沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第18讲 直角三角形的判定、性质和推论(解析版)

直角三角形的全等判定及性质

内容分析

直角三角形是特殊的三角形，本节主栗讨论直角三角形全等的判定定理和性

质，难点是直角三角形的性质及应用.综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连

接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解.

加知识结构

模块一：直角三角形全等的判定

知识精讲

1、直角三角形全等的判定方法:

(1)直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都

适用;

(2)直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直

角三角形全等(简记L”).

例题解析

【例1】如图，ZD=ZC=90°,请添加一个条件，使得ZVIBC义ARW,并在括号内写出判

定的依据.DC

⑴AD=()；

(2)ZDAB=()./

【答案】BC,H.L；ZCBA,AAS./

【解析】(1)有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全V-----------------------------

A

(2)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.

【总结】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理.

【例2】已知：如图，EFLAD,BCLAD,AG=DH,AF=DC,那么图中全等的三角形共有

______对.

EB

【例3】下列命题中，正确的个数是()

①两条边分别相等的两个直角三角形全等；

②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；

③斜边相等的两个等腰直角三角形全等.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】①错误；②、③正确.

【总结】考查直角三角形全等的判定定理.

【例4】已知：如图，AC±BC,ADLBD,AD=BC,CELAB,DFLAB,垂足分另U是E、F,

求证：CE=DF.

A

EFB

【解析】-AC±BC,AD±BD,

:.ZACB=ZBDA=90°

在RTAACB和RT^BDA中,

[AB=BA

\BC=AD

RTAACB丝RTABDA(H.L)

NCAB=ZDBA(全等三角形对应角相等)，AC=BD(全等三角形对应边相等)

CE±AB,DF±AB:.ZAEC^ZBFD=90°

在RTAAEC和RTABFD中

ZAEC=NBFD

<ZCAB=NDBA,/.RT^AEC"RTABFD(A.A.S)

AC=BD

:.CE=DF（全等三角形对应边相等）

【总结】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理的综合应用.

【例5】如图，已知：中，/ACB是直角，。是AB上一点，BD=BC,过。作A?

的垂线交AC于求证：CD_LBE.

【解析】ZACB=90°,DELAB,ZECB=ZEDB=90°.

在RTABEC和RTABED中，

[BE=BE,

\:.RTABEC与RI\BED（H.L）

[BC=BD

:.EC=ED（全等三角形对应边相等）

在CD的垂直平分线上（垂直平分线逆定理）

又•.•BC=8D（已知），.13也在CD的垂直平分线上（垂直平分线逆定理）

.〔BE垂直平分CD（两点确定一条直线），即COLBE.

【总结】考查直角三角形斜边直角边判定的用法以及垂直平分线的性质定理的逆定理的应用.

【例6】如图，AABC中,AB±BC,AD平分NBAC,DF±AC,ED=CD.求证:AC=AE+2BE.

【解析】•.•AD平分NBAC,S.AB1BC,DFLAC

:.BD=FD（角平分线性质定理）

BDC

在RTABED和RTAFCD中，

\ED=CD,、

\,:.RTABED冬RTAFCD(H.L)

[BD=FD

:.BE=FC(全等三角形对应边相等)

同理可证：RTAABDRTAAFD(H.L),

:.AB=AF(全等三角形对应边相等)

AC=AF+FC,AB=AE+BE,

:.AC=AE+2BE.

【总结】本题主要考查直角三角形全等判定与角平分线性质的综合应用.

【例7】如图1,点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF,过£、歹分另lj作DELAC,BFL

AC.若AB=C£),

(1)BD与EF有什么关系?为什么？

(2)若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由.

【答案】(1)2。与所互相平分；

A

(2)成立.

【解析】(1)提示：证RTAABF义RTKDE(HZ)；

RTQEG丝RTABFG(AAS)

得：EG=FG,DG=BG(全等三角形对应边相等)

(2)同理可证，结论成立.

