2022-2023学年九年级上学期同步讲练(人教版)第24章 重点突破训练：垂径定理的应用举例(含详解)

第24章重点突破训练：垂径定理的应用举例

考点体系

考点1：垂径定理的常规应用

典例：（2020.湖北中考真题）如图，点A8,。,。在OO上，垂足为E.若/位Q=30。，AE=1，

则BC=（）

A.2B.4C.73D.2G

方法或规律点拨

本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键.

巩固练习

1.（2019•金昌市金川总校第五中学初三期中）如图，AB是。O的弦，AB=8,直径CD±AB于M,且DM=8,

则。。的半径为（

2.（2020•海南琼海初三其他）如图，点A,B,C,。都在半径为4的。O上，若O4_LBC,ZCDA=30°,

则弦的长为（）

A.4B.40C.4GD.6

3.（2020•山东东明初三其他）如图，在。O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2

币,CD=1,则BE的长是（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2019・景泰县第四中学初三一模）如图，在。O中，CD是直径，弦ABLCD,垂足为E,连接BC.若

AB=20,NBCD=30。，则。O的半径为.

5.（2020•江苏南通中考真题）已知。。的半径为13cm,弦AB的长为10cm,则圆心O到AB的距离为,

6.（202。江苏秦淮初三月考）在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、2石，则弦BC的长度是

7.（2020.四川青羊初三二模）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（)

A.4-^cmB.2月cmC.百cmD.^/2cm

考点2：平行弦问题

典例：（2019•山东金乡。初三期中）己知是。。的两条弦，AB//CD.若的直径为

10,AB=8,CD=6，则弦AB和CO之间的距离是.

方法或规律点拨

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理.

巩固练习

1.（2019•安徽庐江初三期末）已知AB、CD是。。的两条弦，AB//CD,AB=6,CD=8,。。的半径为5,

则AB与CD的距离是（）

A.1B.7C.1或7D.无法确定

2.（2020.浙江中考真题）如图，已知AB是半圆。的直径，弦CD〃AB,CD=8.AB=\0,则CO与AB之

间的距离是.

3.（2020.浙江德清初三期中）已知AB是。。的直径，弦CDLAB于点E,弦PQ〃AB交弦CD于点M,

BE=18,CD=PQ=24,则OM的长为.

4.（2017•重庆开州初三期末）如图，已知。。的半径长为R=5,弦AB与弦CD平行，它们之间距离为5,

AB=6,求弦CD的长.

考点3：垂径定理的实际应用问题

典例：（2019•江苏镇江初三月考）（操作思考）画。。和。。的直径AB、弦8,使AB_LCD,垂足为P

（如图1）.猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（。4=。8除外）.

B

图2

（1）猜想：①；②；③.

操作：将图1中的AD5沿着直径AB翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，

所以AOB与ACB重合，又因为NAPO=NAPC=90°，所以射线PO与射线PC重合（如图2）,于是点

。与点O重合，从而证实猜想.

（知识应用）图3是某品牌的香水瓶，从正面看上去（如图4）,它可以近似看作割去两个弓形后余下的部

分与矩形ABCO组合而成的图形（点8、C在箱上），其由EFUGH.

（2）已知。。的半径为3cm,AB=3cm,EF=3.6cm,G"=4.8cm,求香水瓶的高度/z.

方法或规律点拨

此题考查轴对称图形和圆的相关知识，勾股定理，垂径定理正确掌握轴对称图形的定义，圆的轴对称关系,

利用垂径定理进行计算是解题的关键.

巩固练习

1.（2020•湖南新邵。）如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今

有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:

“8为。。的直径，弦AB_LCE>,垂足为点£,CE=2寸，A8=8寸，求直径C。的长？”依题意C。

的长为（）

A.6寸B.8寸C.10寸D.12寸

2.（2020.安徽相山初三月考）如图，圆弧形拱桥的跨径43=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（）

米

A.6.5B.9C.13D.15

3.（2020•广西南宁初三二模）下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门

的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，8。=1.5米，且A3、CD

与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）

W

o

t

A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米

4.（2020•四川安居初二期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必

须低于（）

A.4.1米B.4.0米C.3.9米D.3.8米

5.（2020・辽宁大连初三学业考试）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题产今有圆材,

埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，AB是

。。的直径，弦垂足为E,AE=1寸，CZ）=10寸.则直径的长为.寸.

