工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套

《工科数学分析》试卷第2页共2页姓名学号姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…期末考试《工科数学分析》试卷A注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共十大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五六七八九十总分得分评卷人一．计算下列极限（每小题5分，共10分）（1） （2）二．（10分）设为连续函数,试确定常数a和b.三．（10分）设参数方程确定了函数,求与,并判定函数的单调性及凸性.四．（10分）造一个容积为V的圆柱形无盖水池,问高h及底半径r为多少时,可使其表面积最小?五．（10分）设时,方程有且仅有一个解,求k的取值范围.六．（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1） （2）七．（10分）设(为正整数),试建立数列的递推公式,并求的值.八．（10分）求抛物线在点处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数在上有二阶导数且,如果,试证明对任意,有.十．（10分）设,,证明数列收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A答案一. （1）解：（2）解：二. 解:,由于为连续函数,故,即 ,解之得三.解:,.因,故,从而,.因此,方程确定的函数单调增加且上凸.四.解:表面积,令,得,此时.因S有唯一驻点,由实际问题可知必有最小表面积,故当,时,表面积最小.五.解:令,则.时,在单调下降.又,(),()因此,当时,在只有一个零点,即原方程在内只有一个解.当时,有唯一驻点,且在与内分别单调增加和单调减少.注意到此时,故当且仅当即时,函数有且仅有一个零点,即原方程在内有且仅有一个解.六. 解:(1)令,于是(2)七.因为于是容易知道.又因为,故有八.因,故,从而可知抛物线在点的法线方程为或.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为,所以所求图形的面积九.,.由泰勒公式,,,有上式当时显然成立.证毕.十.单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛.下面我们证明数列是单调减少有下界的数列.由于故数列有下界.此外,因为故数列单调减少.因此,数列收敛,设其极限为A,于是解之得（由极限保号性负根舍去）.姓名学号姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………密………………封………线……线………_____________________…期末考试《工科数学分析》试卷B注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共十大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五六七八九十总分得分评卷人一．计算极限（每小题5分，共10分）（1） （2）二．（10分）设,试根据和的值,讨论在处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程确定函数,求.四．（10分）试确定数列中的最大项.五．（10分）设,试讨论方程实根的个数.六．计算下列积分（每小题5分，共10分）（1） （2）七．（10分）设(为正整数),试建立数列的递推公式,并求的值.八．（10分）求抛物线与直线所围成的图形绕直线旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数在上二阶可导,,,,试证明.十．（10分）已知,,,证明数列收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B答案一. （1）解：（2）解：二. 解:.当时,;当时,不存在.因此,当且时,函数在处连续;当且时,函数在处左连续但又不连续,为第一类间断点;当时,函数在处左连续,为第二类间断点.三.解:方程两边关于x求导得 整理得 于是, .四.解:令,.令,得.则在与上分别单调增加和单调减少.从而因此,为最大项.五.解:令,.解得唯一驻点.在与内分别单调增加和单调减少.又由于,,所以有如下结论:(1)当时,,原方程没有根;(2)当时,,原方程有一个根;(3)当时,,原方程有两个根六. (1)令,则,于是(2)七.因为于是容易知道.又因为,故有八.体积元素,因此所求体积九.由泰勒公式,,两式相减得因此十.单调增