【总结】考查直角三角形全等的判定及全等三角形

的判定定理的应用.一可

D

图2

【例8】在直角△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直线/为经过点A的任一直线，BDM

于点D,CE，/于点E,若BD〉CE,试问：

(1)AO与CE的大小关系如何?请说明理由；

(2)线段8。、DE、CE之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试.

【答案】(1)AD=CE-.(2)BD=CE+DE.

DC

【解析】(1)•••za4c=90。，:.ZBAD+ZCAE=90°,

•;BD工1,CE±l,ZBDA=ZAEC=90°,

:.ZDBA+ZBAD=90°,:.ZDBA=ZEAC

在RTAABD和RTKAE中，

ABDA=NAEC

<AB=CA,:.RTAABD咨RTCAE(AS.A)

ZDBA=NEAC

:.AD=CE(全等三角形对应边相等)

(2)BD^CE+DE

■.■AD^CE,y.-.-AE^AD+DE,

AE=CE+DE

•.•R7\ABD沿RTKAE,

:.BD=AE

BD=CE+DE.

【总结】考查全等三角形的应用及线段间的等量代换.

【例9】如图，在△A2C中，AB=AC,DE是过点A的直线，BD_LDE于D,CE_LDE于E.

（1）若BC在DE的同侧（如图1）,1.AD=CE,求证：ABLAC.

（2）若BC在OE的两侧（如图2）,其他的条件不变，问4B与AC仍垂直吗?若是,

请予以证明，若不是，请说明理由.

【解析】（1）证明：CE±DE

.\ZBDA=ZAEC=90°.

在R7ZBDA和RT^AEC中，

(AB=CA/、

\，:.RT^ABD名RMCAE(//.£)，

[AD=CE

ZDAB=ZECA.•••ZAEC=90。，/.ZCAE+ZECA=90°,

:.ZCAE-^ZDAB=90°.,\ZBAC=90°,

:.AB±AC.

(2)AB±AC.

同理可证：RT^ABD咨RTACAE,则可证44c=90。，

即ABLAC.

【总结】考查直角三角形全等的判定及同角的余角相等相结合.

【例10]如图，在△A3C中，ZACB=90°,CD是斜边A3上的高，在A3上截取AE■二AC

过点E作£尸〃CO、交3。边于点尸，EG垂直3C于点G,求证：DE=EG,

【解析】联结CE

-AE=AC,:.ZACE=ZAEC

•・•ZACB=90°,/.ZACE+ZECG=90°

\CD±AB,ZAEC-^-ZECD=90°

:.ZECD=ZECG

又・.CD_LAB,EGLBC

,\DE=GE

【总结】考查等边对等角及角平分线性质定理的综合运用.

模块二：直角三角形的性质

知识精讲

2、两个性质:

(1)直角三角形的两个锐角互余；

(2)在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.如果有直角三角形，作斜边的

中线这条辅助线，可达到解决问题的目的.

例题解析

【例11]如图，在中，ZACB=90°,CD_L4B于。:

(1)若/B=55°，则/A=

(2)若/B—/A=10°,则

(3)图中与NA互余的角有,与NA相等的角有.

【答案】(1)35°；(2)50°；(3)ZB、ZACD■,ZBCD.

【解析】直角三角形的两个锐角互余，题目中有三个直角三角形AABC、AACD、ABCD.

【总结】直角三角形性质1：直角三角形的两个锐角互余的运用.

【例12]如图，已知，四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,M、N分别是AC、BD中

点.求证：MNLBD.

【解析】联结A/D、MB.\

ZABC=ZADC=90。，M分别是AC中点

I1B'C

:.BM=-AC,DM^-AC(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)

22

:.BM=DM,•.•?/是中点，:.MN±BD(等腰三角形三线合一).

【总结】考查直角三角形斜边中线性质及等腰三角形三线合一性质的综合运用.

【例13]如图，在中，ZC=90°,A3的中垂线交AB于£、AC于。，BD、CE

交于F,设ZDFC=x,A

(1)求证：/CDB=/CEB；\

(2)用x的代数式表示y.\

【答案】⑴略；(2)y=60°-1x.

