2.2 基本不等式（原卷版）

.2基本不等式知识点一基本不等式的理解【【解题思路】基本不等式的理解(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.总结：一正二定三等【例1-1】（22-23高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．【例1-2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．最小值为2 B．最大值为2C．最小值为2 D．最大值为2【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）下列判断正确的有（

）A． B．C． D．【变式】1．（22-23·福建龙岩·阶段练习）当时，函数（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值42．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（

）A． B． C． D．知识点二常数替换型【【解题思路】常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．【例2-1】（23-24重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例2-3】（23-24高一·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为.【例2-4】（23-24高一·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为.【变式】1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．3．（2024·江苏扬州）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．6 D．4．（23-24高一·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知，且，则的最小值是5．（2024北京）若正实数满足，则最小值为6．（23-24高一·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为.7．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为.8．（23-24高一·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为.知识点三配凑型【【解题思路】拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．【例3-1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【例3-2】（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【例3-3】（22-23高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【变式】1．（2023湖南）函数的最大值为.2．（2023-2024广东）函数的最小值为．3．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是．4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为.5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为．知识点四求参数的取值范围【【解题思路】分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解分离参数法分离参数法【例4-1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是.3．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（

）A． B． C．3 D．1知识点五基本不等式解决实际问题【【解题思路】利用基本不等式解决实际问题的解题思路解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．【例5】（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求值；(2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）【变式】1．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.现规划了如下三项工程：工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为亿元.(1)求实数的取值范围；(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.2．（23-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为．(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值．重难点一利用基本不等式比较大小【【解题思路】运用基本不等式比较大小(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.【例6-1】（22-23高一上·山东青岛·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【例6-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）（多选）若，且，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知,则（

）A． B．C． D．4．（22-23高一上·广东茂名·阶段练习）若，且，则在四个数中正确的是（

）A． B．C． D．重难点二利用基本不等式证明不等式【【解题思路】利用基本不等式证明不等式的解题思路(1)从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【例7-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：(1)；(2)．【变式】1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足.(1)求的最小值；(2)证明：，2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知.(1)求证：；(2)若，求的最小值.3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）对于题目：已知，，且，求最小值．甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为．乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为．丙同学的解法：因为，，所以．(1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）；(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）已知，，且，求的最小值；（ii）设，，都是正数，求证：．4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且．(1)求证：；(2)求证：．单选题1．（2023·重庆）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）A． B．2 C．42．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．3．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，的最小值是C．当时， D．当时，的最小值为14．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．5．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2024四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．7．（2024·辽宁）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．8．（2024·安徽）已知，满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．2多选题9．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）下列选项中正确的是（

）A．若正实数x，y满足，则B．当时，不等式的最小值为3C．不等式恒成立D．存在实数，使得不等式成立10．（22-23高一上·甘肃兰州·阶段练习）（多选题）下列各式中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．11．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最小值 D．有最小值填空题12．（浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）已知实数，，且，则的最小值为.13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为.14．（2023·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．解答题15．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若，求的最小值，并求此时x的值；(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；(3)若，求的最大值．16．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？（2）函数的最小值为？（3）已知x，y是正实数，且，求的最小值．17．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若，且，求：（i）的最小值；（ii）的最小值.（2）求的最小值.18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．(1)求实数，的值；(2)正实数，满足．①求的最小值；②若恒成立，求实数的取值范围．19．（2023·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政