11.3.3平面与平面平行课件高一下学期数学人教B版

第十一章立体几何初步平面与平面平行人教B版

数学

必修第四册课程标准1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面平行的相关定理、推论和性质.2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的平行性问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示法公共点个数两平面平行

无两平面相交

无数个(共线)α∥β

α∩β=a名师点睛1.作两个平行平面时,要把表示平面的两个平行四边形的相邻两边分别画成平行线;作两个相交平面时,要把交线画出,并且被遮住的部分要画成虚线或不画.2.用符号表示两个相交平面时,必须写出交线,不能写成α∩β.过关自诊1.点P是平面α外一点,过点P且平行于平面α的平面有(

)

A.0个

B.1个C.2个

D.无数个B2.[北师大版教材习题]下列说法中,错误的是(

)A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交D.一个平面与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交A3.(多选题)若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,那么直线a,b的位置关系可能是(

)A.平行

B.异面C.相交

D.以上都不对AB解析

直线a,b可以是平面α,β内的任意直线,它们可以平行,也可以异面,但不可能相交,故选AB.4.[北师大版教材习题]如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面有怎样的位置关系?如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面有怎样的位置关系?画图说明.解如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面互相平行,如图1;如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面中有两个平行,第三个与前两个相交,如图2,或3个平面相交于一条直线,如图3.图1图2图3知识点2两个平面平行1.平面与平面平行的判定定理与推论

语言叙述符号表示图形表示如果一个平面内有两条

直线分别

另一个平面,那么这两个平面平行

l⊂α,m⊂α,

,

l∥β,m∥β⇒α∥β推论:如果一个平面内有两条

直线分别平行于另一个平面内的

直线,那么这两个平面平行.

相交

平行于l∩m≠⌀相交

两条2.平面与平面平行的性质定理

文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线

符号语言α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m⇒

图形语言两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.平行

l∥m名师点睛1.应用判定定理证明两个平面平行,必须具有两个条件:(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;(2)这两条直线必须相交.2.判定定理应用时,只要在一个平面内找到(作出)两条相交直线与另一个平面平行即可.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面,可作为判定线面平行的依据直接使用.4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.5.经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).(

)(2)如果三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,且平面δ与这三个平面相交,交线分别为a,b,c,则有a∥b∥c成立.(

)√√2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1D1平行的平面是(

)A.平面BCD

B.平面BCC1C.平面BDC1

D.平面CDC1C3.[北师大版教材习题]若平面α内任意一条直线均平行于平面β,则平面α与平面β的位置关系是

.平行

4.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC与平面A1B1C1是否平行?

.(填“是”或“否”)

是

重难探究·能力素养全提升探究点一平面与平面平行的判定定理【例1】

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点.求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示,连接A1C交AC1于点E,因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以E是A1C的中点,连接ED,因为A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,A1B⊂平面A1BC,所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点,所以D是BC的中点.又因为D1是B1C1的中点,B1C1∥BC,B1C1=BC,所以BD∥C1D1,BD=C1D1,所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1∥C1D.又因为BD1⊄平面AC1D,C1D⊂平面AC1D,所以BD1∥平面AC1D.又因为A1B∥平面AC1D,A1B∩BD1=B,所以平面A1BD1∥平面AC1D.规律方法

证明面面平行的方法证明面面平行主要是利用面面平行的判定定理,即从其中一个平面内找到两条相交直线分别平行于另一平面,其次是利用面面平行判定定理的推论,即从其中一个平面内找到两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线.变式训练1[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB.证明连接NE.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为N,E分别是A1D1,B1C1的中点,所以NE∥A1B1,NE=A1B1.因为A1B1∥AB,A1B1=AB,所以NE∥AB,NE=AB,所以四边形ABEN为平行四边形,所以AN∥BE.因为AN⊄平面EFDB,BE⊂平面EFDB,所以AN∥平面EFDB.连接MF(图略).同理AM∥平面EFDB.因为AN∩AM=A,所以平面AMN∥平面EFDB.探究点二平面与平面平行的性质定理【例2】

(1)如图,已知平面α∥β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD=

.

(2)[人教A版教材例题]求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.证明如图,α∥β,AB∥CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,求证:AB=CD.证明:过平行线AB,CD作平面γ,与平面α和β分别相交于AC和BD.∵α∥β,∴BD∥AC.又AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形.∴AB=CD.变式探究将例2(1)改为:若点P位于平面α,β之间(如图),其他条件不变,试求BD的长.变式训练2已知平面α∥β∥γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C与D,E,F.已知AB=6,,求AC.探究点三探索型问题【例3】

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.解存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下:如图,取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.因为FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以FG∥平面PAB.因为AB∥CD,EF∥CD,所以EF∥AB,而EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.因为EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面PAB.又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈GH.所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.规律方法

平行关系中的转化由直线与直线平行可以判定直线与平面平行;由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行;由直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法.变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.而PO⊂平面PAO,PA⊂平面PAO,PO∩PA=P,D1B⊂平面D1BQ,QB⊂平面D1BQ,D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]设α,β为两个不重合的平面,则下列条件能得到α∥β的是(