【解析】(1)•."ZC=90°,AB的中垂线交AB于E夕[夕

:.AE=BE=-AB,CE=-AB(直角三角形斜边中线等于斜边一半)CB

:.AE=CE,:.ZA=ZACE,:.NCEB=2ZA.

又TAB的中垂线交AB于E,;.AD=DB（垂直平分线的性质）

:.ZA=ZABD,:.ZCDB=2ZA,:.CDB=ZCEB

（2）■.■ZA=y,ZDFC=x,ZA=ZACE,ZA=ZABD

又•；NCDB=ZA+ZABDNCDB=2y,ZACE=y

ZACE+ZCDB+ZDFC=180°.

即x+3y=180。，:.y=6Q°-^x

【总结】主要考查：直角三角形斜边中线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和性

质的综合运用.

【例14】如图AABC中，AO是BC边上的高，CF是AB边的中线，BF^DC,P是CF

中点.求证：（1）DPIFC；（2）ZB=1ZBCF.

【答案】略

【解析】（1）联结DR

•.•AO是BC边上的高，CF是AB边的中线，BF=

；DF是直角AABD斜边上的中线，:.DF=-AB,

2

­.BF=DC,:.DC=DF,又•.「是CF中点，:.DP±CF.

（2）-.BF=DF,:.ZB=ZBDF,:DF=DC,:.ZBCF=ZDFC.

NBDF=ZBCF+ZDFC=2ZBCF,:.ZB=2ZBCF.

【总结】考查等腰三角形的判定与性质，注意掌握直角三角形中，斜边中线等于斜边一半的

定理应用.

【例15]如图，AB,CD交于点。，且CA=CO,E、F、M分别是OD、。4、

BC的中点，求证：ME=MF.

【答案】略

【解析】联结BE,CF

■,BD=BO,CA=CO,E、尸分别是。D、OA的中点

:.BELDO,CFLAO

・••M是的中点

:.EM=-BC,FM=-BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

22

:.EM=MF

【总结】本题主要考查直角三角形的性质与等腰三角形性质的综合运用.

【例16]如图，在梯形ABC。中，AD//BC,M、N分别是AD、BC的中点，若N3与

/C互余，则与(BC-AQ)的关系是什么?

【答案】MN=i（BC-AD）

【解析】过点M分别作ME/MB,MF//DC,

交3c于点E、F

:"B=NMEF,2C=4MFE,rNB与NC互余，:.ZMEF+ZMFE^90°,

:.ZEMF=9Q°,即AMEF为直角三角形.

•.•在梯形ABCO中，AD//BC,ME//AB,MF//DC,AM=BE,DM=CF,

-.-M,N分别是AD、BC的中点，AM=DM,BN=CN

:.BC-AD=BC-（BE+CF）=EF,EN=FN

:.MN=-EF:.MN=^（BC-AD）

2

【总结】考查直角三角形斜边中线性质的应用.

【例17]如图，已知在钝角AABC中，AC.BC边上的高分别是BE、AD,BE、AD的延

长线交于点〃，点AG分别是BH、AC的中点.

(1)求证：ZFDG=90°；

(2)连结PG,试问AFDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定NA3C的度数，并

写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由.，

【解析】(1)证明：♦「AC、8c边上的高分别是BE、AD,

又•.,点F、G分别是①/、AC的中点，

.-.DG=CG=-AC,:.DF=BF=-BH(斜边中线等于斜边的一必、/

22

/.ZGDC=ZGCD=ZBCE,:.ZDBF=ZBDF,

AGDC+ZBDF=ZBCE+ZDBF,又・.・AE工BH,ZBCE+ZDBF=900'

ri

ZGDC+ZBDF=90°,即ZFDG=90°

(2)能，ZABC=45°.

若AGOF为直角等腰三角形，则GD=ED,.•.ACuB”,

:.@CD沿ABHD(A.A.S),:.AD=BD,.\ZABC^45°.

【总结】主要考查对直角三角形性质的掌握，以及能否灵活的运用.

