2020-2021学年高二下学期开学考试数学理试题解析版

2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：将双曲线方程转化为标准方程为，所以，所以，所以，故选D．【解析】双曲线的标准方程，离心率的定义．2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D【详解】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．【解析】分层抽样方法3．圆O1：和圆O2：的位置关系是A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【答案】B【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．【解析】圆与圆的位置关系．4．若样本数据的标准差为16，则数据，的标准差为（）A．15 B．16 C．32 D．64【答案】C【分析】根据标准差公式，找出变化前后标准差的关系，即可求解.【详解】设变化前的平均数为，标准差为，变化后的平均数为，标准差为.根据题意得，，，故，因此.故选：C.5．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则A．平均数为64 B．众数为7 C．极差为17 D．中位数为64.5【答案】D【详解】由茎叶图可知：该组数据为，平均数为，众数为，极差为，中位数为，故选D.6．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B． C． D．【答案】B【详解】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.7．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为A． B．C． D．【答案】C【详解】由算法流程图知s＝0＋＋＋＝.选C.8．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6.根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的户数约为（）

城市/户

农村/户

有冰箱

356

440

无冰箱

44

160

A．1.6万户 B．4.4万户C．1.76万户 D．0.24万户【答案】A【详解】试题分析：由题意得，估计该地区农村住户中无冰箱的户数约为人，故选A.【解析】分层抽样.9．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.【详解】联立得，所以两直线交点坐标为，所求直线为，整理得.故选：A.10．已知直线和圆相交于两点．若，则实数a的值为（）A．-2 B．-4 C．-6 D．-8【答案】B【分析】先求出圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，由勾股定理可得弦长即可求解.【详解】由可得：，所以圆心，，圆心到直线的距离为，由，即所以，解得：，故选:B【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果.11．已知过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若3，则直线l的斜率为（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值.【详解】作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E.∵3，∴设AF＝3m，BF＝m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC＝3m，BD＝m.因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得∠BAE＝60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，得直线AB的斜率k＝tan60°，故选：D.【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.12．椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A． B．C． D．－1【答案】D【分析】设F（－c,0）关于直线x＋y＝0的对称点为A（m，n），利用中点坐标公式以及直线的斜率与直线x＋y＝0斜率之积为，求出点，代入椭圆方程化简即可求解.【详解】设F（－c,0）关于直线x＋y＝0的对称点为A（m，n），则，解得m＝，n，代入椭圆方程可得化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、中点坐标公式以及两直线垂直斜率之积等于，注意，此题属于基础题.二、填空题13．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则等于__________【答案】【分析】利用椭圆的定义可求得的值.【详解】在椭圆中，，由椭圆定义可得.故答案为：.14．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________．【答案】【详解】∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，结果包括：正正、正反、反正、反反.∴出现两个正面朝上的概率是.故答案为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15．过点的直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则直线的斜率为_________【答案】【分析】设，，，，是线段的中点，利用“点差法”可求得直线的斜率．【详解】设，，，，是线段的中点，则，；点，代入椭圆方程作差，得：，所以由题意知，直线的斜率存在，所以，，故答案为：16．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，定点，则的最小值是_____________．【答案】【分析】根据题意，结合双曲线的定义，可以把转化为以、和双曲线右焦点为顶点的三角形的两边之和问题，再根据三角形两边之和大于第三边即可求解.【详解】设双曲线的右焦点，则，，由是双曲线右支上一动点，根据定义得，即，故.故答案为：.三、解答题17．已知圆心为的圆经过点和，圆心在直线上，求圆的方程.【答案】.【分析】设出圆的标准方程，根据题意列出方程组，通过解方程组即可得到圆的方程.【详解】设圆的方程为：，由圆经过点和，圆心在直线上，则，计算得，故圆的方程为：.18．双曲线的中心在原点，焦点在轴上.已知的实轴长为，焦距为，（1）求双曲线的方程（2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知，从而可求出，再结合求出，进而可得双曲线的方程；（2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为，因为双曲线的实轴长为，焦距为，所以，得，所以，所以双曲线方程为，（2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为，设，由，得，所以，所以19．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月用水量的中位数.【答案】(1)；(2)36000；（3）.【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【解析】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．20．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份

2010

2011

2012

2013

2014

时间代号

1

2

3

4

5

储蓄存款（千亿元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y关于t的回归方程（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程中【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千亿元.【详解】试题分析：（Ⅰ）列表分别计算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，从而就可得到回归方程，（Ⅱ）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．试题解析：（1）列表计算如下i

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

10

25

50

15

36

55

120

这里又从而.故所求回归方程为.（2）将代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为【解析】线性回归方程.21．动点到点的距离与它到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）直线与交于两点，且，求实数值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据题意，列出距离的比例关系，化简即可得到的方程；(2)根据题意，联立方程组，结合韦达定理表示出与，再根据，即可得到实数值.【详解】(1)设点，则根据题意得，化简得，故的方程为：.(2)设，，联立，得，由，得，由韦达定理得：，，故，因，则，即，解得，又因，所以.22．已知椭圆的一个顶点为，离心率为（1）求椭圆的方程（2）如图，过作斜率为的两条直线，分别交椭圆于，且证明：直线过定点并求定点坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，恒过定点．【分析】（1）利用椭圆过点，以及离心率为．求出，，即可得到椭圆方程．（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解．当直线斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，