6.（2020・广西防城港初三期末）如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=5n,

AD=2m,弧C。所对的圆心角为NCOD=120。.现将窗框绕点8顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过

程中，窗框上的点到地面的最大高度为

7.（2020.东城北京一七一中初三月考）如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，

垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半

径为________cm.

图①图②

8.（2019•四川嘉陵初三其他）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图.。。与矩形

ABCD的边BC,AD分别相切和相交（E,F是交点），己知EF=CD=8,则。。的半径为

9.（2020•浙江丽水初三一模）如图，量角器的。度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直

尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A，D，量得A。=10cm,点。在量角器上的读

10.（2019•河北保定。初三一模）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的

杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么玻璃杯的

杯口外沿半径为

11.（2019・四川广安中学初三月考）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C,量

得AB=8c”、点C与AB的中点。的距离CD=2c?n.则此圆环形玉片的外圆半径为cm.

考点4：垂径定理在作图中的应用

典例：（2020•江西乐平初三一模）请仅用无刻度的直尺，根据条件完成下列画图.

（1）如图1,6c内接于。。，AB=AC,画出线段8C的垂直平分线.

（2）如图2,AABC内接于。。，AB^AC,D、E分别为AB和AC的中点，画出线段3C的垂直平

分线.

A

D.

A

图1

方法或规律点拨

此题考查作图能力,作线段的垂直平分线，还考查了圆的垂径定理的性质，三角形中线的性质，等腰三角

形的性质.

巩固练习

1.（2019•北京清华附中初三一模）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为人,下方的弧半径为

则乙rr.（填

2.（2020•全国初三单元测试）如图，。。的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC,

ED.

（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；

（2）求证：EC=ED.

3.（2020•安徽初三一模）已知，如图，。为。。上点，为。。的直径.

（1）尺规作图：过。点作直线CDLA5,交。。于点0,交A3于点E;（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接AC,若BE=3,CO=12,求AC的长.

4.（2019•安徽淮北初三月考）如图，在。。中，A5是弦，OE是直径，且DE经过A8的中点C,连接4E.

（1）用尺规作图作出弦AE的垂直平分线。尸，并标出OF与AE的交点尸（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，若0。的半径为5,A8=8,求。尸的长.

5.（2019•杭州市建兰中学初三期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，

（1）画出平面直角坐标系.

（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标.

6.（2019.江西信丰初三零模）图1、图2均为圆心角为90。的扇形、请按要求用无刻度的直尺完成下列作图.

（1）在图1中、点M是的中点、请作出线段AB的垂直平分线;

（2）在图2中、点例是A8的中点，点N又是A8的三等分点，请作出线段08的垂直平分线.

7.（2019•全国初三课时练习）如图，是一个破损的机器部件，它的残留边缘是圆弧，请作图找出圆心（用尺

规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明）.

8.（2018•南海实验学校初三期中）如图，某地有一座圆弧形拱桥,

（1）如图1,请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；

（2）如图2,过点O作OCLAB于点D,交圆弧于点C,CD=2.4m.桥下水面宽度AB为7.2m,现有一

艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱

桥.

C

图2

A'D---B

10

第24章重点突破训练：垂径定理的应用举例

考点体系

考点1：垂径定理的常规应用

典例：(2020.湖北中考真题)如图，点A8,。,。在OO上，垂足为E.若/位Q=30。，AE=1，

则BC=()

A.2B.4C.73D.2垂）

【答案】D

【解析】解：连接OC,

A

NADC=30°,

・・.ZAOC=60°,

OE1

在RtZkCOE中，一=cos60°=-,

OC2

OE=-OC=-OA,

22

AE^-OC=-OA

22

,/AE=\，

•*.OA=OC=2,

CE=G

­：OA±BC,垂足为E,

二BC=26，

故选：D.

方法或规律点拨

本题考查圆周角定理和垂径定理，作出合适的辅助线是解题的关键.