【例18】如图，等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AO为腰CB上的中线，CE±AD

交AB于E.求证：ZCDA=ZEDB.

【解析】过点C作CHJ_回于点H,交AD于点尸.

,等腰直角三角形ABC中，ZACB=9Q°,

:.AB=45°.

■.■CHYAB,:.NACH=NBCH=45。,

:.ZACF=ZBCH=ZB

5L-：CE^AD,.-.Z1=Z2.

在AACF和ACBE中，

ZACF=ZB

<AC=CB,

Z1=Z2

.1△ACF=ACBE(AS.A),

CF=BE.

■：AD为腰CB上的中线，

CD=BD.

在ACFD和ABED中,

CF=BE

-ZDCF=ZB,

CD=BD

：.ACFD色ABED(SAS)

:.ZCDF=ZBDE,

即ZC7M=ZEDB.

【总结】考查学生对辅助线的添加及全等三角形的构造能力.

【例19]如图，点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△回£和△8CF,连接

AF,CE,取ARCE的中点M、N,连接MB、NB、NM.

(1)若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且/尸BC=90°,如图1所示，

则△MBN是三角形；

(2)若/XABE和△FBC中，BA=BE,BC=BF,S.ZABE=ZFBC=a,如图2所示，

则丛MBN是______三角形，且ZMBN=；

(3)若(2)中的△A3E绕点2旋转一定的角度，如图3,其他的条件不变那么(2)

中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出

证明.

【答案】(1)等腰直角；(2)等腰，e；(3)结论仍然成立.

【解析】(1)易证AAB尸之AEBC,AF=EC,

:.BM=BN,：.AAMBgAENB,/.ZMBA=ZNBE

ZMBA+ZMBF=90°,ZMBF+ZNBE=9Q0

即NMBN=90。，.•.△MBN为等腰直角三角形

AC

图1

(2)根据题意，可知AABF咨AEBC,:.BM=BN

即4WBN为等腰三角形，■.■ZABM=ZEBN

:.ZABE=ZMBN=a,:.ZMBN=a

(3),:AABF名AEBC,■-AF=CE,ZAFB=ZECB

:.FM=CN,:.AMFB之ANCB

BM=BN,ZMBF^ZNBC

ZMBN=ZMBF+NFBN=ZFBN+ZNBC=ZFBC=a

【总结】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形和

全等三角形的判定.掌握等腰三角形和全等三角形的性

质及判定并学会灵活运用是解题的关键.

【例20]已知，如图，在AABC中，边AB上的高CF边BC上的高与边CA上的高

BE交于点”，连接ERA"和BC的中点为N、M.

求证：MN是线段EF的中垂线.

【解析】连接9、EM、FN、EN

；4FC=9O。，M为3c的中点，Z.FM=-BC

2

VZBEC=90°,M为BC的中点，

：.EM=-BC,：.FM=ME

2

VZAFH^90°,N为AH的中点，：.FN=-AH

2

；NAEH=90。，N为AH的中点，：.EN=-AH,

2

：.FN=EN,VFM=ME,FN=EN

：.MN是线段EF的中垂线.

【总结】考察直角三角形的性质和线段垂直平分线性质定理逆定理的综合运用.

模块三：直角三角形性质的推论

知识精讲

3、推论:

(1)在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半;

(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐

角等于30°.

例题解析

【例22】WABC中，AB=AC=6,ZB=30°,则BC边上的高AO=；

(2)△ABC中，AB=AC,ABHM®；CD=-AB,则1页角/BAC=

2

【答案】(1)3；(2)30。或150。.

【解析】(1)在RTAABD中，乙?=30。，贝=

一2

(2)要分两种情况考虑，△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形;

当△ABC是锐角三角形时，440=30。；

当△ABC是钝角三角形时，44c=150。.

【总结】考查直角三角形性质的两条推论的运用以及分类讨论思想.

【例23]如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB,则/EBC的

度数为.

【答案】15°.

