数学八年级苏科版（上册）第3章勾股定理综合测评及解析

第页第3章勾股定理综合测评（一）（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.如图1，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A．4B．8C．16D．64图1图22.下列各组数中，是勾股数的一组是（）A.0.3，0.4，0.5B.6，8，10C.，，1D.4，5，63.历史上对勾股定理的一种证法采用了图2所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四边形CDAE=S四边形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD4.图3所示的各直角三角形中，边长x的值为5的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个图35.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图4，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（）A.4000米B.5000米C.6000米D.7000米图4图5图6图76．如图5，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定7.如图6，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A.90°B.60°C.45°D.30°8.若直角三角形的两边长分别为3和4，则以第三边长为直径的圆的面积为（）A.πB.πC.7π或25πD.π或π9.如图7，在4×5的方格中，A，B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C的个数为（）A.3B.4C.5D.610．如图8，在△ABC中，D是边BC上的一点，AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么△ABC的面积是（）A．30 B．36 C．72 D．125图8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．图9图10图1112．如图10，已知△OAB，以OB为边作△OBC，再以OC为边作△OCD.若∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2的值等于_____________.13.探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…，可发现:4=，12=，24=，…，请写出第5个数组：．14.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．图11是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．15.如图12，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为________.图12图1316.如图13，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为______.三、解答题（本大题共6小题，共52分）17.（6分）如图14，已知AD是△ABC的角平分线，AB=AC=13cm，AD=12cm．求BC的长．图14图1518.（8分）如图15，已知四边形ABCD中，∠A为直角，AB=16，BC=25，CD=15，AD=12，求四边形ABCD的面积．19.（8分）图16是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计），右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B的位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）．求秋千支柱AD的高．图16图1720.（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图17摆放时，可以用“面积法”来推导说明a2+b2=c2．请你写出推导过程．21.（10分）如图18，沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=50km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？①②图18图1922.（12分）（1）如图19-①，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图19-②，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？附加题（20分，不计入总分）23.在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.若∠C为直角，则由勾股定理得a2＋b2＝c2.（1）若∠C为锐角，试说明：a2＋b2＞c2；（2）若∠C为钝角，试判断a2＋b2与c2的关系，并进行验证.参考答案：一、1.B2.B3.D4.B5.B6.B7.C8.D9.D10.B二、11.212.713.11，60，6114.502015.7516.5三、17.解：因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，BD=CD．因为在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，AD=12，所以BD2=AB2－AD2＝132－122＝25，所以BD=5.所以BC=10cm．18.解：因为∠A为直角，AD=12，AB=16，所以BD2=AD2+AB2=400，所以BD=20.因为BD2+CD2=202+152=625=BC2，所以△BDC是直角三角形，且∠CDB为直角.所以S△ABD=×16×12=96，S△BDC=×20×15=150.所以四边形ABCD的面积为96+150=246．19.解：设AD=xm，则由题意得AB=（x-0.5）m，AE=（x-1）m.在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（x-1）2+1.52=（x-0.5）2，解得x=3．所以秋千支柱AD的高为3m.20.解：因为S五边形ABCDE=S梯形AEDF+S梯形BCDF=S正方形DEPC+2S△AEP，即（b+a+b）•b+（a+a+b）•a=c2+2×ab，整理得a2+b2=c2．21.解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD2=AB2-AD2=1302-502=14400，所以BD=120km.则120÷15=8（h）.所以台风中心经过8h从B点移到D点.如图1，因为距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，所以人们要在台风中心到达E点之前撤离.BE=BD-DE=120﹣30=90（km），=6（h）.所以游人在接到台风警报后的6h内撤离才可脱离危险．图122.解：（1）如图2，由题意知能放入木棒的最大长度为DF的长.由题意得DB2=AB2+AD2=42+32=25，DF2=DB2+FB2=25+122=169，所以DF=13.所以该长方体中能放入木棒的最大长度是13cm．图2图3（2）将容器侧面展开，如图3所示，作点A关于EF的对称点A′，则A′B的长度即为蚂蚁爬行的最短路径．由题意A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12（cm）.由勾股定理，得A′B2=A′D2+BD2=169，所以A′B=13cm．所以蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是13cm.23.解：（1）如图4，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC－CD＝a－CD.在Rt△ABD中，AB2－BD2＝AD2；在Rt△ACD中，AC2－CD2＝AD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a－CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2＋2a•CD.