巩固练习

1.（2019•金昌市金川总校第五中学初三期中）如图，AB是。O的弦，AB=8,直径CD1AB于M,且DM=8,

则。O的半径为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】连接OA,

设OA=r,则0M=DM-OD=8-r,

：CD为。。的直径，CD1AB,AB=8,

1

.♦.AM=BM=—AB=4,

2

在Rtz\AOM中，

OA2=AM2+OM2,即r=42+（8-r）2,

解得r=5.

故选：C.

2.（2020•海南琼海初三其他）如图，点A,B,C,。都在半径为4的。O上，若OA_LBC,NCD4=30。,

则弦BC的长为（）

A.4B.472C.4GD.6

【答案】C

【解析】解：如图，设OA与BC交于点H,

VOA1BC,

；.CH=BH,AC=AB，

/./AOB=2/CDA=60。，

.•.BH=OB・sin/AOB=26，

，BC=2BH=4百，

故选：C.

3.（2020•山东东明初三其他）如图，在。O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2

夜，CD=1,则BE的长是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

（解析】•••半径OC垂直于弦AB,

/.AD=DB=yAB=V7

在Rt^AOD中，OA2=（OC-CD）2+AD2,即OA2=（OA-l）2+（近）2,

解得，OA=4

.,.OD=OC-CD=3,

VAO=OE,AD=DB,

?.BE=2OD=6

故选B

4.（2019・景泰县第四中学初三一模）如图，在。O中，CD是直径，弦ABLCD,垂足为E,连接BC.若

AB=20,ZBCD=30°,则。。的半径为.

3

【解析】解：连接OB,

VOC=OB,NBCD=30。，

.,.ZBCD=ZCBO=30°,

ZBOE=ZBCD+ZCBO=60°,

:直径CD，弦AB,AB=2四，

.♦.BE=*AB=0,ZOEB=90°,

BE垃202遥

-5

«B=Sin600-7/3~

~T

即。。的半径为2匹，

3

故答案为：巫.

3

5.（2020•江苏南通中考真题）已知。。的半径为13。“弦AB的长为10所,则圆心。到AB的距离为cm.

【答案】12

【解析】解：如图，作OC_LAB于C,连接OA,

Q

则AC=BC=^AB=5,

2

在RMOAC中，OC=J132-52=12,

所以圆心0到AB的距离为12cm.

故答案为：12.

6.（2020.江苏秦淮初三月考）在半径为2的圆中，弦AB、4c的长度分别是2、2百，则弦BC的长度是

【答案】4或2.

【解析】解：①如下图所示，当弦AB、AC位于圆心的两侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连，作OD

±AB,OE1AC,

:圆的半径为2,故OA=OB=OC=2,且AB=2,

AOB是等边三角形，/OAB=60。，

在等腰三角形AOC中，OE为AC边上的高，OE也是AC边的中线，

，AE=CE」AC=G，且NAEO=90。，cosZOAE=—=-.

2OA2

NOAE=30°,贝ljNBAC=NOAB+/OAC=600+30°=90°,

.•.弦BC为圆的直径,BC=4；

②如卜图所示，当弦AB、AC位于圆心的同一侧时，分别将圆心O点与A、B、C相连,

同①中的分析相同，AAOB是等边三角形，ZOAB=60°,

且NOAC=30。，OA=OC,故AAOC是等腰三角形，ZAOC=120°,

又•；NAOC+/OAB=180。，平行线间同旁内角互补，

.,.OC//AB,且OC=OB=OA,故四边形OABC为菱形，

，BC=OA=2,

故答案为：4或2.

7.（2020•四川青羊初三二模）如图，将半径为4c机的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）

A.46cmB.2百cmC.ecmD.72cm

【答案】A

【解析】如图所示，连接AO,过O作ODLAB,交于点D，交弦AB与点E,

•••AB折叠后恰好经过圆心，

，OE=DE,

•.•半径为4,

.•.OE=2,

VOD1AB,

1

，AE=-AB,

2

在RtAAOE中，AE=7042-OE2=2

.\AB=2AE=45/3

故选A.

考点2：平行弦问题

典例：（2019•山东金乡。初三期中）己知ABC。是。。的两条弦，AB//CD.若。。的直径为

10,=8,CO=6，则弦AB和CO之间的距离是.

【答案】1或7

【解析】如图所示，连接OA,OC.作直线EFLAB于E,交CD于F,

♦；AB〃CD,

AEFICD.