【解析】过点E作垂足为H,则=

又•；AB=2BC,AE=AB,

:.AE=2EH,.-.ZE4B=30°

:.ZABE^15°,

:.ZEBC=15°

【总结】考查直角三角形性质的推论的运用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的

一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

【例24】已知：如图，在△ABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分线MN交AC于

D,求证：AD=-DC.

2

【解析】连接8。

；BA=BC,ZB=120°,ZA=ZC=30°

•.•AB的垂直平分线MN交AC于D,AZ)=03,

ZA=ZD^4=30°

VZB=120°,ZDBC=120°-30°=90°

,/ZC=30°,ZDBC=90°,ABD=-DC

2

VAD=DB,：.AD=-DC

2

【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形性质的综合运用.

【例25】已知：如图，RtAABCRtAABD+,DA=DB,ZADB=90°,BC=-AB,

2

ZACB=90°,DELAB,联结DC,求N£DC的大小.

【答案】75°.

【解析】连接CE

"DA=DB,DELAB,：.AE=EB

,JRt^ABC,BC=-AB,：.ZCAB=30°

2

RtAABC,AE=EB,：.AE=CE

：.ZCAB=ZACE,；.ZCEB=ZCAB+ZACE=60°

DELAB,：.ZDEC=90°-60°=30°

"RtAABC^WRtAABD,AE=EB

：.DE=^AB,CE^^AB,:.DE=CE

1QQO_QQO

ZDEC=30°,,・・/EDC==75°

2

【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质和等腰三角形性质的综合运用.

【例26］已知如图，在直角△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,。为AB上一点,

且=求证：CZ)_LAB.

4

【答案】见解析

【解析】取的中点E,连接CE

"：BE=-AB,BD=-AB,

24

2BD=BE,：.ED=DB

ZACB=90°,ZA=30°,/•BC=-AB

2

ZACB=9Q°，AE=EB，ACE=-AB,:.BC=CE

2

,:BC=CE,ED=DB,：.CDLAB.

【总结】考察直角三角形的性质的应用及等腰三角形三线合一性质的运用.

【例27】已知等边△ABC中，。、E分别是BC、AC上的点，且AE=CDAD与BE相交

于点F,过点3作2GLAD,垂足为G,

(1)求EG：的值;

(2)若£＞、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立,

请说明理由.

G

B

【答案】（1）1：2；（2）见解析.

【解析】(1)VZACD=ZBAE,AE=CD,AB=CA,

△ABE当△C4D,AZCAD=ZABE

'：ZCAD+ZBAF=60°,：.ZABE+ZBAF=60°

：.ZBFG=60°,ZFBG=30°

"：BG.LAD,：.FG=-BF,

2

BPFG：BF=1：2；

（2）若。、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，也可以用同样的方法证

明出两个三角形全等，进而得到结论.

【总结】考察直角三角形的性质的应用及利用三角形的外角性质求角的度数.

【例28】在ZABC中，已知/幺=60。，BE±ACE,C以LA3于尸，点。是BC中点.

（1）如果AB=AC,求证△DEF为等边三角形；

（2）如果那C,试猜想ZDEF是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明

理由；A

（3）如果CM=4,FM=5,求BE的长度./\

【答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析；（3）12.夕\

【解析】（1）点。是BC中点，DE=DC=^BC/

VCFXAB,点D是BC中点，ADF=BF=-BC,：.DE=DFR---------Ac

2D

'：ZA=60°,AB=AC,.♦.△ABC是等边三角形，/.ZABC=ZACB=60P

'：DE=DC,ZACB=60°,/.ADEC是等边三角形，/.ZEDC=60°

DF=DB,ZABC=60°,；.ABFD是等边三角形，；.ZFDB=60°

ZFDE=180。—60。—60°=60°

DE=DF,：.ADEF为等边三角形

（2）'：BE±AC,点。是BC中点，ADE=DC=-BC

2

,/CFLAB,点D是BC中点，ADF=BF=-BC,：.DE=DF

2

"：ZA=60°,；.ZABC+ZACB=120°,

,/DE=DC,；.ZDEC=ZACB

"?DF=DB,：.ZDFB^ZABC,

ZFDE=180°-ZFDB-ZEDC

=180°-(180°-2ZABC)-(180°-2ZACB)