)A.α内有无数条直线与β平行B.平面α,β平行于同一平面C.平面α,β平行于同一条直线D.α内有两条相交直线与β平行BD123456789101112131415161718解析

对于A,若这无数条直线为无数条平行线,则无法得到α∥β,A错误;对于B,平面α,β平行于同一平面,此时α∥β,B正确;对于C,平面α,β平行于同一条直线,此时平面α,β可以相交,C错误;对于D,由面面平行的判定定理可知,D正确.1234567891011121314151617182.[探究点一]已知直线a,b,平面α,β,下列命题正确的是(

)A.若a∥α,b∥a,则b∥αB.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥αC.若α∥β,b∥α,则b∥βD.若α∥β,a⊂α,则a∥βD解析

若a∥α,b∥a,则b∥α或b⊂α,故A错误;由面面平行的判定定理知B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故C错误.故选D.1234567891011121314151617183.[探究点一·2023湖北随州高一]已知m,n,l1,l2表示直线,α,β表示平面.若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是(

)A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2D解析

若m∥β且l1∥α,则α,β可能相交,故A错误;若m∥β且n∥β,要得出α∥β,必须满足m,n相交,故B错误;若m∥β且n∥l2,要得出α∥β,必须满足m,n相交,故C错误;如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行,故选项D可以推出α∥β,故D正确.故选D.1234567891011121314151617184.[探究点一]在正方体EFGH-E1F1G1H1中,四对截面彼此平行的一对是(

)A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1GA解析

如图,易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.又E1G1∩G1F=G1,E1G1,G1F⊂平面E1FG1,所以平面E1FG1∥平面EGH1.即选项A正确.故选A.1234567891011121314151617185.[探究点二]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是(

)A.矩形

B.菱形C.平行四边形

D.正方形C解析

因为平面和左右两个侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.故选C.1234567891011121314151617186.[探究点一]下列说法正确的是(

)A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行D.若三条直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行B解析

平行于同一条直线的两个平面可以平行,也可以相交,故A错误,B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,故C错误;因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行,故D错误.故选B.1234567891011121314151617187.[探究点二]过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是

.

l∥A1C1解析

因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.1234567891011121314151617188.[探究点二]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则MN=

AC.

1234567891011121314151617189.[探究点一·2023山东高一专题练习]如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点.求证:平面MNP∥平面A1BD.123456789101112131415161718证明如图,连接B1D1.因为P,N分别是D1C1,B1C1的中点,所以PN∥B1D1.因为DD1∥BB1,DD1=BB1,所以四边形B1BDD1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以PN∥BD.因为PN⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD,所以PN∥平面A1BD.同理,MN∥平面A1BD.又因为MN∩PN=N,PN,MN⊂平面MNP,所以平面MNP∥平面A1BD.12345678910111213141516171810.[探究点二·2023辽宁高一专题练习]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,过AB的截面与上底面交于直线PQ,且点P在棱A1C1上,点Q在棱B1C1上.求证:PQ∥A1B1.证明因为正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,平面ABC∩平面ABQP=AB,平面ABQP∩平面A1B1C1=QP,所以AB∥PQ.又因为正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为平行四边形,故有AB∥A1B1,所以PQ∥A1B1.12345678910111213141516171811.[探究点三·2023浙江高一专题练习]如图,AB是圆柱底面圆O的直径,点C,F是

的两个三等分点,CD,BE为圆柱的母线,求证:EF∥平面OCD.123456789101112131415161718证明如图,连接BF,OF.因为AB是圆O的直径,C,F是

的两个三等分点,则∠AOC=∠BOF=60°.因为OF=OB,所以△BOF是正三角形,则∠OBF=∠AOC=60°,则BF∥OC.又BF⊄平面OCD,OC⊂平面OCD,故BF∥平面OCD.又CD,BE均为圆柱的母线,则BE∥CD.因为BE⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,故BE∥平面OCD.又BE∩BF=B,BE,BF⊂平面BEF,故平面BEF∥平面OCD.而EF⊂平面BEF,所以EF∥平面OCD.123456789101112131415161718B级关键能力提升练12.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,所有的动点C(

)A.不共面B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A,B如何移动都共面D解析

由面面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上.12345678910111213141516171813.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段

D12345678910111213141516171814.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.则在四棱锥P-ABCD中,AP与平面EFG的位置关系为

.

平行12345678910111213141516171815.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是

.直线MD与平面BCC1B1的位置关系是

.

相交平行12345678910111213141516171816.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N

在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.123456789101112131415161718证明(方法一)如图,作ME∥BC交B1B于点E,作NF∥AD交AB于点F,连接EF,则EF⊂平面AA1B1B.∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,∴B1M=BN.又B1M=BN,B1C=BD,∴四边形MEFN为平行四边形.∴MN∥EF,∴MN∥平面AA1B1B.123456789101112131415161718(方法二)如图,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P.则B1P⊂平面AA1B1B.∴MN∥B1P.∵B1P⊂平面AA1B1B,MN