,/的直径为10,

...OA=OC=5

•••OE=y]0A2-AE2=3,OF=>/（9C2-CF2=4

①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF-OE=1；

②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF=OE+OF=7.

则AB与CD间的距离为1或7.

故答案为：1或7.

方法或规律点拨

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理.

巩固练习

1.（2019•安徽庐江初三期末）已知48、CD是。。的两条弦，AB//CD,AB=6,8=8,。。的半径为5,

则AB与CD的距离是（）

A.1B.7C.1或7D,无法确定

【答案】C

【解析】解：①当弦AB和CQ在圆心同侧时，如图①，

国①

过点。作垂足为死交A8丁点E,连接。4,OC,

♦：AB〃CD,

：.OE±AB,

・.・A8=8,CD=6,

・・・AE=4,CF=3,

-：0A=0C=5f

・,•由勾股定理得：E0=&匚不=3,OF=d52_3?=4,

：.EF=OF-0E=\；

②当弦AB和CO在圆心异侧时，如图②,

图②

过点。作OELABf•点区反向延长OE交AD于点尸，连接。4,0C,

EF=OF+OE=7,

所以与CD之间的距离是1或7.

故选：C.

2.（2020•浙江中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD〃AB,CD=8.48=10,则CD与A8之

【答案】3

【解析】解：过点。作O"_LC£）于H,

连接OC,如图，则CH=OH=工CO=4,

2

在RSOCH中，OH=752-42=3，

所以C£＞与A8之间的距离是3.

故答案为3.

3.（2020.浙江德清初三期中）已知AB是。O的直径，弦CDLAB于点E,弦PQ〃AB交弦CD于点M,

BE=18,CD=PQ=24,则OM的长为.

【答案】5V2

【解析】：作OFLPQ于F,连接OP,

T7

/.PF=|PQ=12,

VCD1AB,PQ〃AB,

.♦.CD_LPQ,

，四边形MEOF为矩形，

：CD=PQ,OF1PQ,CD±AB,

，OE=OF,

四边形MEOF为正方形，

设半径为x,则OF=OE=18-x,

在直角AOPF中，

x2=122+（18-x）2,

解得x=13,

则MF=OF=OE=5,

.*.OM=5V2.

4.（2017•重庆开州初三期末）如图，已知。O的半径长为R=5,弦AB与弦CD平行，它们之间距离为5,

AB=6,求弦CD的长.

【答案】476

【解析】解：如图所示，因为AB〃CD,所以过点。作MNLAB交AB于点M,交CD于点N,连接0A,

.♦.在RtAAOM中，OM=^OA2-AM2=752-32=4,

；.ON=MN-OM=1,

...在RsCON中，CN^yj0C2-0N2=752-12=724=276■

CD=2CN=4瓜，

故答案为：476

考点3：垂径定理的实际应用问题

典例：（2019•江苏镇江初三月考）（操作思考）画。。和。。的直径A3、弦CD,使A8_LCD,垂足为P

（如图1）.猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（。4=。3除外）.

（1）猜想：①；②__________________；③

操作：将图1中的AOB沿着直径AB翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴,

所以AOB与ACB重合，又因为NAPO=NAPC=90，所以射线PD与射线PC重合（如图2）,于是点

C与点。重合，从而证实猜想.

（知识应用）图3是某品牌的香水瓶，从正面看上去（如图4）,它可以近似看作割去两个弓形后余下的部

分与矩形ABC。组合而成的图形（点8、。在EE上），其中EFGH.

图3图4

（2）已知。。的半径为3cm,AB=3cm,EF=3.6cm,G"=4.8a〃，求香水瓶的高度〃.

【答案】（1）CP=DP,AC=AO，BC=BD；（2）7.2cm

【解析】（1）；。。的直径A3、弦CD,使ABLCD,垂足为P,

二相等的线段是：CP=DP,相等的劣弧是：AC=AD，BC=BD，

故答案为：CP=DP,AC=AZ），BC=BD

（2）作OM_LEF,延长MO角GH于N,连接OE、OG,

•:EF//GH,

AONIGH,

VEM=-EF=1.8cm,GN=-GH=2.4cm,。。的半径为3cm,

22

•*,OM—V32—1.82=24cm,ON-13'-2.4?=1.8cm-

二香水瓶的高度h=AB+OM+ON=3+2.4+l.8=7.2cm.