=2(ZABC+ZACB)-180°=60°

DE=DF,：.△D&F为等边三角形

(3)ZA=60°,BEL4c于E,CFLAB,：.ZFBM=ZECM=30°

；.FM=-BM,EM=-CM

22

CM=4,FM=5,：.EM=2,BM=10,

：.BE=BM+ME=\Q+2^\2

【总结】考察直角三角形性质及等边三角形性质的综合运用.

【例29】已知/MAN,AC平分NM4N,

(1)在图1中，若NMAN=120。，ZABC=ZADC=90°,求证：AB+AD=AC.

(2)在图2中，若/AMN=120。，ZABC+ZADC=1SQ°,则(1)中的结论是否

仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

：.AB=-AC,AD=-AC

22

AB+AD=-AC+-AC=AC；

22

(2)过C作CE_LAM,过C作CF_LAN,垂足分别为£、F

：AC平分/MAN,CELAM,CFLAN,

：.CE=CF

：ZABC+ZADC=1SQ°,ZMDC+ZADC=liQ°,

：.ZEDC=ZABC

VZEDC=ZABC,CE=CF,NCED=NCFB

：.△CEO名ACBF,ED=BF

AD+AB=AE-DE+AF+BF=AE+AF

VZMAN=12.0°,AC平分NWW,

ZCAD=ZCAB=60°

'：ZABC=ZADC=9Q°,

ZACE=ZACF=30°,

：.AE=-AC,AF=-AC

22

AB+AD=-AC+~AC=AC

22

【总结】考察角平分线的性质和直角三角形的性质的综合运用.

随堂检测

【练习1】下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是).

A、两条直角边对应相等

B、斜边一个锐角对应相等

C、一条直角边和一条斜边对应相等

D、一条边和一个角对应相等

【答案】D

【解析】A的理由是S.AS；B的理由是A.AS,C的理由是“Z

【总结】考察直角三角形全等的判定.

【练习2】如图在AABC中，ZACB=90°,在AB上截取AE=AC,BD=BC,则

ZDCE=.

【答案】45°

【解析】ZDCE=180°—NCDE—NCED

lono1800-ZB1800-ZA

22

=4+4=45。.

2

【总结】本题主要考查等边对等角及三角形内角和定理的综合运用.

【练习3】如图在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点。，乙4=30°,则=AB

【答案】

4

【解析】•・,ZA+ZACD=90。，ZBCD-^-ZACD=90°,

：.ZBCD=ZA=30°

VZACB=90°,ZA=30°，：.BC=-AB

2

VZBDC=90°,ZBCD=3QP,：.BD=-BC,/.

2

【总结】考察直角三角形的性质的运用.

【练习4】如图，在直角△ABC在，ZACB=90°,AB=8cm,。为AB的中点，DE1AC

E,ZA=30°,求BC、CD和。E的长.

【答案】BC=4cm,CD=4cm,DE=2cm.

【解析】u：ZACB=90°,AB=8cm,。为AB的中点，NA=30°,

：.CD=-AB=4,BC=-AB=4IU：

22

:DELAC,ZA=30°,：.DE=-AD=2.

2

【总结】考察直角三角形的性质的运用.

【练习5】如图，ZU2C中,ADLBC于点D,BELAC于点E,交AL（于点〃，且AD=BD,

AC=BH,连接C”.求证：ZABC=ZBCH.

【答案】见解析

【解析】〈NBDH=ZADC=9。,AC=BH,AD=BD

：.ABHD^AACD,；.DH=DC

•：AD±BC,：.ZCHD=ZBCH=45°

VAD=BD,AD±BC,：.ZABC=ZBAD=45°,

：.ZABC=ZBCH.

【总结】考察直角三角形全等的判定和性质的运用.

