt△OCD≌Rt△OCB（HL），随堂练习3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.∴∠DOC=∠BOC，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．随堂练习4.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于