方法或规律点拨

此题考查轴对称图形和圆的相关知识，勾股定理，垂径定理正确掌握轴对称图形的定义，圆的轴对称关系，

利用垂径定理进行计算是解题的关键.

巩固练习

1.（2020•湖南新邵。）如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今

有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:

“8为的直径，弦A3_LCD,垂足为点E，CE=2寸，AB=8寸，求直径8的长？“依题意C£>

的长为（）

C.10寸D.12寸

【答案】C

【解析】如图，连接AO,

设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，

：CD为。O的直径，弦ABJ_CD,垂足为E,AB=8寸,

.\AE=BE=-AB=4寸，

2

在RSAOE中，根据勾股定理可知:

AO2=AE2+EO2F

.-.X2=42+（X-2）2,

解得：x=5,

2x=10,

即CD长为10寸.

故选：C

2.（2020.安徽相山初三月考）如图，圆弧形拱桥的跨径43=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（）

米

IlliI

ADR

A.6.5B.9C.13D.15

【答案】A

【解析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O.连接OA.

I,1,1,I匚

AB

a

根据垂径定理和勾股定理求解.得AD=6设圆的半径是r,根据勾股定理，得F=36+（r-4））,解得r=6.5

3.（2020.广西南宁初三二模）下图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门

的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，8。=1.5米，且AB、CD

与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）

GM访川"疝

A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米

【答案】B

【解析】解：连接OF,交AC于点E,

：BD是。O的切线，.，.OF，BD,

,四边形ABDC是矩形，；.AD〃BD,AOEXAC,EF=AB,

设圆O的半径为R,在RSAOE中，AE=,AC=LBD=0.75米，OE=R-AB=R-0.25,

22

VAE2+OE2=OA2,0.752+（R-0.25）2=R2,

解得R=L25.1.25x2=2.5（米）.

故这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米.

故选B.

4.（2020.四川安居初二期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必

A.4.1米B.4.0米C.3.9米D.3.8米

【答案】A

【解析】•.•车宽2.4米，

欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线L2米处的高度与车高，

在放△08中，由勾股定理可得：

CD=y/0C2-0D2=V22-1.22=1.6（"

C"=C£>+O"=1.6+2.5=4.1米，

.•.卡车的外形高必须低于4.1米.

故选：4.

5.（2020•辽宁大连初三学业考试）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，

埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，是

的直径，弦CD，"，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸.则直径AB的长为寸.

【解析】解：连接OC,如下图所示

设圆的半径是x寸，在直角AOCE中，OC=x,OE=OA-AE=x-l,

VOC2=OE2+CE2,

则x2=（x-l）2+25,

解得：x=13.

则AB=2x13=26（寸）

故答案为：26.

6.（2020•广西防城港初三期末）如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=6m，

A£>=2,〃，弧C£）所对的圆心角为NCOO=120。.现将窗框绕点B顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过

程中，窗框上的点到地面的最大高度为

【答案】（1+6）

【解析】连接OB,过。作OH_LBC于H,过O作ON_LCD于N,

VZCOD=120°,CO=DO,

二ZOCD=ZODC=30°,

VON±CO,

11出

；.CN=DN=-CD=-AB=^m,

222

。1

.♦.ON=2CN=-m,OC=lm,

32

VON±BC,

二四边形OHCN是矩形，

.,.CH=ON=-m,OH=CN=2m,

22

.•.BH=BC-CH=-m,

2

•■•OB=y]BH2+OH2=73m,

.•.在这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为（石+1）m,

故答案为：（6+1）.

7.（2020・东城北京一七一中初三月考）如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，

垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半

径为________cm.

9

⑤

国①由2

【答案】25

【解析】解：如图，设圆的圆心为0,连接0A,OC,OC与AB交于点D,

设。O半径为R,

1.

VOC1AB,：AD=DB=-AB=20,在RTz\AOD中,VZADO=90°,.,.OA2=OD2+AD2,

2

.*.R2=202+(R-10)2,

.\R=25.