【练习6】如图，已知，在锐角三角形ABC中，ZABC=2ZC,A。，3c于点D,E为AC

的中点，ED的延长线交AB的延长线于点孔求证：BF=BD.

【解析】"：AD±BC,E为AC的中点，

DE^EC=-AC,/.NC=NEDC

2

,/ZEDC=ZBDF,ZC=NBDF

'：ZABC=2ZC,：.ZABC=2ZBDF

,/ZABC=ZBDF+ZF,ZBDF=NF,：.BF=BD.

【总结】考察直角三角形的性质和三角形外角性质的综合运用.

【练习7】如图，在△ABC中，2ELAC于点E,CPLA2于点RD是边2c的中点，连接

DF、EF、DE.

(1)求证：ED=DF；

(2)若△DEP是等边三角形，则AABC应满足什么条件?

【解析】(1)点。是BC中点，

/•DE=DC=-BC

2

•：CF±AB,点。是BC中点，

/•DF=BD=-BC,

2

/.DE=DF；

(2)/A=60。时，△£)£尸是等边三角形.

'：BE±AC,点。是BC中点，DE=DC=-BC

2

'：CF±AB,点。是BC中点，

/.DF=BF=-BC,：.DE=DF

2

ZA=6Q°,ZABC+ZACB=120。，

DE=DC,；.ZDEC=ZACB

"?DF=DB,：.ZDFB=ZABC,

ZFDE=180°-ZFDB-ZEDC

=180°-(180°-2ZABC)-(180°-1ZACB)

=2(ZABC+ZACB)-180°=60°

"?DE=DF,

.•.△D所为等边三角形

【总结】考察直角三角形的性质和等边三角形判定的综合运用.

【练习8】如图，AD〃BC,且8Z)_LCD,BD=CD,AC=BC.求证：AB=BO.

【解析】过A作AELBC垂足为E,过D作。FLBC,垂足为尸

VBDXCD,BD=CD,DF±BC,：.DF=-BC

2B

'：AE±BC,DF±BC,AD//BC,

四边形AEFD是长方形，AE=D尸

VDF=-BC,AE=DF,AC=BC

2

：.AE=-AC,：.ZACB=3Q°

2

"AC^BC,：.ZBAO=ZABC=75°

'：BDLCD,BD=CD,：.ZDBC=45°,/.ZABD=30°

ZBAO=75°,；.ZAOB=75°

二ZBAO=ZAOB,：.AB=BO

【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形性质的应用.

【练习9]已知：如图在△ABC中，是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE,

DG1CE,垂足为点G.

求证：/AEC=3/DCE.

【答案】见解析

【解析】联结即

是BC边上的高，CE是AB上的中线，

ED=BE=-AB

2

,/DC=BE,：.DE=DC,：.ZDCE=ZDEC

：.ZEDB=ZDCE+ZDEC=2ZDCE

VBE=ED,：.ZB=ZEDB,:.ZB=2ZDCE

ZAEC=ZB+ZDCE=3ZDCE

【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形的性质的综合应用.

【练习10]如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是2C、AC上的一点，且AE=CD,

AD与BE相交于点FCF±BE.求AK的值.

【答案】1:2.

【解析】过2作BKLA。的垂线，垂足为K

•/AB^AC,ZBAE=ZACD,AE=CD,

：.AABE^ACAD,

：.ZDAC=ZABE

：.ZBFD=ZABE+ZBAF=ZDAC+ZBAF=60。

VZBFD=6O°,BK1AD,

：.ZFBK=3Q°,/•FK=-BF

2

'：ZBAK=ZCBF,ZAKB=ZBFC,AB=BC

：.AABK色&BCF

：.AK=BF,AF+FK^BF

：.AF+-BF=BF

2

/.BF=2AF,即AF：BF=1:2

【总结】考察全等三角形的判定和性质以及直角三角形性质的综合运用.

