第57讲　成对数据的统计分析

第57讲成对数据的统计分析【备选理由】例1是成对数据的统计相关性判断及应用;例2是线性回归分析问题;例3是非线性回归分析问题;例4是独立性检验与线性回归分析的综合问题.例1[配例1使用]某中学有学生600人,要求学生在每天上午7:30之前进校,现有一个调查小组调查某天7:00~7:30进校人数的情况,得到如下表格(其中y表示第x分钟内到校的人数,1≤x≤30,x∈N*,如当x=9时,y=4表示第9分钟内,即在7:08~7:09这一分钟内到校的人数为4).x1591519212427282930y13451121366694101106根据调查所得数据,甲同学得到的经验回归方程是y=3.6x-27(对应图中的实线),乙同学得到的经验回归方程是y=0.82e0.16x(对应图中的虚线),则下列结论中错误的是 (C)A.7:00~7:30内,y与x正相关B.乙同学的经验回归方程拟合效果更好C.根据甲同学得到的经验回归方程可知该校当天7:16~7:17这一分钟内的到校人数一定是34D.该校超过半数的学生都选择在距离规定到校时间的5分钟内到校[解析]对于A,根据散点图知,7:00~7:30内,y与x正相关,故A中结论正确;对于B,由题中图知,曲线y=0.82e0.16x的拟合效果更好,故乙同学的经验回归方程拟合效果更好,故B中结论正确;对于C,表格中并未给出7:16~7:17这一分钟内到校人数的值,即当x=17时,对应y的值,而由甲的经验回归方程得到的只能是估计值,不一定就是实际值,故C中结论错误;对于D,全校有学生600人,从表格中的数据知,7:26~7:30到校的人数超过300,即该校超过半数的学生都选择在距离规定到校时间的5分钟内到校,故D中结论正确.故选C.例2[配例2使用][2023·黑龙江哈尔滨九中二模]为调查某地区植被覆盖面积x(单位:公顷)与野生动物数量y的关系,某研究小组将该地区等面积划分为200个区块,从中随机抽取20个区块,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),部分数据如下:x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…经计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,(1)利用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程.(2)记y关于x的经验回归直线为l1,该小组又利用这组数据建立了x关于y的经验回归方程,记x关于y的经验回归直线为l2,并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy中,横坐标x,纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.(i)比较l1与l2的斜率大小,并说明理由;(ii)求这两条直线的公共点坐标.附:y关于x的经验回归方程y=a+bx中,b=∑解:(1)由题意可知x=6020=3,y=120020b=∑i=120(xi-x)(yi-故y关于x的经验回归方程为y=8x+36.(2)设l1,l2的斜率分别为k1,k2,x关于y的经验回归方程为x=a1+b1y,则bk1=b=∑(i)k1<k2,理由如下.∵k1k假设k1=k2,则|r|=1,即yi=8xi+36(i=1,2,…,20)恒成立,将表格中的一对数据(2.7,57.8)代入上式得57.8≠8×2.7+36,与yi=8xi+36(i=1,2,…,20)恒成立矛盾,故假设不成立,则k1<k2.(ii)根据经验回归直线的求解过程可知两条直线都过点(x,y),又k1<k2,故这两条直线的公共点坐标为(x,y),即(3,60).例3[配例3使用][2023·山西吕梁三模]数据显示中国车载音乐已步入快速发展期,随着车载音乐的商业化模式进一步完善,市场将持续扩大,下表为2018~2022年中国车载音乐市场规模(单位:十亿元),其中年份2018~2022对应的代码分别为1~5.年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知,可用指数函数模型y=a·bx拟合y与x的关系,请建立y关于x的经验回归方程(a,b的值精确到0.1);(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境等因素,某预测公司根据上述数据求得y关于x的经验回归方程后,通过修正,把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率,请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模.参考数据:v∑e0.524e0.4721.9433.821.71.6其中vi=lnyi,v参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑解:(1)因为y=a·bx,所以两边同时取自然对数,得lny=lna+xlnb,设v=lny,α=lna,β=lnb,所以v=α+xβ.因为x=3,v=1.94,所以βα=v-βx=1.94-0.472×3=0.524,所以lna=0.524,lnb=0.所以a=e0.524=1.7,b=e0.472=1.6,所以y=1.7×1.6x.(2)由(1)知2023年与2024年这两年的年平均增长率为1.6-1.3=0.3,因为2022年中国车载音乐市场规模为17,所以预测2024年的中国车载音乐市场规模为17×(1+0.3)2=28.73(十亿元).例4[配例2、例4使用]小家电一般指除大功率、大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器,其应用场景比较广泛,近年来随着科技发展,智能小家电市场规模呈持续发展趋势,下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位:千亿元)与年份代码的一组数据.年份代码x12345市场规模y0.91.21.51.41.6(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用样本相关系数加以说明(设样本相关系数为r,若|r|≥0.75,则说明两变量间的线性相关程度较高);(2)建立y关于x的经验回归方程;(3)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者的年龄分布,随机调查了200名消费者,统计这200名消费者的年龄,按照青少年与中老年分为两组,得到如下2×2列联表:单位:人购买智能小家电年龄合计青少年中老年喜欢80不喜欢60合计110200依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关联?参考数据:y=1.32,∑χ2=n(ad-bc附:α0.10.010.001xα2.7066.63510.828解:(1)由已知得x=1+2+3+4+55=3,y=1.∑所以r≈1.63.因为y与x的样本相关系数近似为0.92>0.75,所以y与x的线性相关程度较高,可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)由题意得∑a=y-bx=1.32-0.16×3=0.故y关于x的经验回归方程为y=0.16x+0.84.(3)由题意可得2×2列联表如下,单位:人购买智能小家电年龄合计青少年中老年喜欢80