8.（2019・四川嘉陵初三其他）把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外，其主视图如图.。。与矩形

ABCD的边BC,AD分别相切和相交（E,F是交点）,已知EF=CD=8,则。O的半径为

【解析】如答图，由题意，。。与BC相切，记切点为M,作直线OM,分别交AD、劣弧石产于点H、N,

再连接OF,

在矩形ABCD中，AD〃BC,而MN_LBC,.•.MN_LAD..,.在(DO中，FH=-EF=4.

2

设球半径为r,则0H=8-r,

在Rtz\OFH中，由勾股定理得，P-（8-r）2=42,解得r=5.

9.（2020•浙江丽水初三一模）如图，量角器的0度刻度线为A3,将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直

尺一边与量角器相切于点C,直尺另一边交量角器于点A，D，量得AO=10。〃，点。在量角器上的读

数为60°，则该直尺的宽度为cm.

【答案】-V3

3

【解析】连接OCODOC与AD交于点E,

OE=A£tan300=»"

3

直尺的宽度：CE=0C-0E=26—hg=，E

333

故答案为g百

10.（2019•河北保定。初三一模）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的

杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么玻璃杯的

杯口外沿半径为

________厘米.

【解析】

•.•林口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,

二AC=9-3=6.

取圆心O,过点。作OB_LAC于点B,连接AO,

则AB=-AC=-x6=3厘米，

22

设杯口的半径为r,则OB=r-2,OA=r,

22222

在RSAOB中,OA=OB+AB,即F=（r-2）+3,

13

解得尸一（厘米）.

4

13

故答案为：—.

4

11.（2019・四川广安中学初三月考）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦A5与内圆相切于点C,量

得A8=8c〃7、点。与AB的中点。的距离CO=2cm.则此圆环形玉片的外圆半径为cm.

【解析】解：设点。是同心圆的圆心，连接OA、OC、OD,

TAB与内圆相切于点C,

AOC1AB,

丁点D是aB的中点，

AOD1AB,

，点0、C、D在同一条直线上,

1

/.AC=—AB=4cm,

2

在R3A0C中，AC=4,OC=OA-2,

•••VOA2-OC2=JOA2_（0A_2）2=AC=4

OA=5cm.

故答案为5.

考点4：垂径定理在作图中的应用

典例：（2020•江西乐平初三一模）请仅用无刻度的直尺，根据条件完成下列画图.

（1）如图1,AABC内接于。。，AB=AC,画出线段BC的垂直平分线.

（2）如图2,5c内接于O。，AB^AC,D、E分别为AB和AC的中点，画出线段的垂直平

【答案】（1）见解析；（2）见解析；

【解析】（1）如图1,直线AO即为所求作的直线.

（2）如图2,直线。尸即为所求作的直线.

图2

方法或规律点拨

此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，还考查了圆的垂径定理的性质，三角形中线的性质，等腰三角

形的性质.

巩固练习

1.（2019•北京清华附中初三一模）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为乙，下方的弧半径为％,

则乙（填“＞“，

【答案】＜.

【解析】如图，分别在两段弧上各选三个点，作出过这三个点的圆，显然.乙〈¥，故答案为＜.

2.（202。全国初三单元测试）如图，。。的两条弦A8〃CO（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC,

ED.

（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；

（2）求证：EC=ED.

【答案】（D直线EO与AB垂直.理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】解：（1）直线EO与AB垂直.理由如下：

如图，连接EO,并延长交CD于F.

,/EO过点O,E为AB的中点，

：.EO±AB.

R

（2）-,-EOA.AB，AB/1CD.

EFCD.

VEF过点O,

:.CF=DF,

」.EF垂直平分CD,

EC-ED-

3.（2020•安徽初三一模）己知，如图，。为。。上点，A3为。。的直径.

（I）尺规作图：过C点作直线CDLAB，交。。于点O,交AB于点E;（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接AC，若BE=3,CO=12,求AC的长.

【答案】（1）见解析：（2）AC=675.

【解析】（1）直线CD如图所示：

（2）连接OC,

A

设0。的半径为，则O5=r,OE=r—3,

,：CDLAB.

：.CE=ED=-DC=6,

2

■:OC2=OE2+EC2，

r2=(/*-3)~+62,

解得：r=—,

2

在Rl-ACE中，AE=AB-BE=2x--3=12,