【练习11]如图，在直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3为边向外作等边

三角形ABO,AE_LB。于点E,AE交C。于点K

(1)线段DM与线段BC有怎样的数量关系?并证明；

(2)若△ABC于△AB。在AB的同侧，C。的延长线与AE的延长线交于点请在图2

中画出AAB。与点M；线段。M与BC仍有(1)中的数量关系吗?并证明.

【解析】(1):直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,等边三角形ABD,

AZC4D=150°,AC=AD

：.ZADC=1(180°-ZC4D)=15°

"?ZADB=60°,；.Z.CDB=45°

•JAELBD,...△OWE是等腰直角三角形

DM=6DE

;等边三角形ABD,AELBO于点E

1-Jl

：.DE=—DB,：.DM^—DB

22

•.,直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.BC=6AB

DB=AB,：.BC=42DB

课后作业

【作业1】下列命题中，正确的有（）个

①腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等

②有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等

③有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】（1）（2）对，（3）错误，满足条件的三角形可以是锐角三角形也可以是钝角三角形.

【总结】考察三角形全等的判定方法.

【作业2】（1）直角WABC中，ZC=90°,CDLAB,点E是AB的中点，ZACD=25°,

则ZECB=

(2)直角△ABC中，ZC=90°,CDLAB,点E是A3的中点，ZDCE=10°,

则/8=

【答案】(1)25°；(2)40°.

【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的

角度之间的关系可得到答案.

【总结】考察直角三角形的性质.

A

【作业3】如图，中，AB=AC,DB=DC,DE1AC,AC=2AD,AB=8,

贝l]AD=,AE=

【答案】4；2.

【解析】VAB^AC,DB=DC

VAC^2AD,：.AC=30°,

,：DEIAC,：.ZADE=ZB=30°,：.AE=-AD^2.

2

【总结】考察等腰三角形的性质和直角三角形性质的综合运用.

【作业4】（1）等腰三角形底角是75°,腰长为9,则此三角形的面积是:

（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是

【答案】(1)—；(2)30°或150°.

4

【解析】（1）•••等腰三角形底角是75°..顶角为30度，则腰上的高为？，则三角形的面

2

钻斗1C981

积为一x9x—=一

224

（2）注意分锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论.

【总结】考察直角三角形的性质.注意等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形.

【作业5】已知：ABLBC,OCLLBC,点E在BC上，MAE=AD,AB=BC,求证：CE=CD.

【解析】过。作OF，AB,垂足为尸

"ABLBC,DC±BC,DF±AB,

四边形BCD尸是长方形，

/.DF^BC,BF=CD

AB=BC,：,AB=DF

'：AB=DF,AE^AD,

：.△AFD沿AEBA,

AF=BE

,:AB=BC,：.CE=BF

•；BF=CD,：.CE=CD

【总结】考察直角三角形全等的判定方法的运用.

【作业6】已知：如图，A4BC中，ZB=40°,ZC=20°,DA1.CA,求证：CD=2AB.

【答案】见解析

【解析】取CD的中点E,联结AE

"DALCA,CE=ED

：.AE=CE」CD

2

ZC=ZC4E=20°

ZAEB=ZC+ZCAE=40°

•.•々=40。，AZAEB=ZB,：.AE=AB

VAE=-CD,：.AB^-CD,即CD=2AB

22

【总结】考察等腰三角形的判定和直角三角形的性质的综合运用.

【作业7】如图，已知：ZiABC中，AB=AC,/A=60°,BD=CD,BE//AC,DE±BE,

求证：4BE=AC.

【解析】连接AD

\'AB=AC,NA=60°,

.♦.△ABC是等边三角形，：.BC=AC

'：AB=AC,BD=CD,：.AD±BC

VADAC=-ABAC=30°,ADYBC,：.DC=-AC

22

"BD=CD,：.BD=-AC

2

,/BE//AC,：.NDBE=NC=60°

,：DEA.BE,：.BE^-BD

2

VBD=-AC,：.BE^-AC,

24

即4BE=AC.

【总结】考察直角三角形的性质和等边三角形的性质的综合运用.

【作业8】在等腰直角△A2C中，D是斜边的中点，E、尸分