因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＞c2.图4图5（2）a2＋b2＜c2.验证如下：如图5，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则BD＝BC＋CD＝a＋CD.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2；在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，即c2－（a＋CD）2＝b2－CD2，整理得a2＋b2＝c2－2a•CD.因为a＞0，CD＞0，所以a2＋b2＜c2.第3章勾股定理综合测评（二）一、选择题（每小题3分，共30分）1.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm和8cm，则斜边的长为（）A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=13，BC=12.若以AC为边长作正方形（图中阴影部分），则这个正方形的面积为（）A.5B.10C.20D.25C图1AB图C图1AB图2图3图43.若三角形的三边长分别为3cm，4cm和5cm，则这个三角形的最大内角的度数是（）A.45ºB.90ºC.135ºD.150º4.从5，9，12，13，17这5个数中选取3个数，可以作为勾股数的一组是（）A.5，9，12B.5，9，13C.5，12，13D.9，12，175．下面说法正确的是（）A．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则a2+b2=c2B．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=4，则c=5C．直角三角形的两直角边长都是5，那么斜边长为10D．直角三角形中，斜边最长6.图2的虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，AC=3cm，BC=2.5cm，现将4个直角三角形中边长为3cm的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长是（）A.26cmB.34cmC.36cmD.38cm7.如图3，在Rt△ABC中，∠C=90º，点D在BC上，连接AD，且AD=BD，若BD=10，BC=16，则AC的长为（）A.8B.10C.12D.14图4所示是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A，B，C，D分别表示公路上的四辆车.若OC=80m，AC=170m，AB=50m，BD2=50000m2，则C，D两辆车之间的距离为（）图6BAA.50mB.40mC.30mD.图6BA图59.如图5，在单位长度为1的正方形组成的网格图中标有AB，CD，AE，DE四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段的是（图5A.AB，CD，AE B.AE，DE，CD C.AE，DE，AB D.AB，CD，ED10.如图6，圆柱底面的半径为cm，高为9cm，A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，则这根棉线的长度最短是（）A.12cm B.15cm C.18cm D.21cm二、填空题（每小题3分，共18分）11.在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且c=b+1，a=9，则b=＿＿___.12.在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且三边长满足（a+c+b）（a2+c2-b2）=0.若∠A=30º，则∠C的度数是______.13.图7所示的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，若正方形A，B的边长分别为8cm，6cm，正方形C的面积SC=35cm2，则正方形D的面积SD=_______.图7图8图9图图7图8图9图1014.如图8所示，为修筑铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90º，AB=6km，BC=4.8km，若每天凿隧道200m，则_______天才能把隧道AC凿通.15.如图9，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，若AB2+BE2=16，AD2+DF2=25，EF=x，∠AEB=∠CFE，则x=_______.16.如图10，由8个全等的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成一个大正方形，如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，则下列结论：①a2+b2=13；②（a-b）2=1；③ab=6.其中正确结论的序号为_______.三、解答题（共52分）17.（6分）如图11，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，AB=17cm，AD=8cm，求△ABC的周长.图11图12①②图11图12①②图13ABCD图518.（8分）如图12-①，在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1m.一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面（如图12-②所示）.经测量得知红莲移动的水平距离为2ABCD图519.（8分）观察下列各式：32-4=5，4×3=12，32+4=13，则5，12，13组成一组勾股数；42-4=12，4×4=16，42+4=20，则12，16，20组成一组勾股数；52-4=21，4×5=20，52+4=29，则21，20，29组成一组勾股数；……你能否得出结论，对于任意大于2的整数k，k2-4，4k，k2+4组成一组勾股数？请说明理由.20.（8分）图13所示是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.（1）请你从面积的关系出发，写出一个关于a，b，c的等式，并验证你的结论正确；（2）利用（1）中得到的等式解决问题：若a+b=7，ab=12，求c的值.21.（10分）图14所示是一个长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm.一只小虫想从鱼缸外的A点沿缸壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵.（1）小虫应该走怎样的路线使爬行的路程最短？请你在图中画出它的爬行路线，并用箭头标注；（2）试求小虫爬行的最短路线长.图图1422.（12分）问题情境：在图15所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点.尝试解决：（1）在图15-①中画一个Rt△ABC，使其两直角边长分别为AB=3，BC=4（∠B=90º），并求出△ABC的周长；（2）合作交流：在图15-②中，能否画出一个△EFG，使得EF2=20，FG2=5，EG=5，若能，求出∠EFG的度数；若不能，请说明理由.图图15②①参考答案：一、1.C2.D3.B4.C5.D6.D7.A8.D9.D4图110.B提示：圆柱体的展开图如图1所示，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点的长度最短路线是AC→CD→DB4图14cm，即长方形的宽为4cm，因为圆柱的高为9cm，所以，每个小长方形的一条边长为3cm，根据勾股定理，得AC=CD=DB=5cm，所以AC+CD+DB=15（cm）.二、11.4012.60º13.65cm214.1815.316.①②③提示：因为最大正方形的面积为25，所以由四个全等直角三角形拼成的正方形的面积为13，所以a2+b2=13，①正确；因为最小正方形的面积为1，最小正方形的边长为b-a，所以（a-b）2=1，②正确；因为a2+b2-4×=（a-b）2，所以13-2ab=1，解得ab=6，③正确.三、17.解：因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥B